8. 新定义:两边之比等于黄金比的矩形叫作黄金矩形，如图，矩形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，点E,F分别在边AD,BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，过点E作EG⊥BC于点G，当矩形ABGE也是黄金矩形(AE＜AB)时，则$\frac{BF}{BC}$等于()

A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$5-2\sqrt{5}$

8.D

9.已知线段$AB=2$，$P$是线段$AB$的黄金分割点$(AP＞BP)$。
(1)求线段$AP$的长。
(2)以$AB$为三角形的一边作$△ ABQ$，使得$BQ=AP$，连结$QP$，若$QP$平分$∠ AQB$，求$AQ$的长。

9. (1)因为P是线段AB的黄金分割点$(AP＞BP)$,所以$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × 2=\sqrt{5}-1$。
(2)因为QP平分$∠AQB$,所以P到AQ,BQ的距离相等,所以$\frac{S_{△ PAQ}}{S_{△ PBQ}}=\frac{AQ}{BQ}=\frac{AP}{BP}$。又由(1)知$AP = BQ = \sqrt{5}-1$,因为$AB=2$,所以$PB=AB-AP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$,所以$AQ=\frac{AP · BQ}{PB}=\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{3-\sqrt{5}}=2$。

10. 若一个矩形的短边与长边的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金分割数），我们把这样的矩形叫作黄金矩形。
(1)操作:请在如图所示的黄金矩形$ABCD(AB＞AD)$中,以短边$AD$为一边作正方形$AEFD$。
(2)探究:在(1)中得到的四边形$EBCF$是不是黄金矩形?请说明理由。

10. (1)在AB 和 DC 上分别截取$AE=DF=AD$,连结EF,如图所示,则四边形AEFD就是所求作的正方形。
(2)四边形EBCF是黄金矩形。理由如下:因为四边形AEFD是正方形,所以$∠AEF=90°,∠BEF=90°$,所以四边形EBCF是矩形。设$CD=a,AD=b$,则$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以$\frac{CF}{EF}=\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以矩形EBCF是黄金矩形。