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任务一 认识实数
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作实数？实数如何分类？
有理数和
实数的分类：
探究2：将数的范围扩大到实数范围后，有理数的运算法则仍然适用吗？
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作实数？实数如何分类？
有理数和
无理数
统称为实数。实数的分类：
探究2：将数的范围扩大到实数范围后，有理数的运算法则仍然适用吗？
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义
完全一样
。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。答案
探究1 无理数 (1)正无理数 零 负无理数
(2)零 负有理数 负无理数
探究2 完全一样
(2)零 负有理数 负无理数
探究2 完全一样
解析
【分析】
本题考查实数的基础概念与分类、实数的相关性质。解题时先回忆实数的定义：有理数和无理数统称为实数；再区分实数的两种分类方式：①按正负性分类，实数分为正实数、零、负实数，其中正实数包含正有理数和正无理数，负实数包含负有理数和负无理数；②按定义分类，实数分为有理数和无理数，其中有理数包含正有理数、零、负有理数，无理数包含正无理数和负无理数；最后回忆实数范围内相反数、倒数、绝对值的性质，可知其与有理数范围内的对应概念意义一致，据此完成填空即可。
【解析】
探究1：根据实数的定义，有理数和无理数统称为实数，故第一空填无理数。
(1)按正负性对实数分类：
正实数分为正有理数和正无理数，故第一个空缺项填正无理数；
实数分为正实数、零、负实数，故第二个空缺项填零；
负实数分为负有理数和负无理数，故第三个空缺项填负无理数。
(2)按定义对实数分类：
有理数分为正有理数、零、负有理数，故前两个空缺项依次填零、负有理数；
无理数分为正无理数和负无理数，故最后一个空缺项填负无理数。
探究2：根据实数的性质，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的对应意义完全一样，故填完全一样。
【答案】
探究1 无理数 (1)正无理数 零 负无理数
(2)零 负有理数 负无理数
探究2 完全一样
【知识点】
实数的定义；实数的分类；实数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确记忆实数的两种分类标准，明确不同分类维度下各类数的包含关系，同时掌握实数与有理数相关概念的共通性，是学习实数运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查实数的基础概念与分类、实数的相关性质。解题时先回忆实数的定义：有理数和无理数统称为实数；再区分实数的两种分类方式：①按正负性分类，实数分为正实数、零、负实数，其中正实数包含正有理数和正无理数，负实数包含负有理数和负无理数；②按定义分类，实数分为有理数和无理数，其中有理数包含正有理数、零、负有理数，无理数包含正无理数和负无理数；最后回忆实数范围内相反数、倒数、绝对值的性质，可知其与有理数范围内的对应概念意义一致，据此完成填空即可。
【解析】
探究1：根据实数的定义，有理数和无理数统称为实数，故第一空填无理数。
(1)按正负性对实数分类：
正实数分为正有理数和正无理数，故第一个空缺项填正无理数；
实数分为正实数、零、负实数，故第二个空缺项填零；
负实数分为负有理数和负无理数，故第三个空缺项填负无理数。
(2)按定义对实数分类：
有理数分为正有理数、零、负有理数，故前两个空缺项依次填零、负有理数；
无理数分为正无理数和负无理数，故最后一个空缺项填负无理数。
探究2：根据实数的性质，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的对应意义完全一样，故填完全一样。
【答案】
探究1 无理数 (1)正无理数 零 负无理数
(2)零 负有理数 负无理数
探究2 完全一样
【知识点】
实数的定义；实数的分类；实数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确记忆实数的两种分类标准，明确不同分类维度下各类数的包含关系，同时掌握实数与有理数相关概念的共通性，是学习实数运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列实数中，是有理数的是 （
A.$\sqrt{2}$
B.$π$
C.$-3.1$
D.$-\frac{\sqrt{7}}{5}$
C
）A.$\sqrt{2}$
B.$π$
C.$-3.1$
D.$-\frac{\sqrt{7}}{5}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的定义作为判断依据：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来逐一判断每个选项所属的类别，选出符合有理数定义的选项即可。
【解析】
首先明确判断依据：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数是无理数，常见类型包括开方开不尽的数的算术平方根、含π的数等。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B. $π$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C. $-3.1$是有限小数，可化为分数$-\frac{31}{10}$，属于有理数，符合要求；
D. $\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$-\frac{\sqrt{7}}{5}$也是无理数，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的区分，属于基础题型，熟练掌握两类数的定义及常见典型例子就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的定义作为判断依据：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数的方根、含π的数等。接下来逐一判断每个选项所属的类别，选出符合有理数定义的选项即可。
【解析】
首先明确判断依据：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数是无理数，常见类型包括开方开不尽的数的算术平方根、含π的数等。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B. $π$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
C. $-3.1$是有限小数，可化为分数$-\frac{31}{10}$，属于有理数，符合要求；
D. $\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$-\frac{\sqrt{7}}{5}$也是无理数，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的区分，属于基础题型，熟练掌握两类数的定义及常见典型例子就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 有下列5个实数：33.141，$\frac{π}{2}$，$\frac{22}{7}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{3}$。其中是分数的是
$33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$
。答案
2. $33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题首先要明确分数的定义范畴：分数属于有理数，是可以表示为两个整数之比（分母不为0）的数，包含有限小数、无限循环小数；而无限不循环小数是无理数，不属于分数。解题时先逐个判断给出的实数是有理数还是无理数，再从有理数中筛选出分数即可。
【解析】
我们对5个实数逐一判断：
1. 33.141是有限小数，属于有理数，符合分数的定义，是分数；
2. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也是无理数，不属于分数；
3. $\frac{22}{7}$是两个整数的比值，是典型的分数，属于有理数；
4. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数，不属于分数；
5. $\frac{1}{3}$是两个整数的比值，属于分数，是有理数。
综上，属于分数的是$33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$。
【答案】
$33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$
【知识点】
实数的分类；分数的定义；无理数的识别
【点评】
本题核心考察实数分类中分数的判断，易错点是容易将含有π、开方开不尽的数的分数形式的数误认为是分数，解题时要牢记：只有有理数才属于分数，无理数即使写成分数形式也不属于分数。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确分数的定义范畴：分数属于有理数，是可以表示为两个整数之比（分母不为0）的数，包含有限小数、无限循环小数；而无限不循环小数是无理数，不属于分数。解题时先逐个判断给出的实数是有理数还是无理数，再从有理数中筛选出分数即可。
【解析】
我们对5个实数逐一判断：
1. 33.141是有限小数，属于有理数，符合分数的定义，是分数；
2. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也是无理数，不属于分数；
3. $\frac{22}{7}$是两个整数的比值，是典型的分数，属于有理数；
4. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数，不属于分数；
5. $\frac{1}{3}$是两个整数的比值，属于分数，是有理数。
综上，属于分数的是$33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$。
【答案】
$33.141,\frac{22}{7},\frac{1}{3}$
【知识点】
实数的分类；分数的定义；无理数的识别
【点评】
本题核心考察实数分类中分数的判断，易错点是容易将含有π、开方开不尽的数的分数形式的数误认为是分数，解题时要牢记：只有有理数才属于分数，无理数即使写成分数形式也不属于分数。
【难度系数】
0.7
任务二
了解实数与数轴上的点的对应关系
阅读材料，完成下列探究。
如图，在数轴上，点A表示的数为1，AB与数轴垂直，且AB＝2，以原点O为圆心，OB的长为半径的圆交数轴于点P（点P在点A的右侧）。
探究1：点P表示的数是多少？它介于哪两个整数之间？
探究2：如果把点A作为原点，其他条件不变，点P表示的数是多少？它介于哪两个整数之间？
了解实数与数轴上的点的对应关系
阅读材料，完成下列探究。
如图，在数轴上，点A表示的数为1，AB与数轴垂直，且AB＝2，以原点O为圆心，OB的长为半径的圆交数轴于点P（点P在点A的右侧）。
探究1：点P表示的数是多少？它介于哪两个整数之间？
探究2：如果把点A作为原点，其他条件不变，点P表示的数是多少？它介于哪两个整数之间？
答案
探究1 解：由题意，得 OA=1，AB=2，AB⊥OA，所以 OP=OB=$\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{5}$。所以点 P 表示的数是$\sqrt{5}$。$\sqrt{5}$介于 2 和 3 之间。
探究2 解：因为 AP=OP-OA=$\sqrt{5}-1$，所以如果把点 A 作为原点，点 P 表示的数是$\sqrt{5}-1$。它介于 1 和 2 之间。
探究2 解：因为 AP=OP-OA=$\sqrt{5}-1$，所以如果把点 A 作为原点，点 P 表示的数是$\sqrt{5}-1$。它介于 1 和 2 之间。
解析
【分析】
探究1解题思路：要确定点P表示的数，首先观察到OP与OB都是以O为圆心的圆的半径，长度相等，因此只需计算OB的长度即可。已知AB垂直于数轴，△OAB是直角三角形，已知两条直角边OA=1、AB=2，可通过勾股定理求出斜边OB的长度，即OP的长度，得到P表示的数；再通过对比相邻整数的平方，估算该数的范围。
探究2解题思路：把点A作为新原点时，点P表示的数等于A、P两点的距离，先算出原来数轴上A到P的距离，再估算这个距离的整数范围即可。
【解析】
探究1：
由题意可知，OA=1，AB=2，且AB⊥OA，因此△OAB是直角三角形。
根据勾股定理，斜边OB的长度为：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
因为OB和OP都是圆O的半径，所以$OP=OB=\sqrt{5}$，点P在数轴正半轴，因此点P表示的数是$\sqrt{5}$。
又因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$介于2和3之间。
探究2：
在原数轴上，点A表示的数为1，点P表示的数为$\sqrt{5}$，因此A、P两点的距离为$AP=OP-OA=\sqrt{5}-1$。
把点A作为原点时，点P在A的右侧，因此点P表示的数就是A、P的距离$\sqrt{5}-1$。
由$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时减1得：$1＜\sqrt{5}-1＜2$，即$\sqrt{5}-1$介于1和2之间。
【答案】
探究1：点P表示的数是$\sqrt{5}$，介于2和3之间；
探究2：点P表示的数是$\sqrt{5}-1$，介于1和2之间。
【知识点】
1.勾股定理
2.实数与数轴的对应关系
3.无理数的估算
【点评】
本题结合几何图形与数轴知识，考查了勾股定理的基础应用和无理数的估算方法，有助于直观理解实数与数轴上的点一一对应的关系，是基础的数形结合类习题。
【难度系数】
0.7
探究1解题思路：要确定点P表示的数，首先观察到OP与OB都是以O为圆心的圆的半径，长度相等，因此只需计算OB的长度即可。已知AB垂直于数轴，△OAB是直角三角形，已知两条直角边OA=1、AB=2，可通过勾股定理求出斜边OB的长度，即OP的长度，得到P表示的数；再通过对比相邻整数的平方，估算该数的范围。
探究2解题思路：把点A作为新原点时，点P表示的数等于A、P两点的距离，先算出原来数轴上A到P的距离，再估算这个距离的整数范围即可。
【解析】
探究1：
由题意可知，OA=1，AB=2，且AB⊥OA，因此△OAB是直角三角形。
根据勾股定理，斜边OB的长度为：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
因为OB和OP都是圆O的半径，所以$OP=OB=\sqrt{5}$，点P在数轴正半轴，因此点P表示的数是$\sqrt{5}$。
又因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$介于2和3之间。
探究2：
在原数轴上，点A表示的数为1，点P表示的数为$\sqrt{5}$，因此A、P两点的距离为$AP=OP-OA=\sqrt{5}-1$。
把点A作为原点时，点P在A的右侧，因此点P表示的数就是A、P的距离$\sqrt{5}-1$。
由$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时减1得：$1＜\sqrt{5}-1＜2$，即$\sqrt{5}-1$介于1和2之间。
【答案】
探究1：点P表示的数是$\sqrt{5}$，介于2和3之间；
探究2：点P表示的数是$\sqrt{5}-1$，介于1和2之间。
【知识点】
1.勾股定理
2.实数与数轴的对应关系
3.无理数的估算
【点评】
本题结合几何图形与数轴知识，考查了勾股定理的基础应用和无理数的估算方法，有助于直观理解实数与数轴上的点一一对应的关系，是基础的数形结合类习题。
【难度系数】
0.7
