3. 按如图所示的方式，用火柴棒搭n个正方形. 要计算火柴棒的根数，有下面几个思路.

思路1：在这些图形中，第一个正方形用4根，每增加一个正方形就增加3根. 例如，搭2个正方形就需要火柴根，搭3个正方形就需要火柴根，…，那么搭n个正方形就需要火柴根.
思路2：把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减去重合的火柴棒. 例如，搭2个正方形需要火柴根，搭3个正方形就需要火柴根，…，那么搭n个正方形需要火柴根.
思路3：第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的，此后每增加一个正方形就增加3根，那么搭n个正方形共需根火柴棒.

3. 思路1：$4+3$ $4+3×2$ $4+3(n-1)$ 思路2：$2×4-1$ $3×4-2$ $4n-(n-1)$ 思路3：$3n+1$

【分析】
我们可以顺着题目给出的三个思路逐步推导：
1. 思路1：第一个正方形用4根火柴棒，每增加1个正方形就增加3根，搭2个正方形就比1个多1个3，搭3个就比1个多2个3，搭n个就比1个多(n-1)个3，对应列式即可。
2. 思路2：先假设每个正方形都独立用4根火柴棒，n个就有4n根，但相邻两个正方形共用1根火柴棒，搭2个有1处重合、多算了1根要减去，搭3个有2处重合、多算了2根要减去，搭n个就有(n-1)处重合，减去多算的(n-1)根即可。
3. 思路3：把第一个正方形拆成3根加1根的形式，之后每增加1个正方形就加3根，n个正方形就对应n个3根加最开始多的1根，化简即可得到结果。
【解析】
思路1
搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形时，在第一个的基础上增加3根，即$4+3$根；搭3个正方形时，在第一个的基础上增加2次3根，即$4+3×2$根；搭n个正方形时，在第一个的基础上增加$(n-1)$次3根，即$4+3(n-1)$根。
思路2
搭2个正方形，若每个都按4根计算共$2×4$根，其中有1处重合的火柴棒被多算了1次，因此减去1，即$2×4-1$根；搭3个正方形，每个按4根计算共$3×4$根，有2处重合的火柴棒被多算，因此减去2，即$3×4-2$根；搭n个正方形，每个按4根计算共$4n$根，有$(n-1)$处重合的火柴棒被多算，因此减去$(n-1)$，即$4n-(n-1)$根。
思路3
第一个正方形可看作$3+1$根火柴棒，之后每增加1个正方形加3根，搭n个正方形共有$3n+1$根火柴棒。
【答案】
思路1：$4+3$，$4+3×2$，$4+3(n-1)$；思路2：$2×4-1$，$3×4-2$，$4n-(n-1)$；思路3：$3n+1$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题通过多种思路分析图形的数量规律，引导学生从不同角度思考问题，能够有效锻炼归纳推理能力和用代数式表示规律的能力。
【难度系数】
0.8

1. 填表.

填表结果：
| x | 3 | -3 | $\frac{1}{3}$ | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 2x | 6 | -6 | $\frac{2}{3}$ | 8 | 10 |
（续表）
| $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{3}$ | 3 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{5}$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2$ | 9 | 9 | $\frac{1}{9}$ | 16 | 25 |

【分析】
我们根据表格的行列关系分两类计算：①已知x的取值时，直接将x代入$2x$、$\frac{1}{x}$、$x^2$三个代数式，按照对应运算法则计算结果即可；②已知某个代数式的值时，先通过代数式的对应关系反推出x的值，再计算其余两个代数式的结果。计算时注意负数的乘方、倒数的符号不要出错。
【解析】
我们按列逐组计算：
1. 当$x=3$时：
$2x=2×3=6$，$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$，$x^2=3^2=9$；
2. 当$x=-3$时：
$2x=2×(-3)=-6$，$\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}$，$x^2=(-3)^2=9$；
3. 当$x=\frac{1}{3}$时：
$2x=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，$\frac{1}{x}=1÷\frac{1}{3}=3$，$x^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$；
4. 已知$2x=8$，解得$x=8÷2=4$：
此时$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}$，$x^2=4^2=16$；
5. 已知$\frac{1}{x}=\frac{1}{5}$，解得$x=5$：
此时$2x=2×5=10$，$x^2=5^2=25$。
【答案】
填表结果：
| x | 3 | -3 | $\frac{1}{3}$ | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 2x | 6 | -6 | $\frac{2}{3}$ | 8 | 10 |
（续表）
| $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{3}$ | 3 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{5}$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2$ | 9 | 9 | $\frac{1}{9}$ | 16 | 25 |
【知识点】
代数式求值，倒数运算，有理数乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握代数式正向代入求值和反向求未知数的方法，计算时要注意符号问题，尤其是负数的平方结果为正，倒数的符号和原数一致，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9