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3. 某个转速可调节的电风扇，其转速的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现. 如图，这是该电风扇的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的关系图象，该图象经过点P(800，0.25). 根据图象可知，当R＞1 000 Ω时，I的取值范围是
0 A＜I＜0.2 A
.答案
3. 0 A＜I＜0.2 A
解析
【分析】
首先结合物理常识可知，电压一定时电流I与电阻R成反比例函数关系，解题分两步进行：第一步，利用已知点P的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，根据反比例函数的增减性，先计算R=1000Ω对应的电流值，再结合R＞1000Ω的条件和电流的实际意义（大于0），推导得出I的取值范围。
【解析】
解：由电压公式$U=IR$（电压U为定值）可知，I与R成反比例函数关系，设解析式为$\boldsymbol{I=\frac{k}{R}}$（$k≠0,R＞0$）。
将点$P(800,0.25)$代入解析式得：
$0.25=\frac{k}{800}$，解得$k=800×0.25=200$，
因此I与R的函数关系式为$I=\frac{200}{R}$（$R＞0$）。
$\because k=200＞0$，$\therefore$当$R＞0$时，I随R的增大而减小。
当$R=1000\ \Omega$时，$I=\frac{200}{1000}=0.2\ \mathrm{A}$，
结合电流实际意义$I＞0$，可得当$R＞1000\ \Omega$时，$0＜ I ＜0.2\ \mathrm{A}$。
【答案】
0 A＜I＜0.2 A
【知识点】
反比例函数的应用、求反比例函数解析式、反比例函数的性质
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是先确定反比例函数解析式，再利用增减性求解函数值范围，体现了跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.7
首先结合物理常识可知，电压一定时电流I与电阻R成反比例函数关系，解题分两步进行：第一步，利用已知点P的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，根据反比例函数的增减性，先计算R=1000Ω对应的电流值，再结合R＞1000Ω的条件和电流的实际意义（大于0），推导得出I的取值范围。
【解析】
解：由电压公式$U=IR$（电压U为定值）可知，I与R成反比例函数关系，设解析式为$\boldsymbol{I=\frac{k}{R}}$（$k≠0,R＞0$）。
将点$P(800,0.25)$代入解析式得：
$0.25=\frac{k}{800}$，解得$k=800×0.25=200$，
因此I与R的函数关系式为$I=\frac{200}{R}$（$R＞0$）。
$\because k=200＞0$，$\therefore$当$R＞0$时，I随R的增大而减小。
当$R=1000\ \Omega$时，$I=\frac{200}{1000}=0.2\ \mathrm{A}$，
结合电流实际意义$I＞0$，可得当$R＞1000\ \Omega$时，$0＜ I ＜0.2\ \mathrm{A}$。
【答案】
0 A＜I＜0.2 A
【知识点】
反比例函数的应用、求反比例函数解析式、反比例函数的性质
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是先确定反比例函数解析式，再利用增减性求解函数值范围，体现了跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，某种近视眼镜的度数$y$(单位：度)与镜片焦距$x$(单位：m)成反比例函数关系. 某同学的镜片焦距为0.2 m，经过矫正治疗后调整到0.5 m，则近视眼镜减少的度数为
300
度.答案
4. 300
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意明确近视眼镜度数y和镜片焦距x成反比例关系，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$；其次利用图像中给出的已知条件（x=0.2时y=500），代入解析式求出常数k，得到完整的函数解析式；再将调整后的焦距x=0.5代入解析式，求出对应的眼镜度数；最后用原来的度数减去调整后的度数，即可得到减少的度数。
【解析】
设近视眼镜度数y与镜片焦距x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当镜片焦距调整为$x=0.5\ \mathrm{m}$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{0.5}=200$
则近视眼镜减少的度数为$500-200=300$（度）。
【答案】
300
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，只要理清题意，按照步骤代入计算即可正确求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意明确近视眼镜度数y和镜片焦距x成反比例关系，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$；其次利用图像中给出的已知条件（x=0.2时y=500），代入解析式求出常数k，得到完整的函数解析式；再将调整后的焦距x=0.5代入解析式，求出对应的眼镜度数；最后用原来的度数减去调整后的度数，即可得到减少的度数。
【解析】
设近视眼镜度数y与镜片焦距x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=500×0.2=100$，因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当镜片焦距调整为$x=0.5\ \mathrm{m}$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{0.5}=200$
则近视眼镜减少的度数为$500-200=300$（度）。
【答案】
300
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，只要理清题意，按照步骤代入计算即可正确求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
5. 某新款茶吧机开始加热时，水温每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$；加热到$100\ °\mathrm{C}$时，停止加热，水温开始下降，此时水温$y$(单位：$°\mathrm{C}$)是通电时间$x$(单位：$\mathrm{min}$)的反比例函数. 若在水温为$20\ °\mathrm{C}$时开始加热，水温$y$与通电时间$x$之间的函数关系如图所示. 加热一次，水温不低于$50\ °\mathrm{C}$的时间有
6.5
$\mathrm{min}$.答案
5. 6.5
解析
【分析】
解题需分加热、降温两个阶段分析：首先加热阶段是一次函数，根据初始温度和升温速度求出加热到100℃的时长，写出加热段函数解析式；其次降温阶段是反比例函数，代入最高点坐标求出反比例解析式；再分别计算两个阶段水温等于50℃对应的时间，两个时间的差值就是水温不低于50℃的总时长。
【解析】
1. 求加热段函数及加热到100℃的时间
已知初始水温20℃，每分钟上升20℃，因此加热段函数为：
$y = 20x + 20\quad(0≤ x≤4)$
当水温达到100℃时，$20x + 20 = 100$，解得$x=4$，即加热4分钟后水温到100℃，开始降温。
2. 求降温段反比例函数解析式
设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，将点$(4,100)$代入得：
$100=\frac{k}{4}$，解得$k=400$，因此降温段函数为$y=\frac{400}{x}\quad(x≥4)$
3. 计算水温为50℃对应的两个时间值
① 加热段：令$20x + 20 = 50$，解得$x=1.5$；
② 降温段：令$\frac{400}{x}=50$，解得$x=8$；
4. 计算总时长：水温不低于50℃的时间为$8 - 1.5 = 6.5\ (\mathrm{min})$
【答案】
6.5
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题核心是准确求出两段函数的解析式，再根据函数值求解对应的自变量范围，思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
解题需分加热、降温两个阶段分析：首先加热阶段是一次函数，根据初始温度和升温速度求出加热到100℃的时长，写出加热段函数解析式；其次降温阶段是反比例函数，代入最高点坐标求出反比例解析式；再分别计算两个阶段水温等于50℃对应的时间，两个时间的差值就是水温不低于50℃的总时长。
【解析】
1. 求加热段函数及加热到100℃的时间
已知初始水温20℃，每分钟上升20℃，因此加热段函数为：
$y = 20x + 20\quad(0≤ x≤4)$
当水温达到100℃时，$20x + 20 = 100$，解得$x=4$，即加热4分钟后水温到100℃，开始降温。
2. 求降温段反比例函数解析式
设降温阶段反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，将点$(4,100)$代入得：
$100=\frac{k}{4}$，解得$k=400$，因此降温段函数为$y=\frac{400}{x}\quad(x≥4)$
3. 计算水温为50℃对应的两个时间值
① 加热段：令$20x + 20 = 50$，解得$x=1.5$；
② 降温段：令$\frac{400}{x}=50$，解得$x=8$；
4. 计算总时长：水温不低于50℃的时间为$8 - 1.5 = 6.5\ (\mathrm{min})$
【答案】
6.5
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题核心是准确求出两段函数的解析式，再根据函数值求解对应的自变量范围，思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
6. 小李家购买的立式恒温电热水器的最大容积为 100 L，电热水器热水出水率为 80%，$\mathrm{热水出水率}=\frac{\mathrm{热水输出容积}}{\mathrm{热水器的最大容积}}$。若家里的手持花洒每分钟出水量为 $x$ L，用该电热水器洗澡的最大时间为 $y$ min.
(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟出水量的范围是 4 L～8 L. 小李下午打球回来发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡 15 min. 请判断电热水器中的热水是否够用，并说明理由.
(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟出水量的范围是 4 L～8 L. 小李下午打球回来发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡 15 min. 请判断电热水器中的热水是否够用，并说明理由.
答案
6. (1)热水输出容积为 100×80%=80(L)，
∴xy=80，
∴$y=\frac{80}{x}(x＞0)$.
(2)热水不一定够用. 理由如下：当 $y=15$ 时，$x=\frac{80}{15}=\frac{16}{3}$，所以当 $4≤x≤\frac{16}{3}$ 时，电热水器中的热水够用；当 $\frac{16}{3}＜x≤8$ 时，电热水器中的热水不够用. 综上所述，热水不一定够用.
∴xy=80，
∴$y=\frac{80}{x}(x＞0)$.
(2)热水不一定够用. 理由如下：当 $y=15$ 时，$x=\frac{80}{15}=\frac{16}{3}$，所以当 $4≤x≤\frac{16}{3}$ 时，电热水器中的热水够用；当 $\frac{16}{3}＜x≤8$ 时，电热水器中的热水不够用. 综上所述，热水不一定够用.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：首先根据题目给出的热水出水率公式计算出可使用的热水总容积，再根据“每分钟出水量×洗澡时长=热水总容积”的等量关系，变形即可得到y与x的函数解析式，注意出水量x为正数。
第(2)问解题思路：先求出洗澡时长刚好为15min时对应的每分钟出水量，再将该数值和题目给出的出水量范围进行比较，分情况讨论不同出水量下热水是否够用即可。
【解析】
(1) 根据热水出水率公式计算热水输出容积：
$100×80\%=80(\mathrm{L})$
由题意可得等量关系：每分钟出水量×最大洗澡时间=热水输出容积，即$xy=80$，
整理得$y$关于$x$的函数解析式为：$y=\frac{80}{x}(x＞0)$。
(2) 电热水器中的热水不一定够用，理由如下：
当洗澡时间$y=15$时，代入$y=\frac{80}{x}$得：
$15=\frac{80}{x}$，解得$x=\frac{16}{3}$。
结合手持花洒出水量范围$4\mathrm{L}≤ x≤8\mathrm{L}$分类讨论：
① 当$4≤ x≤\frac{16}{3}$时，对应的洗澡时长$y≥15$，热水够用；
② 当$\frac{16}{3}＜x≤8$时，对应的洗澡时长$y＜15$，热水不够用。
综上，电热水器中的热水不一定够用。
【答案】
(1) $y=\frac{80}{x}(x＞0)$
(2) 热水不一定够用，当$4≤x≤\frac{16}{3}$时够用，当$\frac{16}{3}＜x≤8$时不够用。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 分类讨论思想
3. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题结合生活实际出题，解题的关键是读懂题意找准等量关系，列出正确的函数解析式，再结合自变量的取值范围分类讨论得出结论，注重考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：首先根据题目给出的热水出水率公式计算出可使用的热水总容积，再根据“每分钟出水量×洗澡时长=热水总容积”的等量关系，变形即可得到y与x的函数解析式，注意出水量x为正数。
第(2)问解题思路：先求出洗澡时长刚好为15min时对应的每分钟出水量，再将该数值和题目给出的出水量范围进行比较，分情况讨论不同出水量下热水是否够用即可。
【解析】
(1) 根据热水出水率公式计算热水输出容积：
$100×80\%=80(\mathrm{L})$
由题意可得等量关系：每分钟出水量×最大洗澡时间=热水输出容积，即$xy=80$，
整理得$y$关于$x$的函数解析式为：$y=\frac{80}{x}(x＞0)$。
(2) 电热水器中的热水不一定够用，理由如下：
当洗澡时间$y=15$时，代入$y=\frac{80}{x}$得：
$15=\frac{80}{x}$，解得$x=\frac{16}{3}$。
结合手持花洒出水量范围$4\mathrm{L}≤ x≤8\mathrm{L}$分类讨论：
① 当$4≤ x≤\frac{16}{3}$时，对应的洗澡时长$y≥15$，热水够用；
② 当$\frac{16}{3}＜x≤8$时，对应的洗澡时长$y＜15$，热水不够用。
综上，电热水器中的热水不一定够用。
【答案】
(1) $y=\frac{80}{x}(x＞0)$
(2) 热水不一定够用，当$4≤x≤\frac{16}{3}$时够用，当$\frac{16}{3}＜x≤8$时不够用。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 分类讨论思想
3. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题结合生活实际出题，解题的关键是读懂题意找准等量关系，列出正确的函数解析式，再结合自变量的取值范围分类讨论得出结论，注重考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
