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1. 比例中项的概念:如果三个数a，b，c满足比例式
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
（或$a:b=b:c$），则b叫作a，c的比例中项。b是a，c的比例中项$\iff \frac{a}{b}=\frac{b}{c} \iff b^2=ac$。答案
1. $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
2. 黄金分割的概念:如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使AP＞PB,且$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫作线段AB的
黄金比$=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
黄金分割点
,线段AP与AB的比叫作黄金比
。黄金比$=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
答案
2. 黄金分割点 黄金比
1.已知线段$a=4\mathrm{cm},b=9\mathrm{cm}$,线段$c$是$a,b$的比例中项,则线段$c$的长为 (
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.12cm
A
)A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.12cm
答案
1.A
2. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律。如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段AB的黄金分割点（BC＞AC）。若AB=2，则BC的长为（
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$2\sqrt{5}-2$
D.无法确定
B
）A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$2\sqrt{5}-2$
D.无法确定
答案
2.B
3. 已知线段AB及AB上一点P，有下列关系式，使P为AB的黄金分割点：
①$AP^2 = AB · PB$；②$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；
③$PB = \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$；④$\frac{AP}{PB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
⑤$\frac{AB}{AP} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。其中正确的是（
A.①②③
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②③④⑤
①$AP^2 = AB · PB$；②$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；
③$PB = \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$；④$\frac{AP}{PB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
⑤$\frac{AB}{AP} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。其中正确的是（
B
）A.①②③
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②③④⑤
答案
3.B
4.如果$a:b=3:2$，且b是a和c的比例中项，那么$b:c=$
$3:2$
。答案
4. $3:2$
5. 如图，扇子的圆心角为$x°$，余下的圆心角为$y°$，$x$与$y$的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则$x=$
$135$
。答案
5. 135
6. (1)已知$a=4,c=9$,若$b$是$a,c$的比例中项,求$b$的值。
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,$AB=4\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$,求$MN$的长。并思考两题有何区别。
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项,$AB=4\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$,求$MN$的长。并思考两题有何区别。
答案
6. (1)因为b是a,c的比例中项,所以a:b=b:c,所以$b^2=ac$, $b= \pm \sqrt{ac}$。因为 $a = 4$, $c = 9$,所以$b=\pm \sqrt{36}=\pm6$,即$b=\pm6$。
(2)因为MN是线段,所以$MN＞0$。因为线段MN是AB,CD的比例中项,所以$AB:MN=MN:CD$,所以$MN^2=AB · CD$,所以$MN= \pm \sqrt{AB · CD}$。因为$AB=4\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$,所以$MN= \pm \sqrt{20}= \pm 2\sqrt{5}$。因为MN不可能为负值,则$MN=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。通过解答(1)(2)发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而MN不可以取负值。
(2)因为MN是线段,所以$MN＞0$。因为线段MN是AB,CD的比例中项,所以$AB:MN=MN:CD$,所以$MN^2=AB · CD$,所以$MN= \pm \sqrt{AB · CD}$。因为$AB=4\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$,所以$MN= \pm \sqrt{20}= \pm 2\sqrt{5}$。因为MN不可能为负值,则$MN=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。通过解答(1)(2)发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而MN不可以取负值。
7.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB。类似地,在线段AB上折出点B'',使AB''=AB',这时B''就是线段AB的黄金分割点。请你证明这个结论。
答案
7. 设正方形ABCD的边长为2,因为E为BC的中点,所以$BE=1$,所以$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$。又因为$B'E=BE=1$,所以$AB'=AE-B'E=\sqrt{5}-1$。又因为$AB''=AB'=\sqrt{5}-1$,所以$AB'':AB=(\sqrt{5}-1):2$,所以$B''$是线段AB的黄金分割点。
