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例2 某经销商销售香蕉，销售单价（单位：元/千克）与每天的销量（单位：kg）之间的关系如下表：
(1)在这个变化过程中，自变量是，因变量是；(2)设销售单价为$x$元/千克，每天的销量为$y$kg，写出$y$与$x$之间的表达式(不必写出自变量取值范围)；(3)某天香蕉进价为3元/千克，售价为6元/千克，则该经销商这天一共赚了多少元？[点拨] 本题属于一次函数的应用题，解答此题的关键是从表格中找出规律，即每千克的售价下调1元，每天的销量增加20 kg，同时注意“利润＝售价－进价”关系式的运用。[解] (1)由题意知，在这个变化过程中，自变量为单价，因变量为每天的销量。(2)由题意知$y=300+20(12-x)$，化简得$y=540-20x$。(3)当$x=6$时，$y=420$，所以该经销商这天一共赚了$420×(6-3)=1260$(元)。答:该经销商这天一共赚了1260元。
(1)在这个变化过程中，自变量是，因变量是；(2)设销售单价为$x$元/千克，每天的销量为$y$kg，写出$y$与$x$之间的表达式(不必写出自变量取值范围)；(3)某天香蕉进价为3元/千克，售价为6元/千克，则该经销商这天一共赚了多少元？[点拨] 本题属于一次函数的应用题，解答此题的关键是从表格中找出规律，即每千克的售价下调1元，每天的销量增加20 kg，同时注意“利润＝售价－进价”关系式的运用。[解] (1)由题意知，在这个变化过程中，自变量为单价，因变量为每天的销量。(2)由题意知$y=300+20(12-x)$，化简得$y=540-20x$。(3)当$x=6$时，$y=420$，所以该经销商这天一共赚了$420×(6-3)=1260$(元)。答:该经销商这天一共赚了1260元。答案
解：
(1) 销售单价；每天的销量
(2) 由表格可知，销售单价每下调1元，每天的销量增加20 kg，
可得 $y=300+20(12-x)$，
化简得 $y=540-20x$。
(3) 把$x=6$代入$y=540-20x$，
得 $y=540-20×6=420$，
总利润为 $420×(6-3)=1260$（元）。
答：该经销商这天一共赚了1260元。
(1) 销售单价；每天的销量
(2) 由表格可知，销售单价每下调1元，每天的销量增加20 kg，
可得 $y=300+20(12-x)$，
化简得 $y=540-20x$。
(3) 把$x=6$代入$y=540-20x$，
得 $y=540-20×6=420$，
总利润为 $420×(6-3)=1260$（元）。
答：该经销商这天一共赚了1260元。
解析
【分析】
(1) 先回忆自变量和因变量的定义：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量。本题中销售单价主动调整，每天的销量随单价变化而变化，据此可判断两个量。
(2) 先观察表格找规律：销售单价每降低1元，每天的销量增加20kg。已知单价12元/千克时销量为300kg，当单价为x元/千克时，单价比12元少了$(12-x)$元，对应销量增加$20(12-x)$kg，用基础销量加增加的销量即可得到y与x的关系式，再化简即可。
(3) 先将$x=6$代入第二问得到的表达式，算出当天的销量；再根据“每千克利润=售价-进价”算出单千克利润，最后用单千克利润乘总销量即可得到总利润。
【解析】
(1) 销售单价是主动变化的量，每天的销量随销售单价的变化而变化，因此自变量为销售单价，因变量为每天的销量。
(2) 由表格规律可知，销售单价每下调1元，每天的销量增加20kg：
$\begin{aligned}y&=300+20(12-x)\\&=300+240-20x\\&=540-20x\end{aligned}$
(3) 把$x=6$代入$y=540-20x$：
$y=540-20×6=420$
单千克利润为$6-3=3$元，总利润为：
$420×3=1260$（元）
答：该经销商这天一共赚了1260元。
【答案】
(1) 销售单价；每天的销量
(2) $y=540-20x$
(3) 1260元
【知识点】
自变量与因变量，一次函数表达式，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景出题，考查从表格提取数据规律的能力，同时结合函数基础概念和利润公式考查实际应用能力，是函数入门的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先回忆自变量和因变量的定义：主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量。本题中销售单价主动调整，每天的销量随单价变化而变化，据此可判断两个量。
(2) 先观察表格找规律：销售单价每降低1元，每天的销量增加20kg。已知单价12元/千克时销量为300kg，当单价为x元/千克时，单价比12元少了$(12-x)$元，对应销量增加$20(12-x)$kg，用基础销量加增加的销量即可得到y与x的关系式，再化简即可。
(3) 先将$x=6$代入第二问得到的表达式，算出当天的销量；再根据“每千克利润=售价-进价”算出单千克利润，最后用单千克利润乘总销量即可得到总利润。
【解析】
(1) 销售单价是主动变化的量，每天的销量随销售单价的变化而变化，因此自变量为销售单价，因变量为每天的销量。
(2) 由表格规律可知，销售单价每下调1元，每天的销量增加20kg：
$\begin{aligned}y&=300+20(12-x)\\&=300+240-20x\\&=540-20x\end{aligned}$
(3) 把$x=6$代入$y=540-20x$：
$y=540-20×6=420$
单千克利润为$6-3=3$元，总利润为：
$420×3=1260$（元）
答：该经销商这天一共赚了1260元。
【答案】
(1) 销售单价；每天的销量
(2) $y=540-20x$
(3) 1260元
【知识点】
自变量与因变量，一次函数表达式，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景出题，考查从表格提取数据规律的能力，同时结合函数基础概念和利润公式考查实际应用能力，是函数入门的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 老师告诉小明:“距离地面越远,温度越低”,并给小明出示了下面的表格:
根据上表,回答下列问题:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,你能写出h与t之间的表达式吗?
(3)距离地面5 km的高空温度是多少?
(4)你能猜出距离地面6 km的高空温度是多少吗?
根据上表,回答下列问题:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,你能写出h与t之间的表达式吗?
(3)距离地面5 km的高空温度是多少?
(4)你能猜出距离地面6 km的高空温度是多少吗?
答案
解:(1)反映了温度和距地面的高度之间的关系,其中高度是自变量,温度是因变量。
(2)由表格可知,每上升1 km,温度降低$6\ ℃$,可得表达式为$t=20-6h$。
(3)由表格可知,距地面5 km时,温度为$-10\ ℃$。
(4)将$h=6$代入$t=20-6h$,可得
$t=20-6× 6=-16$。
所以距离地面6 km的高空温度是$-16\ ℃$。
(2)由表格可知,每上升1 km,温度降低$6\ ℃$,可得表达式为$t=20-6h$。
(3)由表格可知,距地面5 km时,温度为$-10\ ℃$。
(4)将$h=6$代入$t=20-6h$,可得
$t=20-6× 6=-16$。
所以距离地面6 km的高空温度是$-16\ ℃$。
解析
【分析】
解题时按小问逐步分析：
1. 解决第(1)问：先明确变量相关定义，变化过程中主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的是因变量。观察表格的两类数据，即可判断对应的变量、自变量和因变量。
2. 解决第(2)问：对比相邻两组高度、温度的数值，找出高度每升高1km时温度的变化规律，再结合高度为0时的地面温度，即可推导得到t和h的关系式。
3. 解决第(3)问：直接在表格中查找高度为5km对应的温度数值即可。
4. 解决第(4)问：将h=6代入第(2)问得到的关系式，计算结果即为6km高空的温度。
【解析】
(1) 观察表格可知，表格记录了不同高度对应的温度，因此反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系；距离地面的高度是主动变化的量，温度随高度的变化而变化，因此距离地面的高度是自变量，温度是因变量。
(2) 对比数据可得：高度每上升1km，温度降低$6\ ℃$，地面（$h=0$）温度为$20\ ℃$，因此温度t和高度h的表达式为$t=20-6h$。
(3) 查找表格可得，距离地面5km的高空温度为$-10\ ℃$。
(4) 将$h=6$代入$t=20-6h$，计算得：
$t=20-6×6=20-36=-16$
因此距离地面6km的高空温度是$-16\ ℃$。
【答案】
(1) 反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系，距离地面的高度是自变量，温度是因变量。
(2) $t=20-6h$
(3) $-10\ ℃$
(4) $-16\ ℃$
【知识点】
变量的相关概念，函数关系式的确定，代数式求值
【点评】
本题结合气温随高度变化的生活实际，考查从表格中提取信息、分析变量变化规律的能力，解题核心是找准两个变量的对应变化关系，难度较低，掌握变量的基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时按小问逐步分析：
1. 解决第(1)问：先明确变量相关定义，变化过程中主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的是因变量。观察表格的两类数据，即可判断对应的变量、自变量和因变量。
2. 解决第(2)问：对比相邻两组高度、温度的数值，找出高度每升高1km时温度的变化规律，再结合高度为0时的地面温度，即可推导得到t和h的关系式。
3. 解决第(3)问：直接在表格中查找高度为5km对应的温度数值即可。
4. 解决第(4)问：将h=6代入第(2)问得到的关系式，计算结果即为6km高空的温度。
【解析】
(1) 观察表格可知，表格记录了不同高度对应的温度，因此反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系；距离地面的高度是主动变化的量，温度随高度的变化而变化，因此距离地面的高度是自变量，温度是因变量。
(2) 对比数据可得：高度每上升1km，温度降低$6\ ℃$，地面（$h=0$）温度为$20\ ℃$，因此温度t和高度h的表达式为$t=20-6h$。
(3) 查找表格可得，距离地面5km的高空温度为$-10\ ℃$。
(4) 将$h=6$代入$t=20-6h$，计算得：
$t=20-6×6=20-36=-16$
因此距离地面6km的高空温度是$-16\ ℃$。
【答案】
(1) 反映了温度和距离地面的高度两个变量之间的关系，距离地面的高度是自变量，温度是因变量。
(2) $t=20-6h$
(3) $-10\ ℃$
(4) $-16\ ℃$
【知识点】
变量的相关概念，函数关系式的确定，代数式求值
【点评】
本题结合气温随高度变化的生活实际，考查从表格中提取信息、分析变量变化规律的能力，解题核心是找准两个变量的对应变化关系，难度较低，掌握变量的基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1.已知下列关系式:①$y^2 - 3y = 5$;②$m=-3.5n$;③$y=-2x$;④$y=5x -1$;⑤$C=2π r$;⑥$a^2=|b|$,其中是函数关系的是(
A.①⑥
B.②③④⑤
C.④⑥
D.①②
B
)A.①⑥
B.②③④⑤
C.④⑥
D.①②
答案
B
解析
【分析】
要判断哪些是函数关系，首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，存在两个变量，若给其中一个变量一个确定的值，另一个变量有且只有唯一确定的值与之对应，就称后者是前者的函数。判断时抓住两个核心要点：①有且仅有两个变量；②两个变量满足“唯一对应”的关系。接下来我们逐个验证6个关系式：首先看①，只有y一个变量，不符合要点①，排除；再看⑥，给b一个正数，a有正负两个值对应，不满足“唯一对应”，排除；剩下的②③④⑤都同时满足两个要点，都是函数关系，对应选项B。
【解析】
解：根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，设为x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
逐个分析关系式：
①$y^2 - 3y = 5$：仅含有1个变量y，不符合函数需存在两个变量的要求，不是函数关系；
②$m=-3.5n$：有两个变量m、n，任给n一个确定值，m有唯一确定的值对应，是函数关系；
③$y=-2x$：有两个变量x、y，任给x一个确定值，y有唯一确定的值对应，是函数关系；
④$y=5x -1$：有两个变量x、y，任给x一个确定值，y有唯一确定的值对应，是函数关系；
⑤$C=2π r$：π是常量，有两个变量C、r，任给r一个确定值，C有唯一确定的值对应，是函数关系；
⑥$a^2=|b|$：有两个变量a、b，例如当b=4时，a=2或a=-2，即给b一个确定值，a不是只有唯一确定的值对应，不是函数关系。
综上，是函数关系的为②③④⑤，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义、函数的判定、变量与常量
【点评】
本题是函数概念的基础考察题，核心是抓住函数定义中“两个变量”、“唯一对应”两个判断要点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是函数关系，首先回忆函数的定义：在一个变化过程中，存在两个变量，若给其中一个变量一个确定的值，另一个变量有且只有唯一确定的值与之对应，就称后者是前者的函数。判断时抓住两个核心要点：①有且仅有两个变量；②两个变量满足“唯一对应”的关系。接下来我们逐个验证6个关系式：首先看①，只有y一个变量，不符合要点①，排除；再看⑥，给b一个正数，a有正负两个值对应，不满足“唯一对应”，排除；剩下的②③④⑤都同时满足两个要点，都是函数关系，对应选项B。
【解析】
解：根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，设为x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
逐个分析关系式：
①$y^2 - 3y = 5$：仅含有1个变量y，不符合函数需存在两个变量的要求，不是函数关系；
②$m=-3.5n$：有两个变量m、n，任给n一个确定值，m有唯一确定的值对应，是函数关系；
③$y=-2x$：有两个变量x、y，任给x一个确定值，y有唯一确定的值对应，是函数关系；
④$y=5x -1$：有两个变量x、y，任给x一个确定值，y有唯一确定的值对应，是函数关系；
⑤$C=2π r$：π是常量，有两个变量C、r，任给r一个确定值，C有唯一确定的值对应，是函数关系；
⑥$a^2=|b|$：有两个变量a、b，例如当b=4时，a=2或a=-2，即给b一个确定值，a不是只有唯一确定的值对应，不是函数关系。
综上，是函数关系的为②③④⑤，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义、函数的判定、变量与常量
【点评】
本题是函数概念的基础考察题，核心是抓住函数定义中“两个变量”、“唯一对应”两个判断要点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
