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8. [与T11互为孪生题]如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且$AC=BC=2$，$∠ BCD=30°$，求BD的长.
答案
8.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB为$\odot O$的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=∠ ADB=90°$。已知$AC=BC=2$，可先在等腰直角$△ ACB$中用勾股定理求出直径$AB$的长度。再根据同弧所对的圆周角相等，得到$∠ BAD=∠ BCD=30°$，最后在$Rt△ ADB$中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出$BD$的长。
【解析】
1. 因为$AB$为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得：
$∠ ACB=∠ ADB=90°$
2. 在$Rt△ ACB$中，$AC=BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
3. 因为$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ BAD=∠ BCD=30°$
4. 在$Rt△ ADB$中，$∠ BAD=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角性质与直角三角形性质的典型综合应用题，解题的关键是通过直径的特征得到直角三角形，再结合同弧圆周角相等找到特殊角度，进而简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AB为$\odot O$的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=∠ ADB=90°$。已知$AC=BC=2$，可先在等腰直角$△ ACB$中用勾股定理求出直径$AB$的长度。再根据同弧所对的圆周角相等，得到$∠ BAD=∠ BCD=30°$，最后在$Rt△ ADB$中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出$BD$的长。
【解析】
1. 因为$AB$为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得：
$∠ ACB=∠ ADB=90°$
2. 在$Rt△ ACB$中，$AC=BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
3. 因为$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ BAD=∠ BCD=30°$
4. 在$Rt△ ADB$中，$∠ BAD=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角性质与直角三角形性质的典型综合应用题，解题的关键是通过直径的特征得到直角三角形，再结合同弧圆周角相等找到特殊角度，进而简化计算。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$\odot A$过点$O(0,0),C(2\sqrt{3},0),D(0,2)$，B是x轴下方$\odot A$上的一点，连接BO，BD，则$∠ OBD$的度数是（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
9.B
解析
【分析】
要求∠OBD的度数，可利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，将未知角转化为易求的角。首先连接CD，∠OBD与∠OCD都是弧OD所对的圆周角，因此只需求出∠OCD的度数即可。先根据点坐标得到直角△COD的两条直角边长度，再通过特殊角的三角函数值求出∠OCD的度数，就能得到∠OBD的度数。
【解析】
1. 连接CD，由点坐标可知：$OC=2\sqrt{3}$，$OD=2$，且$∠ COD=90°$，即$△ COD$是直角三角形。
2. 在$Rt△ COD$中，$\tan∠ OCD=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合特殊角的三角函数值可得$∠ OCD=30°$。
3. 根据圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，$∠ OBD$和$∠ OCD$都对应弧$OD$，因此$∠ OBD=∠ OCD=30°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的基础题型，核心解题思路是利用同弧所对圆周角相等实现角度的转化，结合平面直角坐标系中线段长度计算、特殊角三角函数即可求解，是圆周角相关知识的典型应用考法。
【难度系数】
0.7
要求∠OBD的度数，可利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，将未知角转化为易求的角。首先连接CD，∠OBD与∠OCD都是弧OD所对的圆周角，因此只需求出∠OCD的度数即可。先根据点坐标得到直角△COD的两条直角边长度，再通过特殊角的三角函数值求出∠OCD的度数，就能得到∠OBD的度数。
【解析】
1. 连接CD，由点坐标可知：$OC=2\sqrt{3}$，$OD=2$，且$∠ COD=90°$，即$△ COD$是直角三角形。
2. 在$Rt△ COD$中，$\tan∠ OCD=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合特殊角的三角函数值可得$∠ OCD=30°$。
3. 根据圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，$∠ OBD$和$∠ OCD$都对应弧$OD$，因此$∠ OBD=∠ OCD=30°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的基础题型，核心解题思路是利用同弧所对圆周角相等实现角度的转化，结合平面直角坐标系中线段长度计算、特殊角三角函数即可求解，是圆周角相关知识的典型应用考法。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在半径为5的$\odot A$中,BC,ED所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$.若$DE=6$,$∠ BAC+∠ EAD=180°$,则BC的长为
(
A.8
B.10
C.11
D.12
(
A
)A.8
B.10
C.11
D.12
答案
10.A
解析
【分析】
已知两个圆心角之和为180°，我们可以通过构造平角的辅助线，将两个圆心角建立关联，利用同圆中相等圆心角对应弦相等的性质，把已知的DE转化为新的弦，再结合直径所对圆周角为直角的性质，将BC放入直角三角形中，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：延长CA交⊙A于点F，连接BF。
1. 因为CF是⊙A的直径，⊙A半径为5，所以CF=2×5=10，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠CBF=90°。
2. 由平角定义可知∠BAC + ∠BAF = 180°，已知∠BAC + ∠EAD=180°，因此∠BAF=∠EAD。
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以BF=DE=6。
4. 在Rt△CBF中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{CF^2 - BF^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，通过构造辅助线将分散的条件集中到直角三角形中，既考查了圆的基本性质，也考查了勾股定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
已知两个圆心角之和为180°，我们可以通过构造平角的辅助线，将两个圆心角建立关联，利用同圆中相等圆心角对应弦相等的性质，把已知的DE转化为新的弦，再结合直径所对圆周角为直角的性质，将BC放入直角三角形中，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：延长CA交⊙A于点F，连接BF。
1. 因为CF是⊙A的直径，⊙A半径为5，所以CF=2×5=10，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠CBF=90°。
2. 由平角定义可知∠BAC + ∠BAF = 180°，已知∠BAC + ∠EAD=180°，因此∠BAF=∠EAD。
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以BF=DE=6。
4. 在Rt△CBF中，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{CF^2 - BF^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用转化思想，通过构造辅助线将分散的条件集中到直角三角形中，既考查了圆的基本性质，也考查了勾股定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
11. [与T8互为孪生题]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，AB与CD相交于点E，$AC=BC=2$，$∠ BCD=30°$，则BE的长为
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
。答案
11.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先由AB是圆的直径可得∠ACB是直角，结合AC=BC可判断△ACB是等腰直角三角形，得到∠CBA=45°。已知∠BCD=30°，在△BCE中存在30°、45°两个特殊角，我们可以过E作BC的垂线，将△BCE拆分为两个特殊直角三角形，设未知数表示出BC的两段长度，结合BC=2列方程求解，最后再根据45°直角三角形的三边关系计算BE的长度。
【解析】
1.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
2. 又
∵$AC=BC=2$，
∴$△ ACB$是等腰直角三角形，$∠ CBA=45°$。
3. 过点E作$EF⊥ BC$于点F，设$EF=x$：
在$Rt△ EFB$中，$∠ EBF=45°$，
∴$BF=EF=x$，由勾股定理得$BE=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ EFC$中，$∠ ECF=∠ BCD=30°$，
∴斜边$CE=2x$，由勾股定理得$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
4.
∵$BC=CF+BF=2$，
∴$\sqrt{3}x+x=2$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$（分母有理化计算：$\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1$）。
5. 将$x=\sqrt{3}-1$代入$BE=\sqrt{2}x$，得$BE=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆周角与特殊三角形的综合题，解题核心是通过作垂线将含特殊角的斜三角形转化为两个熟悉的特殊直角三角形，再结合勾股定理或特殊角的三边关系列方程求解，同时要熟练掌握二次根式的化简运算。
【难度系数】
0.6
首先由AB是圆的直径可得∠ACB是直角，结合AC=BC可判断△ACB是等腰直角三角形，得到∠CBA=45°。已知∠BCD=30°，在△BCE中存在30°、45°两个特殊角，我们可以过E作BC的垂线，将△BCE拆分为两个特殊直角三角形，设未知数表示出BC的两段长度，结合BC=2列方程求解，最后再根据45°直角三角形的三边关系计算BE的长度。
【解析】
1.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
2. 又
∵$AC=BC=2$，
∴$△ ACB$是等腰直角三角形，$∠ CBA=45°$。
3. 过点E作$EF⊥ BC$于点F，设$EF=x$：
在$Rt△ EFB$中，$∠ EBF=45°$，
∴$BF=EF=x$，由勾股定理得$BE=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ EFC$中，$∠ ECF=∠ BCD=30°$，
∴斜边$CE=2x$，由勾股定理得$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
4.
∵$BC=CF+BF=2$，
∴$\sqrt{3}x+x=2$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$（分母有理化计算：$\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1$）。
5. 将$x=\sqrt{3}-1$代入$BE=\sqrt{2}x$，得$BE=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆周角与特殊三角形的综合题，解题核心是通过作垂线将含特殊角的斜三角形转化为两个熟悉的特殊直角三角形，再结合勾股定理或特殊角的三边关系列方程求解，同时要熟练掌握二次根式的化简运算。
【难度系数】
0.6
12. [2025·淮北滩溪期中]如图1,在$\odot O$中,直径AC垂直于弦BD于点G,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$,连接AE交BD于点F.
(1)若$AG=1,AE=4$,求OG的长;
(2)连接OF,OE,如图2,若$∠ GOF=20°$,求$∠ COE$的度数.
(1)若$AG=1,AE=4$,求OG的长;
(2)连接OF,OE,如图2,若$∠ GOF=20°$,求$∠ COE$的度数.
答案
12. (1)$DG=\frac{3}{2}$ (2)$∠COE=100°$
解析
【分析】
(1) 遇到直径垂直弦的条件，首先想到垂径定理：可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，且BD被G平分。结合已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，可推导$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等弦得BD=AE，即可求出BG的长度。设圆的半径为r，在直角三角形OBG中用勾股定理列方程求解半径，进而计算OG的长度。
(2) 先由等弧对应的圆周角相等，推导$∠ BAE=∠ ABD$，得到AF=BF；再结合OA=OB、公共边OF，证明$△ AOF≌△ BOF$，得到$∠ AOB$的度数。再由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$得对应圆心角相等，求出$∠ AOE$的度数，最后利用平角的性质计算$∠ COE$即可。
【解析】
(1) 解：
∵ AC是$\odot O$的直径，且$AC⊥ BD$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，$BG=DG=\frac{1}{2}BD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $BD=AE=4$，则$BG=\frac{1}{2}BD=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OG=OA-AG=r-1$。
在$Rt△ OBG$中，由勾股定理得：
$OB^2=OG^2+BG^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开整理得：$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$，
∴ $OG=r-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
(2) 解：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $∠ BAE=∠ AEB$，
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ AEB=∠ ABD$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ BAE=∠ ABD$，
∴ $AF=BF$。
在$△ AOF$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}OA=OB \\AF=BF \\OF=OF\end{cases}$
∴ $△ AOF≌△ BOF$（SSS），
∴ $∠ AOF=∠ BOF=∠ GOF=20°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOF+∠ BOF=40°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ 对应的圆心角$∠ BOE=∠ AOB=40°$，
∴ $∠ AOE=∠ AOB+∠ BOE=40°+40°=80°$，
∵ AC是直径，$∠ AOC=180°$，
∴ $∠ COE=180°-∠ AOE=180°-80°=100°$。
【答案】
(1) $OG=\frac{3}{2}$；(2) $∠ COE=100°$
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的核心是熟练掌握圆中弧、弦、圆心角、圆周角的对应关系，结合垂径定理和全等三角形的性质转化边和角的关系，对几何逻辑推导能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.6
(1) 遇到直径垂直弦的条件，首先想到垂径定理：可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，且BD被G平分。结合已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，可推导$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等弦得BD=AE，即可求出BG的长度。设圆的半径为r，在直角三角形OBG中用勾股定理列方程求解半径，进而计算OG的长度。
(2) 先由等弧对应的圆周角相等，推导$∠ BAE=∠ ABD$，得到AF=BF；再结合OA=OB、公共边OF，证明$△ AOF≌△ BOF$，得到$∠ AOB$的度数。再由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$得对应圆心角相等，求出$∠ AOE$的度数，最后利用平角的性质计算$∠ COE$即可。
【解析】
(1) 解：
∵ AC是$\odot O$的直径，且$AC⊥ BD$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，$BG=DG=\frac{1}{2}BD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $BD=AE=4$，则$BG=\frac{1}{2}BD=2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OG=OA-AG=r-1$。
在$Rt△ OBG$中，由勾股定理得：
$OB^2=OG^2+BG^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开整理得：$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$，
∴ $OG=r-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
(2) 解：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $∠ BAE=∠ AEB$，
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ AEB=∠ ABD$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ BAE=∠ ABD$，
∴ $AF=BF$。
在$△ AOF$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}OA=OB \\AF=BF \\OF=OF\end{cases}$
∴ $△ AOF≌△ BOF$（SSS），
∴ $∠ AOF=∠ BOF=∠ GOF=20°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOF+∠ BOF=40°$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ 对应的圆心角$∠ BOE=∠ AOB=40°$，
∴ $∠ AOE=∠ AOB+∠ BOE=40°+40°=80°$，
∵ AC是直径，$∠ AOC=180°$，
∴ $∠ COE=180°-∠ AOE=180°-80°=100°$。
【答案】
(1) $OG=\frac{3}{2}$；(2) $∠ COE=100°$
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的核心是熟练掌握圆中弧、弦、圆心角、圆周角的对应关系，结合垂径定理和全等三角形的性质转化边和角的关系，对几何逻辑推导能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.6
13. 如图,以AB为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点C,AE,BE分别平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,AE的延长线交$\odot O$于点D,连接BD.
(1)判断$△ BDE$的形状,并说明理由;
(2)若$AB=10$,$BE=2\sqrt{10}$,求BC的长.
(1)判断$△ BDE$的形状,并说明理由;
(2)若$AB=10$,$BE=2\sqrt{10}$,求BC的长.
答案
13. (1)$△ BDE$ 为等腰直角三角形.
理由:$\because AE$ 平分$∠ BAC$,$BE$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD=∠ CBD,∠ ABE=∠ CBE.$
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE,∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED=∠ DBE,\therefore BD=ED.$
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore △ BDE$ 为等腰直角三角形.
(2)连接$OC,CD,OD$,$OD$ 交$BC$ 于点$F$.
$\because ∠ DBC=∠ CAD=∠ BAD=∠ BCD,\therefore BD=CD.$
又$\because OB=OC,\therefore OD$ 垂直平分$BC$.
$\because BE=2\sqrt{10},\therefore BD=2\sqrt{5}.$
$\because AB=10,\therefore OB=OD=5.$
设$OF=x$,则$DF=5-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BOF$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDF$ 中,由勾股定理,得 $5^2-x^2=(2\sqrt{5})^2-(5-x)^2$,解得 $x=3$,
$\therefore BF=4,\therefore BC=2BF=8.$
理由:$\because AE$ 平分$∠ BAC$,$BE$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD=∠ CBD,∠ ABE=∠ CBE.$
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE,∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED=∠ DBE,\therefore BD=ED.$
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore △ BDE$ 为等腰直角三角形.
(2)连接$OC,CD,OD$,$OD$ 交$BC$ 于点$F$.
$\because ∠ DBC=∠ CAD=∠ BAD=∠ BCD,\therefore BD=CD.$
又$\because OB=OC,\therefore OD$ 垂直平分$BC$.
$\because BE=2\sqrt{10},\therefore BD=2\sqrt{5}.$
$\because AB=10,\therefore OB=OD=5.$
设$OF=x$,则$DF=5-x$.
在$\mathrm{Rt}△ BOF$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDF$ 中,由勾股定理,得 $5^2-x^2=(2\sqrt{5})^2-(5-x)^2$,解得 $x=3$,
$\therefore BF=4,\therefore BC=2BF=8.$
解析
【分析】
(1) 要判断△BDE的形状，可从角度关系入手：首先利用角平分线性质得到等角，结合同弧所对圆周角相等进行角的转化；再通过三角形外角性质推导∠BED和∠DBE的大小关系，判断边的数量关系；最后结合直径所对圆周角为直角，即可确定三角形形状。
(2) 求BC的长时，先根据(1)的等腰直角三角形结论，结合已知BE的长度求出BD的长；再由等角对等边推导得BD=CD，结合OB=OC可知OD垂直平分BC，设OF为未知数，在两个直角三角形中用勾股定理表示BF²，列方程求解得到BF的长度，即可求出BC的长。
【解析】
(1) △BDE为等腰直角三角形，理由如下：
∵ AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴ ∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
由同弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠CBD，
∴ ∠BAE=∠CBD。
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED=∠BAE+∠ABE，
又
∵ ∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴ ∠BED=∠DBE，
∴ BD=ED。
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ADB=90°，
∴ △BDE是等腰直角三角形。
(2) 连接OC、CD、OD，设OD交BC于点F。
∵ ∠DBC=∠CAD=∠BAD，且同弧BD所对的圆周角∠BAD=∠BCD，
∴ ∠DBC=∠BCD，
∴ BD=CD。
又
∵ OB=OC，
∴ O、D均在BC的垂直平分线上，即OD垂直平分BC，
∴ BC=2BF，∠OFB=90°。
由(1)知△BDE是等腰直角三角形，BE=2√10，
∴ 2BD²=BE²，代入BE的长度解得BD=2√5。
∵ AB=10，
∴ ⊙O半径OB=OD=5。
设OF=x，则DF=5-x，
在Rt△BOF中，BF²=OB²-OF²=5²-x²，
在Rt△BDF中，BF²=BD²-DF²=(2√5)²-(5-x)²，
列方程：5²-x²=(2√5)²-(5-x)²，
解得x=3，
∴ BF=√(5²-3²)=4，
∴ BC=2BF=8。
【答案】
(1) △BDE为等腰直角三角形；
(2) BC的长为8。
【知识点】
圆周角定理及其推论，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，既考察了角平分线性质、圆周角推论等知识点的灵活运用，也需要通过勾股定理列方程求解线段长度，能够有效锻炼几何逻辑推导能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△BDE的形状，可从角度关系入手：首先利用角平分线性质得到等角，结合同弧所对圆周角相等进行角的转化；再通过三角形外角性质推导∠BED和∠DBE的大小关系，判断边的数量关系；最后结合直径所对圆周角为直角，即可确定三角形形状。
(2) 求BC的长时，先根据(1)的等腰直角三角形结论，结合已知BE的长度求出BD的长；再由等角对等边推导得BD=CD，结合OB=OC可知OD垂直平分BC，设OF为未知数，在两个直角三角形中用勾股定理表示BF²，列方程求解得到BF的长度，即可求出BC的长。
【解析】
(1) △BDE为等腰直角三角形，理由如下：
∵ AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴ ∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
由同弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠CBD，
∴ ∠BAE=∠CBD。
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED=∠BAE+∠ABE，
又
∵ ∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴ ∠BED=∠DBE，
∴ BD=ED。
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ADB=90°，
∴ △BDE是等腰直角三角形。
(2) 连接OC、CD、OD，设OD交BC于点F。
∵ ∠DBC=∠CAD=∠BAD，且同弧BD所对的圆周角∠BAD=∠BCD，
∴ ∠DBC=∠BCD，
∴ BD=CD。
又
∵ OB=OC，
∴ O、D均在BC的垂直平分线上，即OD垂直平分BC，
∴ BC=2BF，∠OFB=90°。
由(1)知△BDE是等腰直角三角形，BE=2√10，
∴ 2BD²=BE²，代入BE的长度解得BD=2√5。
∵ AB=10，
∴ ⊙O半径OB=OD=5。
设OF=x，则DF=5-x，
在Rt△BOF中，BF²=OB²-OF²=5²-x²，
在Rt△BDF中，BF²=BD²-DF²=(2√5)²-(5-x)²，
列方程：5²-x²=(2√5)²-(5-x)²，
解得x=3，
∴ BF=√(5²-3²)=4，
∴ BC=2BF=8。
【答案】
(1) △BDE为等腰直角三角形；
(2) BC的长为8。
【知识点】
圆周角定理及其推论，等腰直角三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，既考察了角平分线性质、圆周角推论等知识点的灵活运用，也需要通过勾股定理列方程求解线段长度，能够有效锻炼几何逻辑推导能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
