1. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地. 他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强$ P $（单位：Pa）与木板面积$ S $（单位：$ \mathrm{m}^2 $）成反比例关系. 若人和木板对湿地地面的压力为800 N，为安全起见压强$ P $不超过8 000 Pa，则下列说法正确的是().

A.当$ S $越来越大时，$ P $也越来越大
B.当$ S $为$ 0.2 \, \mathrm{m}^2 $时，$ P $是160 Pa
C.$ S $最多为$ 0.1 \, \mathrm{m}^2 $
D.$ S $最少为$ 0.1 \, \mathrm{m}^2 $

1. D

【分析】
首先根据题目给出的“压强P与木板面积S成反比例关系、压力为800N”的条件，先写出P关于S的反比例函数解析式。接下来按选项逐一判断：A选项考查反比例函数的增减性，结合反比例函数k的符号即可判断；B选项将S=0.2代入解析式计算即可验证对错；最后根据“压强不超过8000Pa”的限制列不等式，结合S为正数的实际意义求解S的取值范围，就能判断C、D的正误。
【解析】
解：由题意得，压强$P$与木板面积$S$的反比例函数解析式为：
$P=\frac{800}{S}$（$S＞0$，$S$表示木板面积，恒为正）
逐个分析选项：
A. 该反比例函数中$k=800＞0$，在第一象限内$P$随$S$的增大而减小，即$S$越大，$P$越小，故A错误；
B. 将$S=0.2\mathrm{m}^2$代入解析式得：$P=\frac{800}{0.2}=4000\mathrm{Pa}≠160\mathrm{Pa}$，故B错误；
C、D. 由压强不超过$8000\mathrm{Pa}$可得$P≤8000$，代入解析式得：
$\frac{800}{S}≤8000$
$\because S＞0$，不等式两边同时乘$S$，不等号方向不变，得：
$800≤8000S$
解得$S≥0.1$，即$S$最少为$0.1\mathrm{m}^2$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的性质
3. 不等式的求解
【点评】
本题结合物理压强常识考查反比例函数的实际应用，需要学生先根据题意建立函数模型，再结合函数性质和不等式求解自变量的取值范围，解题时要注意自变量的实际意义，避免忽略取值范围出错，是典型的跨学科基础应用题。
【难度系数】
0.8

2. 某蓄水池的排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，经过$6\ \mathrm{h}$可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^3$；
(2)如果增加排水管，使每小时排水量达到$Q(\mathrm{m}^3)$，那么将满池水排空所需时间为$t$(单位：$\mathrm{h}$)，则$Q$与$t$之间的函数关系为________；
(3)如果准备在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^3$；
(4)已知排水管的最大排水能力为每小时$12\ \mathrm{m}^3$，则至少经过$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{h}$可将满池水全部排空.

2. (1) 48
(2) $Q=\frac{48}{t}$
(3) 9.6
(4) 4

【分析】
本题围绕蓄水池总容积不变这一核心不变量，结合排水问题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用“总容积=每小时排水量×排水时间”直接计算即可得到蓄水池容积；
2. 第(2)问：已知总容积固定，每小时排水量Q与排水时间t的乘积等于总容积，变形即可得到Q与t的反比例函数关系；
3. 第(3)问：将t≤5代入反比例函数解析式，结合反比例函数的增减性（t越小，Q越大），即可求出t=5时对应的最小排水量；
4. 第(4)问：将Q≤12代入反比例函数解析式，结合反比例函数增减性（Q越大，t越小），即可求出Q=12时对应的最短排水时间。
【解析】
(1) 已知每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，$6\ \mathrm{h}$排空，根据容积计算公式：
$V = 8 × 6 = 48(\mathrm{m}^3)$
(2) 由总容积固定可得等量关系：$Q · t = 48$，变形后得到Q与t的函数关系：
$Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$
(3) 要求$5\ \mathrm{h}$内排空，即$t ≤ 5$，代入函数式可得$Q = \frac{48}{t} ≥ \frac{48}{5} = 9.6(\mathrm{m}^3)$，即每小时排水量至少为$9.6\ \mathrm{m}^3$；
(4) 已知排水管最大排水量为每小时$12\ \mathrm{m}^3$，即$Q ≤ 12$，代入函数式可得$t = \frac{48}{Q} ≥ \frac{48}{12} = 4(\mathrm{h})$，即至少经过$4\ \mathrm{h}$可将满池水排空。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48}$；(2) $\boldsymbol{Q=\dfrac{48}{t}(t＞0)}$；(3) $\boldsymbol{9.6}$；(4) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 反比例函数解析式确定
3. 反比例函数性质应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用题型，解题的关键是抓住总容积不变这一核心不变量，熟练掌握反比例函数的相关性质即可快速求解，充分体现了数学知识与实际生活的关联性。
【难度系数】
0.8

3. 某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕，以防受伤. 假设每副护腕的采购费用为$x$元，本次采购的护腕数量为$y$副，总预算为$w$元. 已知当$w$为定值时，$y$与$x$之间的关系如下表所示，请根据表中的信息回答下列问题：

(1)本次采购的总预算为元，$y$关于$x$的函数解析式为.
(2)求表中$a$的值.
(3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？

3. (1) 160 $y=\frac{160}{x}$
(2) $a=10$
(3) 在$y=\frac{160}{x}$中，当$x=6$时，$y=\frac{80}{3}$。$\because 160＞0$，$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。$\because$每副护腕的采购费用不低于6元，即$x≥6$，$\therefore y≤\frac{80}{3}$。$\because y$为整数，$\therefore y$的最大值为26。所以最多能采购26副护腕.

【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：(1) 总预算$w=$单价$x×$数量$y$，由于$w$为定值，因此$y$与$x$成反比例函数关系，先通过表格中已知的$x、y$对应值计算总预算，再写出反比例函数解析式；(2) 将$y=16$代入已求得的函数解析式，即可解出$a$的值；(3) 根据“每副护腕采购费用不低于6元”得到$x$的取值范围，结合反比例函数的增减性，找到$y$的最大值，注意$y$是护腕数量，需取正整数。
【解析】
(1) 总预算为定值，由表格中$x=5，y=32$可得，总预算$w=5×32=160$元，验证其余组数据：$8×20=160$，$16×10=160$，符合总预算为定值的条件。
因为$xy=160$，变形可得$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{160}{x}(x＞0)$。
(2) 当$y=16$时，代入$y=\frac{160}{x}$得：$16=\frac{160}{a}$，
解得$a=160÷16=10$。
(3) 由题意得$x≥6$，
在反比例函数$y=\frac{160}{x}$中，$k=160＞0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x$取最小值6时，$y$取得最大值，此时$y=\frac{160}{6}=\frac{80}{3}\approx26.67$。
由于护腕数量$y$为正整数，因此$y$的最大值为26。
【答案】
(1) $\boldsymbol{160}$，$\boldsymbol{y=\frac{160}{x}}$
(2) $\boldsymbol{a=10}$
(3) 最多能采购26副护腕
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数的概念
【点评】
本题结合采购预算的生活场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是抓住“总预算=单价×数量”这一等量关系确定函数解析式，再结合函数增减性和实际意义求解，是反比例函数应用的基础题型，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8