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1. 下列图形中的角是圆周角的有 （
① ②
④ ⑤
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）① ②
④ ⑤A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断角是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，解题时只需逐个验证5个图形的角是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
我们结合圆周角的定义逐个分析：
1. 图①：角的顶点是圆心O，在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
2. 图②：角的顶点在圆外侧，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
3. 图③：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，同时满足圆周角的两个判定条件，是圆周角；
4. 图④：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
5. 图⑤：角的顶点在圆外侧，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角。
综上，只有1个圆周角。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握圆周角的判定要素，注意区分圆周角与圆心角、圆内外角的差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
要判断角是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，解题时只需逐个验证5个图形的角是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
我们结合圆周角的定义逐个分析：
1. 图①：角的顶点是圆心O，在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
2. 图②：角的顶点在圆外侧，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
3. 图③：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，同时满足圆周角的两个判定条件，是圆周角；
4. 图④：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
5. 图⑤：角的顶点在圆外侧，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角。
综上，只有1个圆周角。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握圆周角的判定要素，注意区分圆周角与圆心角、圆内外角的差异，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
2.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点.若$∠ BOC=66°$，则$∠ A=$（
A.$66°$
B.$33°$
C.$30°$
D.$24°$
B
）A.$66°$
B.$33°$
C.$30°$
D.$24°$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察所求角∠A和已知角∠BOC的位置：∠A是弧BC所对的圆周角，顶点在圆上；∠BOC是弧BC所对的圆心角，顶点在圆心，二者对应同一段弧BC。回忆圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用已知圆心角的度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=66°$，
∴$∠ A = \frac{1}{2}×66° = 33°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同一段弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先观察所求角∠A和已知角∠BOC的位置：∠A是弧BC所对的圆周角，顶点在圆上；∠BOC是弧BC所对的圆心角，顶点在圆心，二者对应同一段弧BC。回忆圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用已知圆心角的度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ BOC=66°$，
∴$∠ A = \frac{1}{2}×66° = 33°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同一段弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
变式训练
已知圆心角求圆周角→已知圆周角求圆心角
[2024·安庆期末]如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,
$∠ D=35°$,B是$\overset{\frown}{AC}$的中点,则$∠ AOC$的度数是
已知圆心角求圆周角→已知圆周角求圆心角
[2024·安庆期末]如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,
$∠ D=35°$,B是$\overset{\frown}{AC}$的中点,则$∠ AOC$的度数是
$140°$
.答案
【变式训练】$140°$
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。第一步先找已知圆周角∠D对应的弧是$\overset{\frown}{AB}$，可求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数；第二步结合B是$\overset{\frown}{AC}$的中点的条件，可得$\overset{\frown}{AC}$的长度是$\overset{\frown}{AB}$的2倍，因此$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角∠AOC是$\overset{\frown}{AB}$对应圆心角的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。
∵ ∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，且∠D=35°，
∴ $\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角∠AOB=2∠D=2×35°=70°。
又
∵ B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角∠AOC=2∠AOB=2×70°=140°。
【答案】
$140°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题关键是准确对应圆周角、圆心角和所对的弧，结合弧中点的性质推导角度关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。第一步先找已知圆周角∠D对应的弧是$\overset{\frown}{AB}$，可求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数；第二步结合B是$\overset{\frown}{AC}$的中点的条件，可得$\overset{\frown}{AC}$的长度是$\overset{\frown}{AB}$的2倍，因此$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角∠AOC是$\overset{\frown}{AB}$对应圆心角的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍。
∵ ∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，且∠D=35°，
∴ $\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角∠AOB=2∠D=2×35°=70°。
又
∵ B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AB}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角∠AOC=2∠AOB=2×70°=140°。
【答案】
$140°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题关键是准确对应圆周角、圆心角和所对的弧，结合弧中点的性质推导角度关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点C在$\odot O$上，且$∠ BCA = 30°$，弦$AB = 7$，则$\odot O$的半径为（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
3.C
解析
【分析】
本题要求圆的半径，已知圆周角∠BCA的度数和它所对的弦AB的长度，解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此我们可以连接OA、OB，构造出弧AB所对的圆心角∠AOB；第二步，计算出∠AOB的度数后，结合OA=OB（都是圆的半径），可判断△AOB的形状；第三步，根据特殊三角形的边长关系即可求出半径的长度。
【解析】
连接OA、OB。
∵ ∠BCA是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ AOB = 2∠ BCA = 2×30° = 60°$。
又
∵ OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$，
∴ $△ AOB$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $OA = OB = AB = 7$，即$\odot O$的半径为7。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等边三角形的判定与性质
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是圆周角定理应用的基础题型，解题关键是通过作辅助线构造同弧所对的圆心角，结合等边三角形的性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题要求圆的半径，已知圆周角∠BCA的度数和它所对的弦AB的长度，解题思路如下：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此我们可以连接OA、OB，构造出弧AB所对的圆心角∠AOB；第二步，计算出∠AOB的度数后，结合OA=OB（都是圆的半径），可判断△AOB的形状；第三步，根据特殊三角形的边长关系即可求出半径的长度。
【解析】
连接OA、OB。
∵ ∠BCA是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ AOB = 2∠ BCA = 2×30° = 60°$。
又
∵ OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$，
∴ $△ AOB$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $OA = OB = AB = 7$，即$\odot O$的半径为7。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等边三角形的判定与性质
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是圆周角定理应用的基础题型，解题关键是通过作辅助线构造同弧所对的圆心角，结合等边三角形的性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. [2024·合肥四十八中期末]如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，且$OC⊥ AB$，过点C的弦CD与线段OB相交于点E. 若$∠ AEC=65°$，连接AD，则$∠ BAD=$（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$32.5°$
A
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$32.5°$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先利用已知的垂直关系得到直角，结合三角形内角和求出∠OCE的度数；再根据圆的半径相等得到等腰△OCD，求出∠COD的度数，进而得到∠BOD的度数；最后根据圆周角定理，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
$\because OC⊥ AB$，$\therefore ∠ COE=90°$，
在$△ COE$中，$∠ OEC=∠ AEC=65°$，
$\therefore ∠ OCE=180°-∠ COE-∠ OEC=180°-90°-65°=25°$，
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCE=25°$，
$\therefore ∠ COD=180°-∠ ODC-∠ OCE=180°-25°-25°=130°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD-∠ COB=130°-90°=40°$，
$\because ∠ BAD$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是理清角度之间的转化关系，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，即可快速推导得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先利用已知的垂直关系得到直角，结合三角形内角和求出∠OCE的度数；再根据圆的半径相等得到等腰△OCD，求出∠COD的度数，进而得到∠BOD的度数；最后根据圆周角定理，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
$\because OC⊥ AB$，$\therefore ∠ COE=90°$，
在$△ COE$中，$∠ OEC=∠ AEC=65°$，
$\therefore ∠ OCE=180°-∠ COE-∠ OEC=180°-90°-65°=25°$，
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCE=25°$，
$\therefore ∠ COD=180°-∠ ODC-∠ OCE=180°-25°-25°=130°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD-∠ COB=130°-90°=40°$，
$\because ∠ BAD$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是理清角度之间的转化关系，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，即可快速推导得出结果。
【难度系数】
0.7
5.如图，A,B,C,D是$\odot O$上的四个点，若$∠ A=60°,∠ B=24°$,则$∠ C$的度数为（
A.$84°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$24°$
D
）A.$84°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$24°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。先观察∠B的两条边与圆的交点，确定∠B所对的弧是弧AD；再观察∠C的两条边与圆的交点，发现∠C所对的弧同样是弧AD，因此二者相等，直接可求出∠C的度数，题干给出的∠A=60°为干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠ABD（即题目中的∠B）和∠ACD（即题目中的∠C）都是弧AD所对的圆周角，
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，
∴∠C=∠B=24°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，核心考查同弧所对圆周角相等的性质，解题的关键是准确识别两个角对应的公共弧，注意不要被题干中的多余条件误导。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。先观察∠B的两条边与圆的交点，确定∠B所对的弧是弧AD；再观察∠C的两条边与圆的交点，发现∠C所对的弧同样是弧AD，因此二者相等，直接可求出∠C的度数，题干给出的∠A=60°为干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠ABD（即题目中的∠B）和∠ACD（即题目中的∠C）都是弧AD所对的圆周角，
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，
∴∠C=∠B=24°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，核心考查同弧所对圆周角相等的性质，解题的关键是准确识别两个角对应的公共弧，注意不要被题干中的多余条件误导。
【难度系数】
0.8
6. [2024·合肥肥东一模]如图，AB是$\odot O$中的一条弦，半径$OD ⊥ AB$于点$C$，交$\odot O$于点$D$，$E$是$\overset{\frown}{AEB}$上一点. 若$∠ OAB = 46°$，则$∠ E =$（
A.$46°$
B.$44°$
C.$23°$
D.$22°$
D
）A.$46°$
B.$44°$
C.$23°$
D.$22°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：半径$OD ⊥ AB$，首先联想到垂径定理，可得$OD$平分弧$AB$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，对应圆心角$∠ AOD=∠ BOD$。要求圆周角$∠ E$的度数，根据圆周角定理，圆周角度数等于其所对弧对应圆心角度数的一半，因此只需先求出$∠ BOD$的度数即可。首先在$\mathrm{Rt}△ OAC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ AOD$的度数，即可得到$∠ BOD$的度数，再除以2就能得到$∠ E$的度数。
【解析】
解：$\because OD ⊥ AB$，$\therefore ∠ ACO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ OAB=46°$，
$\therefore ∠ AOD=90°-∠ OAB=90°-46°=44°$，
$\because OD ⊥ AB$，且$OD$是$\odot O$的半径，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BOD=∠ AOD=44°$，
$\because ∠ E$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×44°=22°$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题核心是熟练运用垂径定理和圆周角定理，找到圆周角对应的圆心角度数即可求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件：半径$OD ⊥ AB$，首先联想到垂径定理，可得$OD$平分弧$AB$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，对应圆心角$∠ AOD=∠ BOD$。要求圆周角$∠ E$的度数，根据圆周角定理，圆周角度数等于其所对弧对应圆心角度数的一半，因此只需先求出$∠ BOD$的度数即可。首先在$\mathrm{Rt}△ OAC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ AOD$的度数，即可得到$∠ BOD$的度数，再除以2就能得到$∠ E$的度数。
【解析】
解：$\because OD ⊥ AB$，$\therefore ∠ ACO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ OAB=46°$，
$\therefore ∠ AOD=90°-∠ OAB=90°-46°=44°$，
$\because OD ⊥ AB$，且$OD$是$\odot O$的半径，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ BOD=∠ AOD=44°$，
$\because ∠ E$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ E=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×44°=22°$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题核心是熟练运用垂径定理和圆周角定理，找到圆周角对应的圆心角度数即可求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB为$\odot O$的直径，半径长为4，$∠ BPQ=45°$，则弦AQ的长度为
$4\sqrt{2}$
。答案
7.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，∠BPQ是圆周角，可利用同弧所对圆周角相等的性质，将其转化为AB同侧同弧所对的∠BAQ；再结合AB是直径的条件，构造直径所对的直角圆周角，即可得到含45°角的直角三角形，最后结合已知的半径长度求解AQ的长度。具体思路：1. 连接辅助线BQ，构造直径所对的圆周角；2. 利用圆周角定理推论得到∠BAQ=∠BPQ=45°，同时得到∠AQB=90°；3. 计算直径AB的长度，在等腰直角三角形中计算AQ的长度。
【解析】
解：连接BQ，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AQB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵ $∠ BPQ$和$∠ BAQ$都是弧BQ所对的圆周角，
∴ $∠ BAQ=∠ BPQ=45°$，
∴ $△ AQB$为等腰直角三角形，即$AQ=BQ$，
已知$\odot O$半径为4，
∴ $AB=2×4=8$，
在$Rt△ AQB$中，由勾股定理得：$AQ^2 + BQ^2 = AB^2$，
即$2AQ^2 = 8^2$，
解得$AQ=\sqrt{\frac{64}{2}}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等；2. 直径所对圆周角为直角；3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础常考题型，解题核心是通过添加合适的辅助线构造直角三角形，结合圆周角定理的推论完成角度转化，再利用特殊三角形的边长关系求解，考察了学生对基础定理的应用和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，∠BPQ是圆周角，可利用同弧所对圆周角相等的性质，将其转化为AB同侧同弧所对的∠BAQ；再结合AB是直径的条件，构造直径所对的直角圆周角，即可得到含45°角的直角三角形，最后结合已知的半径长度求解AQ的长度。具体思路：1. 连接辅助线BQ，构造直径所对的圆周角；2. 利用圆周角定理推论得到∠BAQ=∠BPQ=45°，同时得到∠AQB=90°；3. 计算直径AB的长度，在等腰直角三角形中计算AQ的长度。
【解析】
解：连接BQ，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AQB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵ $∠ BPQ$和$∠ BAQ$都是弧BQ所对的圆周角，
∴ $∠ BAQ=∠ BPQ=45°$，
∴ $△ AQB$为等腰直角三角形，即$AQ=BQ$，
已知$\odot O$半径为4，
∴ $AB=2×4=8$，
在$Rt△ AQB$中，由勾股定理得：$AQ^2 + BQ^2 = AB^2$，
即$2AQ^2 = 8^2$，
解得$AQ=\sqrt{\frac{64}{2}}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等；2. 直径所对圆周角为直角；3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础常考题型，解题核心是通过添加合适的辅助线构造直角三角形，结合圆周角定理的推论完成角度转化，再利用特殊三角形的边长关系求解，考察了学生对基础定理的应用和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
