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4. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
答案
4. (1) $y=\frac{3}{x}(x＞0)$
(2) ①若矩形周长为6. $\because 2(x+y)=6$，即$x+y=3$，把$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=3$，整理得一元二次方程$x^2-3x+3=0$。$\because \Delta=(-3)^2-4×1×3=-3＜0$，$\therefore$该方程没有实数根。所以不存在周长为6且符合要求的矩形，圆圆的说法不对。
②若矩形周长为10. $\because 2(x+y)=10$，即$x+y=5$，把$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=5$，整理得一元二次方程$x^2-5x+3=0$。$\because \Delta=(-5)^2-4×1×3=13＞0$，$\therefore$该方程有两个不相等的正实数根。所以存在周长为10且符合要求的矩形，方方的说法对.
(2) ①若矩形周长为6. $\because 2(x+y)=6$，即$x+y=3$，把$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=3$，整理得一元二次方程$x^2-3x+3=0$。$\because \Delta=(-3)^2-4×1×3=-3＜0$，$\therefore$该方程没有实数根。所以不存在周长为6且符合要求的矩形，圆圆的说法不对。
②若矩形周长为10. $\because 2(x+y)=10$，即$x+y=5$，把$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=5$，整理得一元二次方程$x^2-5x+3=0$。$\because \Delta=(-5)^2-4×1×3=13＞0$，$\therefore$该方程有两个不相等的正实数根。所以存在周长为10且符合要求的矩形，方方的说法对.
解析
【分析】
首先，根据题意可知所有矩形面积相等，先算出固定面积为3，利用矩形面积公式可求y关于x的函数解析式，结合边长为正确定自变量范围；对于判断周长是否存在的问题，需将周长转化为关于x的方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，进而确定矩形是否存在。
【解析】
（1）已知当矩形一边长为1时，另一边长为3，所以矩形的固定面积为$1×3=3$。
因为矩形面积等于相邻两边长的乘积，即$xy=3$，所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
由于边长不能为负数，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
（2）判断两人的说法是否正确：
① 若矩形周长为6，根据矩形周长公式$2(x+y)=6$，化简得$x+y=3$。
将$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=3$，两边同乘x（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2 - 3x + 3 = 0$。
计算判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×3 = -3＜0$，该方程无实数根，因此不存在周长为6且符合要求的矩形，圆圆的说法不对。
② 若矩形周长为10，根据矩形周长公式$2(x+y)=10$，化简得$x+y=5$。
将$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=5$，两边同乘x（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2 -5x +3=0$。
计算判别式$\Delta = (-5)^2 -4×1×3=13＞0$，该方程有两个不相等的实数根，且两根之和为5、两根之积为3，均为正实数，符合边长为正的要求，因此存在周长为10且符合要求的矩形，方方的说法对。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{x}(x＞0)$；（2）圆圆的说法不对，方方的说法对，理由见解析。
【知识点】
反比例函数解析式、一元二次方程根的判别式、矩形的面积与周长
【点评】
本题综合考查反比例函数应用与一元二次方程根的判别式，核心是利用矩形面积固定建立函数关系，通过周长转化为方程，结合判别式判断解的存在性，体现函数与方程思想，难度中等，需掌握知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
首先，根据题意可知所有矩形面积相等，先算出固定面积为3，利用矩形面积公式可求y关于x的函数解析式，结合边长为正确定自变量范围；对于判断周长是否存在的问题，需将周长转化为关于x的方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，进而确定矩形是否存在。
【解析】
（1）已知当矩形一边长为1时，另一边长为3，所以矩形的固定面积为$1×3=3$。
因为矩形面积等于相邻两边长的乘积，即$xy=3$，所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
由于边长不能为负数，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
（2）判断两人的说法是否正确：
① 若矩形周长为6，根据矩形周长公式$2(x+y)=6$，化简得$x+y=3$。
将$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=3$，两边同乘x（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2 - 3x + 3 = 0$。
计算判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×3 = -3＜0$，该方程无实数根，因此不存在周长为6且符合要求的矩形，圆圆的说法不对。
② 若矩形周长为10，根据矩形周长公式$2(x+y)=10$，化简得$x+y=5$。
将$y=\frac{3}{x}$代入上式，得$x+\frac{3}{x}=5$，两边同乘x（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2 -5x +3=0$。
计算判别式$\Delta = (-5)^2 -4×1×3=13＞0$，该方程有两个不相等的实数根，且两根之和为5、两根之积为3，均为正实数，符合边长为正的要求，因此存在周长为10且符合要求的矩形，方方的说法对。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{x}(x＞0)$；（2）圆圆的说法不对，方方的说法对，理由见解析。
【知识点】
反比例函数解析式、一元二次方程根的判别式、矩形的面积与周长
【点评】
本题综合考查反比例函数应用与一元二次方程根的判别式，核心是利用矩形面积固定建立函数关系，通过周长转化为方程，结合判别式判断解的存在性，体现函数与方程思想，难度中等，需掌握知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
1. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间$t$(单位：h)是充电功率$P$(单位：kW)的反比例函数，其图象如图所示. 若该新能源电动车每次充满电需要4～5 h，则充电时的充电功率范围是(
A.15～20 kW
B.15 kW以内
C.12～15 kW
D.12 kW以上
C
).A.15～20 kW
B.15 kW以内
C.12～15 kW
D.12 kW以上
答案
1. C
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①根据题意设出t与P的反比例函数解析式；②结合图像给出的已知点，求出反比例函数的常数k，确定解析式；③根据题目中t的取值范围，代入解析式转化为关于P的不等式，求解后得到P的范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：因为t是P的反比例函数，设反比例函数解析式为$ t = \frac{k}{P} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，当$ P = 60\ \mathrm{kW} $时，$ t = 1\ \mathrm{h} $，代入解析式得：
$ 1 = \frac{k}{60} $，解得$ k = 60 $，因此反比例函数解析式为$ t = \frac{60}{P} $。
已知充满电时间$ t $的范围是$ 4\ \mathrm{h} ≤ t ≤ 5\ \mathrm{h} $，将其代入解析式得：
$ 4 ≤ \frac{60}{P} ≤ 5 $。
由于充电功率$ P ＞ 0 $，对不等式变形：
左边：$ 4 ≤ \frac{60}{P} \implies P ≤ \frac{60}{4} = 15 $；
右边：$ \frac{60}{P} ≤ 5 \implies P ≥ \frac{60}{5} = 12 $。
因此充电功率$ P $的范围是$ 12\ \mathrm{kW} ≤ P ≤ 15\ \mathrm{kW} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】
本题结合新能源电动车充电的实际场景，考查反比例函数的解析式确定及不等式的应用，关键是利用图像求出反比例函数解析式，再根据时间范围转化为功率范围，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①根据题意设出t与P的反比例函数解析式；②结合图像给出的已知点，求出反比例函数的常数k，确定解析式；③根据题目中t的取值范围，代入解析式转化为关于P的不等式，求解后得到P的范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：因为t是P的反比例函数，设反比例函数解析式为$ t = \frac{k}{P} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，当$ P = 60\ \mathrm{kW} $时，$ t = 1\ \mathrm{h} $，代入解析式得：
$ 1 = \frac{k}{60} $，解得$ k = 60 $，因此反比例函数解析式为$ t = \frac{60}{P} $。
已知充满电时间$ t $的范围是$ 4\ \mathrm{h} ≤ t ≤ 5\ \mathrm{h} $，将其代入解析式得：
$ 4 ≤ \frac{60}{P} ≤ 5 $。
由于充电功率$ P ＞ 0 $，对不等式变形：
左边：$ 4 ≤ \frac{60}{P} \implies P ≤ \frac{60}{4} = 15 $；
右边：$ \frac{60}{P} ≤ 5 \implies P ≥ \frac{60}{5} = 12 $。
因此充电功率$ P $的范围是$ 12\ \mathrm{kW} ≤ P ≤ 15\ \mathrm{kW} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用、不等式的求解
【点评】
本题结合新能源电动车充电的实际场景，考查反比例函数的解析式确定及不等式的应用，关键是利用图像求出反比例函数解析式，再根据时间范围转化为功率范围，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
2. 如图1，区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，来检测其在该路段平均速度的方法. 如图2，在限速区间AB内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度$v$(单位：$\mathrm{km/h}$)是行驶时间$t$(单位：$\mathrm{h}$)的反比例函数. 当$100＜v≤120$时，汽车通过该限速区间的时间可能是(
A.$0.15\ \mathrm{h}$
B.$0.22\ \mathrm{h}$
C.$0.24\ \mathrm{h}$
D.$0.4\ \mathrm{h}$
B
).A.$0.15\ \mathrm{h}$
B.$0.22\ \mathrm{h}$
C.$0.24\ \mathrm{h}$
D.$0.4\ \mathrm{h}$
答案
2. B
解析
【分析】
首先根据题目中v与t成反比例函数关系，利用图2给出的点（0.3，80）求出反比例函数的解析式；再结合题目要求的速度范围100＜v≤120，代入解析式求出对应的时间t的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
设汽车的平均行驶速度v与行驶时间t的反比例函数解析式为$ v = \frac{k}{t} (k ≠ 0) $。
将$ t = 0.3 \, \mathrm{h} $，$ v = 80 \, \mathrm{km/h} $代入解析式，得：
$ 80 = \frac{k}{0.3} $，解得$ k = 80 × 0.3 = 24 $，
因此反比例函数解析式为$ v = \frac{24}{t} $。
当$ 100 ＜ v ≤ 120 $时，将$ v = \frac{24}{t} $代入不等式，得：
$ 100 ＜ \frac{24}{t} ≤ 120 $，
由于$ t ＞ 0 $，不等式两边同时乘t，不等号方向不变，解得：
$ \frac{24}{120} ≤ t ＜ \frac{24}{100} $，即$ 0.2 ≤ t ＜ 0.24 $。
对比选项：
A. $ 0.15 \, \mathrm{h} ＜ 0.2 \, \mathrm{h} $，不符合；
B. $ 0.2 \, \mathrm{h} ≤ 0.22 \, \mathrm{h} ＜ 0.24 \, \mathrm{h} $，符合；
C. $ 0.24 \, \mathrm{h} $不满足$ t ＜ 0.24 $，不符合；
D. $ 0.4 \, \mathrm{h} ＞ 0.24 \, \mathrm{h} $，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；不等式的求解
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再结合速度范围求出时间的取值范围，属于基础应用题，解题关键是准确求出反比例函数解析式并正确解不等式。
【难度系数】
0.6
首先根据题目中v与t成反比例函数关系，利用图2给出的点（0.3，80）求出反比例函数的解析式；再结合题目要求的速度范围100＜v≤120，代入解析式求出对应的时间t的取值范围，最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
设汽车的平均行驶速度v与行驶时间t的反比例函数解析式为$ v = \frac{k}{t} (k ≠ 0) $。
将$ t = 0.3 \, \mathrm{h} $，$ v = 80 \, \mathrm{km/h} $代入解析式，得：
$ 80 = \frac{k}{0.3} $，解得$ k = 80 × 0.3 = 24 $，
因此反比例函数解析式为$ v = \frac{24}{t} $。
当$ 100 ＜ v ≤ 120 $时，将$ v = \frac{24}{t} $代入不等式，得：
$ 100 ＜ \frac{24}{t} ≤ 120 $，
由于$ t ＞ 0 $，不等式两边同时乘t，不等号方向不变，解得：
$ \frac{24}{120} ≤ t ＜ \frac{24}{100} $，即$ 0.2 ≤ t ＜ 0.24 $。
对比选项：
A. $ 0.15 \, \mathrm{h} ＜ 0.2 \, \mathrm{h} $，不符合；
B. $ 0.2 \, \mathrm{h} ≤ 0.22 \, \mathrm{h} ＜ 0.24 \, \mathrm{h} $，符合；
C. $ 0.24 \, \mathrm{h} $不满足$ t ＜ 0.24 $，不符合；
D. $ 0.4 \, \mathrm{h} ＞ 0.24 \, \mathrm{h} $，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；不等式的求解
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再结合速度范围求出时间的取值范围，属于基础应用题，解题关键是准确求出反比例函数解析式并正确解不等式。
【难度系数】
0.6
