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任务一 探究计算器的使用
观察你的计算器面板，完成下列探究。
探究1：观察你的计算器面板，对于开方运算，按键顺序是什么？
观察你的计算器面板，完成下列探究。
探究1：观察你的计算器面板，对于开方运算，按键顺序是什么？
答案
解：
以常用的初中科学计算器为例：
1. 开平方运算按键顺序：
部分计算器依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；
也有部分计算器依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算按键顺序：
依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算按键顺序：
依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
以常用的初中科学计算器为例：
1. 开平方运算按键顺序：
部分计算器依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；
也有部分计算器依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算按键顺序：
依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算按键顺序：
依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
解析
【分析】
解答本题需先按开方的类型分类梳理思路：首先区分开平方、开立方、开高于3次的n次方三类常见开方运算，其次明确计算器的基础按键功能，特别是第二功能切换键（SHIFT/2ndF）的使用方法，再结合日常使用计算器的实操经验逐一梳理每类开方的按键顺序，同时注意不同品牌计算器的操作存在差异，开平方运算有两种常见的按键顺序。
【解析】
以常用的初中科学计算器为例，分情况说明开方运算的按键顺序：
1. 开平方运算：存在两种常见操作：①依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；②依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算：依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算：依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
【答案】
以常用的初中科学计算器为例：
1. 开平方运算按键顺序：
部分计算器依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；
也有部分计算器依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算按键顺序：
依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算按键顺序：
依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
【知识点】
计算器开方操作、计算器功能键使用
【点评】
本题属于实操类基础题，主要考查对科学计算器开方功能的掌握程度，学习时可结合自己实际使用的计算器进行实操练习，无需死记硬背按键顺序，注意不同型号计算器的操作差异即可。
【难度系数】
0.9
解答本题需先按开方的类型分类梳理思路：首先区分开平方、开立方、开高于3次的n次方三类常见开方运算，其次明确计算器的基础按键功能，特别是第二功能切换键（SHIFT/2ndF）的使用方法，再结合日常使用计算器的实操经验逐一梳理每类开方的按键顺序，同时注意不同品牌计算器的操作存在差异，开平方运算有两种常见的按键顺序。
【解析】
以常用的初中科学计算器为例，分情况说明开方运算的按键顺序：
1. 开平方运算：存在两种常见操作：①依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；②依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算：依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算：依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
【答案】
以常用的初中科学计算器为例：
1. 开平方运算按键顺序：
部分计算器依次按下$\sqrt{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到算术平方根结果；
也有部分计算器依次输入被开方数、按下$\sqrt{\ }$键、按下=键，得到算术平方根结果。
2. 开立方运算按键顺序：
依次按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[3]{\ }$键、输入被开方数、按下=键，得到立方根结果。
3. 开n次方（n为大于3的正整数）运算按键顺序：
依次输入被开方数、按下SHIFT（或2ndF第二功能切换键）、按下$\sqrt[^x]{\ }$开n次方功能键、输入开方次数n、按下=键，得到对应开方结果。
【知识点】
计算器开方操作、计算器功能键使用
【点评】
本题属于实操类基础题，主要考查对科学计算器开方功能的掌握程度，学习时可结合自己实际使用的计算器进行实操练习，无需死记硬背按键顺序，注意不同型号计算器的操作差异即可。
【难度系数】
0.9
探究 2: 利用计算器计算 $\sqrt{2.36}$，$\sqrt[5]{\dfrac{9}{7}}$，$\sqrt[3]{-1324}$，$\sqrt{7} - 1$，$\sqrt{5 × 3} - π$。(结果精确到0.0001)
答案
1.536 2，1.051 5，-10.980 7，1.645 8，0.731 4。
解析
【分析】
解题时首先明确各算式的运算类型，依次确定计算器的操作方法：①开平方运算直接使用计算器的√键；②开高次方（如开5次方）使用计算器的开n次方功能键；③开立方时注意负数的立方根仍是负数，可先算对应正数的立方根再添加负号；④混合运算遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，计算时可先多保留1位小数，再按“四舍五入”法精确到0.0001即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2.36}$：用计算器开平方得$\sqrt{2.36}\approx1.53623$，精确到0.0001为1.5362；
2. 计算$\sqrt[5]{\dfrac{9}{7}}$：先算$9÷7\approx1.285714$，再开5次方得$\sqrt[5]{1.285714}\approx1.05150$，精确到0.0001为1.0515；
3. 计算$\sqrt[3]{-1324}$：先算$\sqrt[3]{1324}\approx10.9807$，添加负号得结果为$-10.9807$；
4. 计算$\sqrt{7}-1$：先算$\sqrt{7}\approx2.64575$，减1得$2.64575-1=1.64575$，精确到0.0001为1.6458；
5. 计算$\sqrt{5×3}-π$：先算$5×3=15$，再算$\sqrt{15}\approx3.87298$，$π\approx3.14159$，相减得$3.87298-3.14159=0.73139$，精确到0.0001为0.7314。
【答案】
1.5362，1.0515，-10.9807，1.6458，0.7314
【知识点】
计算器开方运算，近似数取位，实数混合运算
【点评】
本题侧重考查计算器的操作运用能力，解题时要熟练区分开平方、开立方、开高次方的按键操作，混合运算遵循运算顺序，取近似数时注意四舍五入规则的正确使用即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确各算式的运算类型，依次确定计算器的操作方法：①开平方运算直接使用计算器的√键；②开高次方（如开5次方）使用计算器的开n次方功能键；③开立方时注意负数的立方根仍是负数，可先算对应正数的立方根再添加负号；④混合运算遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序，计算时可先多保留1位小数，再按“四舍五入”法精确到0.0001即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2.36}$：用计算器开平方得$\sqrt{2.36}\approx1.53623$，精确到0.0001为1.5362；
2. 计算$\sqrt[5]{\dfrac{9}{7}}$：先算$9÷7\approx1.285714$，再开5次方得$\sqrt[5]{1.285714}\approx1.05150$，精确到0.0001为1.0515；
3. 计算$\sqrt[3]{-1324}$：先算$\sqrt[3]{1324}\approx10.9807$，添加负号得结果为$-10.9807$；
4. 计算$\sqrt{7}-1$：先算$\sqrt{7}\approx2.64575$，减1得$2.64575-1=1.64575$，精确到0.0001为1.6458；
5. 计算$\sqrt{5×3}-π$：先算$5×3=15$，再算$\sqrt{15}\approx3.87298$，$π\approx3.14159$，相减得$3.87298-3.14159=0.73139$，精确到0.0001为0.7314。
【答案】
1.5362，1.0515，-10.9807，1.6458，0.7314
【知识点】
计算器开方运算，近似数取位，实数混合运算
【点评】
本题侧重考查计算器的操作运用能力，解题时要熟练区分开平方、开立方、开高次方的按键操作，混合运算遵循运算顺序，取近似数时注意四舍五入规则的正确使用即可。
【难度系数】
0.85
探究3：任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算……随着开立方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律。
答案
随着开立方次数的增加，结果逐渐趋于1；改用小于1的正数，结果仍逐渐趋于1。
解析
【分析】
我们可以通过举具体实例计算的方式探究规律，首先回忆开立方的基本性质：正数的立方根仍是正数，大于1的正数开立方后结果比原数小，小于1的正数开立方后结果比原数大。解题时先选择一个较大的正数，用计算器多次进行开立方运算，观察结果的变化趋势，再选择一个小于1的正数重复上述操作，对比两次的结果即可总结出通用规律。
【解析】
1. 选取较大正数验证：比如取正数$10^9$
第1次开立方：$\sqrt[3]{10^9}=1000$
第2次开立方：$\sqrt[3]{1000}=10$
第3次开立方：$\sqrt[3]{10}\approx2.154$
第4次开立方：$\sqrt[3]{2.154}\approx1.29$
第5次开立方：$\sqrt[3]{1.29}\approx1.09$
继续开立方可发现，结果越来越接近1。
2. 选取小于1的正数验证：比如取正数$10^{-9}$
第1次开立方：$\sqrt[3]{10^{-9}}=0.001$
第2次开立方：$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
第3次开立方：$\sqrt[3]{0.1}\approx0.464$
第4次开立方：$\sqrt[3]{0.464}\approx0.774$
第5次开立方：$\sqrt[3]{0.774}\approx0.918$
继续开立方可发现，结果同样越来越接近1。
【答案】
随着开立方次数的增加，结果逐渐趋于1；改用小于1的正数，结果仍逐渐趋于1。
【知识点】
开立方运算，计算器开方操作，正数开方规律
【点评】
本题属于实践探究类题型，通过动手操作计算总结规律，能帮助我们直观理解开立方运算的性质，提升归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
我们可以通过举具体实例计算的方式探究规律，首先回忆开立方的基本性质：正数的立方根仍是正数，大于1的正数开立方后结果比原数小，小于1的正数开立方后结果比原数大。解题时先选择一个较大的正数，用计算器多次进行开立方运算，观察结果的变化趋势，再选择一个小于1的正数重复上述操作，对比两次的结果即可总结出通用规律。
【解析】
1. 选取较大正数验证：比如取正数$10^9$
第1次开立方：$\sqrt[3]{10^9}=1000$
第2次开立方：$\sqrt[3]{1000}=10$
第3次开立方：$\sqrt[3]{10}\approx2.154$
第4次开立方：$\sqrt[3]{2.154}\approx1.29$
第5次开立方：$\sqrt[3]{1.29}\approx1.09$
继续开立方可发现，结果越来越接近1。
2. 选取小于1的正数验证：比如取正数$10^{-9}$
第1次开立方：$\sqrt[3]{10^{-9}}=0.001$
第2次开立方：$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
第3次开立方：$\sqrt[3]{0.1}\approx0.464$
第4次开立方：$\sqrt[3]{0.464}\approx0.774$
第5次开立方：$\sqrt[3]{0.774}\approx0.918$
继续开立方可发现，结果同样越来越接近1。
【答案】
随着开立方次数的增加，结果逐渐趋于1；改用小于1的正数，结果仍逐渐趋于1。
【知识点】
开立方运算，计算器开方操作，正数开方规律
【点评】
本题属于实践探究类题型，通过动手操作计算总结规律，能帮助我们直观理解开立方运算的性质，提升归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
用我们数学教科书上选用的科学计算器计算
下列算式的值，其按键顺序正确的是（
A.计算$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，按键：$\sqrt{}$ 2 ÷ 3 =
B.计算$\sqrt{3}+1$，按键：$\sqrt{}$ 3
1 =
C.计算$\sqrt[3]{-2}$，按键：2ndF $\sqrt{}$ $(-)$ 2
D.计算$\sqrt[3]{1.2}$，按键：3 $\sqrt{}$
$·$ 2 =
下列算式的值，其按键顺序正确的是（
B
）A.计算$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，按键：$\sqrt{}$ 2 ÷ 3 =
B.计算$\sqrt{3}+1$，按键：$\sqrt{}$ 3
1 =C.计算$\sqrt[3]{-2}$，按键：2ndF $\sqrt{}$ $(-)$ 2
D.计算$\sqrt[3]{1.2}$，按键：3 $\sqrt{}$
$·$ 2 =答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确科学计算器开平方、开立方的标准按键规则，以及运算优先级的处理方法：开平方时先按$\sqrt{}$键再输入被开方数，若被开方数是四则运算式需加括号保证运算顺序；开立方需先通过第二功能键（2ndF）调出立方根功能，注意输入负数时要先按$(-)$键；再逐一核对每个选项的按键顺序是否对应要计算的算式即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：若按$\sqrt{}$ 2 ÷ 3 =按键，计算器会优先计算$\sqrt{2}$再除以3，得到的是$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，不是$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，正确按键应为$\sqrt{}$ ( 2 ÷ 3 ) =，故A错误。
B选项：计算$\sqrt{3}+1$时，先按$\sqrt{}$键输入开平方指令，再输入被开方数3，接着按加号输入1，最后按等号得出结果，按键顺序符合要求，故B正确。
C选项：计算$\sqrt[3]{-2}$时，对应教材选用的科学计算器操作逻辑，正确按键顺序应为先输入被开方数$(-)$2，再按2ndF键切换到第二功能，再按$\sqrt{}$键（其第二功能为开立方），选项按键顺序错误，故C错误。
D选项：若按3 $\sqrt{}$ 1 . 2 =按键，计算器会计算$3×\sqrt{1.2}$，不是$\sqrt[3]{1.2}$，正确按键需调用立方根功能，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
科学计算器使用；开方运算按键规则
【点评】
本题侧重考查使用科学计算器进行开方运算的操作规范，解题时需注意区分开平方、开立方的按键差异，同时留意运算顺序对计算结果的影响，属于基础操作类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确科学计算器开平方、开立方的标准按键规则，以及运算优先级的处理方法：开平方时先按$\sqrt{}$键再输入被开方数，若被开方数是四则运算式需加括号保证运算顺序；开立方需先通过第二功能键（2ndF）调出立方根功能，注意输入负数时要先按$(-)$键；再逐一核对每个选项的按键顺序是否对应要计算的算式即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：若按$\sqrt{}$ 2 ÷ 3 =按键，计算器会优先计算$\sqrt{2}$再除以3，得到的是$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，不是$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，正确按键应为$\sqrt{}$ ( 2 ÷ 3 ) =，故A错误。
B选项：计算$\sqrt{3}+1$时，先按$\sqrt{}$键输入开平方指令，再输入被开方数3，接着按加号输入1，最后按等号得出结果，按键顺序符合要求，故B正确。
C选项：计算$\sqrt[3]{-2}$时，对应教材选用的科学计算器操作逻辑，正确按键顺序应为先输入被开方数$(-)$2，再按2ndF键切换到第二功能，再按$\sqrt{}$键（其第二功能为开立方），选项按键顺序错误，故C错误。
D选项：若按3 $\sqrt{}$ 1 . 2 =按键，计算器会计算$3×\sqrt{1.2}$，不是$\sqrt[3]{1.2}$，正确按键需调用立方根功能，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
科学计算器使用；开方运算按键规则
【点评】
本题侧重考查使用科学计算器进行开方运算的操作规范，解题时需注意区分开平方、开立方的按键差异，同时留意运算顺序对计算结果的影响，属于基础操作类考题。
【难度系数】
0.7
例 利用计算器，比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[2]{3}$； (2)$\sqrt{11}$，$\sqrt[3]{25}$。
(1)$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[2]{3}$； (2)$\sqrt{11}$，$\sqrt[3]{25}$。
答案
(1)$\sqrt[3]{2}＜\sqrt[2]{3}$。
(2)$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$。
(2)$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$。
解析
【分析】
要比较根指数不同的两组根式的大小，无法直接通过被开方数判断大小关系，因此可以借助计算器分别计算出每组两个根式的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小，计算时可将结果保留3~4位小数，保证比较的准确性。
【解析】
(1) 利用计算器计算可得：$\sqrt[3]{2}\approx1.260$，$\sqrt[2]{3}\approx1.732$。
因为$1.260＜1.732$，所以$\sqrt[3]{2}＜\sqrt[2]{3}$。
(2) 利用计算器计算可得：$\sqrt{11}\approx3.317$，$\sqrt[3]{25}\approx2.924$。
因为$3.317＞2.924$，所以$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{2}＜\sqrt[2]{3}$
(2)$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$
【知识点】
用计算器开方、实数大小比较
【点评】
本题考查利用计算器完成开方运算、比较实数大小的方法，解题核心是准确操作计算器得到各根式的近似值，计算时适当多保留几位小数可以避免比较时出现误差。
【难度系数】
0.85
要比较根指数不同的两组根式的大小，无法直接通过被开方数判断大小关系，因此可以借助计算器分别计算出每组两个根式的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小，计算时可将结果保留3~4位小数，保证比较的准确性。
【解析】
(1) 利用计算器计算可得：$\sqrt[3]{2}\approx1.260$，$\sqrt[2]{3}\approx1.732$。
因为$1.260＜1.732$，所以$\sqrt[3]{2}＜\sqrt[2]{3}$。
(2) 利用计算器计算可得：$\sqrt{11}\approx3.317$，$\sqrt[3]{25}\approx2.924$。
因为$3.317＞2.924$，所以$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{2}＜\sqrt[2]{3}$
(2)$\sqrt{11}＞\sqrt[3]{25}$
【知识点】
用计算器开方、实数大小比较
【点评】
本题考查利用计算器完成开方运算、比较实数大小的方法，解题核心是准确操作计算器得到各根式的近似值，计算时适当多保留几位小数可以避免比较时出现误差。
【难度系数】
0.85
利用计算器，比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt{18}$，$\sqrt[3]{35}$；
(2)$\frac{8}{13}$，$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
(1)$\sqrt{18}$，$\sqrt[3]{35}$；
(2)$\frac{8}{13}$，$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
答案
(1)$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$。
(2)$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
(2)$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
解析
【分析】
要比较含有开方运算的数的大小，无法直接通过化简判断大小关系，可借助计算器分别计算出每组数的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小。计算时注意保留足够多的小数位数，避免精度不足导致判断错误。
【解析】
(1) 用计算器分别计算两个数的近似值：
$\sqrt{18}\approx4.2426$，$\sqrt[3]{35}\approx3.2711$
因为$4.2426＞3.2711$，所以$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$。
(2) 用计算器分别计算两个数的近似值：
$\frac{8}{13}\approx0.6154$
先计算$\sqrt{6}\approx2.4495$，因此$\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx\frac{2.4495-1}{2}=\frac{1.4495}{2}\approx0.7248$
因为$0.6154＜0.7248$，所以$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$；(2)$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
用计算器开方；实数大小比较
【点评】
本题主要考查利用计算器计算无理数近似值来比较大小的方法，解题关键是熟练掌握计算器开平方、开立方的操作，计算近似值时保留3~4位小数即可保证判断的准确性。
【难度系数】
0.85
要比较含有开方运算的数的大小，无法直接通过化简判断大小关系，可借助计算器分别计算出每组数的近似值，再通过比较近似值的大小确定原数的大小。计算时注意保留足够多的小数位数，避免精度不足导致判断错误。
【解析】
(1) 用计算器分别计算两个数的近似值：
$\sqrt{18}\approx4.2426$，$\sqrt[3]{35}\approx3.2711$
因为$4.2426＞3.2711$，所以$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$。
(2) 用计算器分别计算两个数的近似值：
$\frac{8}{13}\approx0.6154$
先计算$\sqrt{6}\approx2.4495$，因此$\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx\frac{2.4495-1}{2}=\frac{1.4495}{2}\approx0.7248$
因为$0.6154＜0.7248$，所以$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{18}＞\sqrt[3]{35}$；(2)$\frac{8}{13}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
【知识点】
用计算器开方；实数大小比较
【点评】
本题主要考查利用计算器计算无理数近似值来比较大小的方法，解题关键是熟练掌握计算器开平方、开立方的操作，计算近似值时保留3~4位小数即可保证判断的准确性。
【难度系数】
0.85
