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4. 越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行. 某日，陈老师决定用骑行代替开车从学校去科学馆. 当路程一定时，陈老师骑行的平均速度v(单位：km/h)与骑行时间t(单位：h)成反比例关系. 根据以往骑行两地的经验，v，t的一些对应值如下表：
(1)根据表中的数据，用式子表示陈老师骑自行车的平均速度v与骑行时间t的关系，并说明两者的比例关系.
(2)据统计，汽车行驶1 km会产生约0.2 kg的二氧化碳. 请计算陈老师从学校到科学馆骑行往返过程中二氧化碳的减排量.
(1)根据表中的数据，用式子表示陈老师骑自行车的平均速度v与骑行时间t的关系，并说明两者的比例关系.
(2)据统计，汽车行驶1 km会产生约0.2 kg的二氧化碳. 请计算陈老师从学校到科学馆骑行往返过程中二氧化碳的减排量.
答案
4. (1)$vt=24$，两者成反比例关系. (2)路程为24 km，往返过程中二氧化碳减排量为$24×2×0.2=9.6(\mathrm{kg})$.
解析
【分析】
(1) 题目明确路程一定时v和t成反比例关系，反比例关系的核心是两个量的乘积为固定定值（这个定值就是两地的路程）。我们只需要计算表格中任意一组v和t的乘积，验证所有组乘积一致，就能得到v和t的关系式，再判断比例关系即可。
(2) 计算减排量首先要确定往返总路程：先通过第一问得到的vt定值得到单程路程，往返路程是单程的2倍，再乘每公里的二氧化碳减排量0.2kg就能得到结果，注意不要漏算往返的2倍路程。
【解析】
(1) 计算表格中每组v与t的乘积：
当$t=2\mathrm{h}$，$v=12\mathrm{km/h}$时，$vt=2×12=24$；
当$t=1.6\mathrm{h}$，$v=15\mathrm{km/h}$时，$vt=1.6×15=24$；
计算剩余组数据，乘积均为24。
因为路程固定时v和t的乘积为定值24，所以v与t的关系为$\boldsymbol{vt=24}$（或$v=\frac{24}{t}$），两者成反比例关系。
(2) 由(1)可知学校到科学馆的单程路程为24km，往返总路程为$24×2=48\mathrm{km}$。
骑行替代开车的减排量等于开车行驶对应路程排放的二氧化碳量，因此减排量为$48×0.2=9.6(\mathrm{kg})$。
【答案】
(1)$vt=24$，两者成反比例关系；
(2)$9.6\mathrm{kg}$
【知识点】
反比例关系、行程问题基本公式、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例关系的应用，解题核心是抓住反比例关系“乘积为定值”的特征，计算减排量时要注意区分单程和往返路程，避免漏乘2出现计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确路程一定时v和t成反比例关系，反比例关系的核心是两个量的乘积为固定定值（这个定值就是两地的路程）。我们只需要计算表格中任意一组v和t的乘积，验证所有组乘积一致，就能得到v和t的关系式，再判断比例关系即可。
(2) 计算减排量首先要确定往返总路程：先通过第一问得到的vt定值得到单程路程，往返路程是单程的2倍，再乘每公里的二氧化碳减排量0.2kg就能得到结果，注意不要漏算往返的2倍路程。
【解析】
(1) 计算表格中每组v与t的乘积：
当$t=2\mathrm{h}$，$v=12\mathrm{km/h}$时，$vt=2×12=24$；
当$t=1.6\mathrm{h}$，$v=15\mathrm{km/h}$时，$vt=1.6×15=24$；
计算剩余组数据，乘积均为24。
因为路程固定时v和t的乘积为定值24，所以v与t的关系为$\boldsymbol{vt=24}$（或$v=\frac{24}{t}$），两者成反比例关系。
(2) 由(1)可知学校到科学馆的单程路程为24km，往返总路程为$24×2=48\mathrm{km}$。
骑行替代开车的减排量等于开车行驶对应路程排放的二氧化碳量，因此减排量为$48×0.2=9.6(\mathrm{kg})$。
【答案】
(1)$vt=24$，两者成反比例关系；
(2)$9.6\mathrm{kg}$
【知识点】
反比例关系、行程问题基本公式、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例关系的应用，解题核心是抓住反比例关系“乘积为定值”的特征，计算减排量时要注意区分单程和往返路程，避免漏乘2出现计算错误。
【难度系数】
0.8
1. (1)3支球队进行单循环比赛(每两队之间都比赛一场)，总的比赛场数是多少？n支球队呢？
(2)3支球队进行双循环比赛(每两队之间都比赛两场)，总的比赛场数是多少？n支球队呢？
(2)3支球队进行双循环比赛(每两队之间都比赛两场)，总的比赛场数是多少？n支球队呢？
答案
(1)3 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ (2)6 $n(n-1)$
解析
【分析】
首先明确单循环、双循环的定义：单循环是每两队之间仅比赛1场，双循环是每两队之间比赛2场。
解决(1)问时，3支球队的情况可以用枚举法数出不重复的比赛场次，推广到n支球队时，每支球队要和其余n-1支球队各赛1场，但是每场比赛会被两支球队各统计1次，因此总场次需要除以2去掉重复计数的部分。
解决(2)问时，双循环每两队赛2场，刚好对应单循环里重复计数的情况，因此不需要除以2，也可以直接用单循环总场次乘2得到结果。
【解析】
(1) 3支球队单循环比赛：
设3支球队为A、B、C，所有比赛场次为A和B、A和C、B和C，共3场。
n支球队时：每支球队需要和剩下的(n-1)支球队各赛1场，初步统计总次数为$n(n-1)$，但每场比赛被重复计算了2次，因此实际总比赛场数为$\dfrac{n(n-1)}{2}$。
(2) 3支球队双循环比赛：
每两队之间要赛2场，总场数是单循环的2倍，即$3×2=6$场。
n支球队时：每两队之间赛2场，不需要去除重复计数，因此总比赛场数为$n(n-1)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}}$；(2) $\boxed{6}$，$\boxed{n(n-1)}$
【知识点】
比赛场次计数、列代数式
【点评】
本题是计数类的基础典型题，核心是区分单循环和双循环的计数规则，注意单循环计数时要去除重复统计的场次，掌握规律后可快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环、双循环的定义：单循环是每两队之间仅比赛1场，双循环是每两队之间比赛2场。
解决(1)问时，3支球队的情况可以用枚举法数出不重复的比赛场次，推广到n支球队时，每支球队要和其余n-1支球队各赛1场，但是每场比赛会被两支球队各统计1次，因此总场次需要除以2去掉重复计数的部分。
解决(2)问时，双循环每两队赛2场，刚好对应单循环里重复计数的情况，因此不需要除以2，也可以直接用单循环总场次乘2得到结果。
【解析】
(1) 3支球队单循环比赛：
设3支球队为A、B、C，所有比赛场次为A和B、A和C、B和C，共3场。
n支球队时：每支球队需要和剩下的(n-1)支球队各赛1场，初步统计总次数为$n(n-1)$，但每场比赛被重复计算了2次，因此实际总比赛场数为$\dfrac{n(n-1)}{2}$。
(2) 3支球队双循环比赛：
每两队之间要赛2场，总场数是单循环的2倍，即$3×2=6$场。
n支球队时：每两队之间赛2场，不需要去除重复计数，因此总比赛场数为$n(n-1)$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}}$；(2) $\boxed{6}$，$\boxed{n(n-1)}$
【知识点】
比赛场次计数、列代数式
【点评】
本题是计数类的基础典型题，核心是区分单循环和双循环的计数规则，注意单循环计数时要去除重复统计的场次，掌握规律后可快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
2. 观察下图，并填表：
| 梯形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 周长 | 5 | 8 | 11 | 14 |
| | | … | |
| 梯形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 周长 | 5 | 8 | 11 | 14 |
| | | … | |答案
17 20 23 $3n+2$
解析
【分析】
解题时先观察表格中已有的梯形个数和对应周长的数值，先对比相邻两组数据的周长差：8-5=3，11-8=3，14-11=3，可发现规律：每增加1个梯形，周长就增加3。接下来可以用两种方法计算后续数值：一是用前一个周长加3依次计算第5、6、7个梯形对应的周长；二是先推导通用公式，观察第一个梯形周长5=3×1+2，第二个8=3×2+2，可得出周长和梯形个数n的关系为3n+2，代入数值即可算出对应结果。
【解析】
观察已知数据可得：
当梯形个数为1时，周长=5=3×1+2；
当梯形个数为2时，周长=8=3×2+2；
当梯形个数为3时，周长=11=3×3+2；
当梯形个数为4时，周长=14=3×4+2；
可总结规律：周长 = 3×梯形个数 + 2。
因此：
梯形个数为5时，周长=3×5+2=17；
梯形个数为6时，周长=3×6+2=20；
梯形个数为7时，周长=3×7+2=23；
梯形个数为n时，周长=3n+2。
【答案】
17 20 23 $3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过对比相邻数据的差值找到变化规律，再推导通用公式，掌握差值分析法是解决这类找规律问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时先观察表格中已有的梯形个数和对应周长的数值，先对比相邻两组数据的周长差：8-5=3，11-8=3，14-11=3，可发现规律：每增加1个梯形，周长就增加3。接下来可以用两种方法计算后续数值：一是用前一个周长加3依次计算第5、6、7个梯形对应的周长；二是先推导通用公式，观察第一个梯形周长5=3×1+2，第二个8=3×2+2，可得出周长和梯形个数n的关系为3n+2，代入数值即可算出对应结果。
【解析】
观察已知数据可得：
当梯形个数为1时，周长=5=3×1+2；
当梯形个数为2时，周长=8=3×2+2；
当梯形个数为3时，周长=11=3×3+2；
当梯形个数为4时，周长=14=3×4+2；
可总结规律：周长 = 3×梯形个数 + 2。
因此：
梯形个数为5时，周长=3×5+2=17；
梯形个数为6时，周长=3×6+2=20；
梯形个数为7时，周长=3×7+2=23；
梯形个数为n时，周长=3n+2。
【答案】
17 20 23 $3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过对比相邻数据的差值找到变化规律，再推导通用公式，掌握差值分析法是解决这类找规律问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
