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计算：
(1)$(\sqrt[3]{-27})^3$；(2)$\sqrt[3]{(-8)^3}$；(3)$-\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{64})^3}$。
(1)$(\sqrt[3]{-27})^3$；(2)$\sqrt[3]{(-8)^3}$；(3)$-\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{64})^3}$。
答案
解：(1)$(\sqrt[3]{-27})^3=-27$。
(2)$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$。
(3)$-\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{64})^3}=-(-\dfrac{1}{64})=\dfrac{1}{64}$。
(2)$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$。
(3)$-\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{64})^3}=-(-\dfrac{1}{64})=\dfrac{1}{64}$。
解析
【分析】
本题考查立方根的基本性质，解题思路是利用立方根的两个核心性质：①对任意实数$a$，$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；②对任意实数$a$，$\sqrt[3]{a^3} = a$，同时注意运算中的符号处理，尤其要区分立方根与平方根的性质差异，逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3 = a$，令$a=-27$，则$(\sqrt[3]{-27})^3=-27$；
(2) 根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3} = a$，令$a=-8$，则$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$；
(3) 先利用性质$\sqrt[3]{a^3} = a$计算括号内部分：$\sqrt[3]{(-\frac{1}{64})^3}=-\frac{1}{64}$，再结合外层负号得：$-\sqrt[3]{(-\frac{1}{64})^3}=-(-\frac{1}{64})=\frac{1}{64}$。
【答案】
(1)$-27$；(2)$-8$；(3)$\frac{1}{64}$
【知识点】
立方根的性质，实数的开立方运算
【点评】
本题是立方根性质的基础应用题，核心是掌握立方根对任意实数都成立的特点，区别于平方根仅适用于非负数的性质，运算时注意符号即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根的基本性质，解题思路是利用立方根的两个核心性质：①对任意实数$a$，$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；②对任意实数$a$，$\sqrt[3]{a^3} = a$，同时注意运算中的符号处理，尤其要区分立方根与平方根的性质差异，逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3 = a$，令$a=-27$，则$(\sqrt[3]{-27})^3=-27$；
(2) 根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3} = a$，令$a=-8$，则$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$；
(3) 先利用性质$\sqrt[3]{a^3} = a$计算括号内部分：$\sqrt[3]{(-\frac{1}{64})^3}=-\frac{1}{64}$，再结合外层负号得：$-\sqrt[3]{(-\frac{1}{64})^3}=-(-\frac{1}{64})=\frac{1}{64}$。
【答案】
(1)$-27$；(2)$-8$；(3)$\frac{1}{64}$
【知识点】
立方根的性质，实数的开立方运算
【点评】
本题是立方根性质的基础应用题，核心是掌握立方根对任意实数都成立的特点，区别于平方根仅适用于非负数的性质，运算时注意符号即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
例1 估算下列各数的大小：
(1)$\sqrt{20}$（精确到0.1）；(2)$\sqrt[3]{900}$（精确到1）。
(1)$\sqrt{20}$（精确到0.1）；(2)$\sqrt[3]{900}$（精确到1）。
答案
(1) 因为 $4.45^2＜20＜4.50^2$，所以$\sqrt{20}≈4.5$。
(2) 因为 $9.5^3＜900＜10.0^3$，所以$\sqrt[3]{900}≈10$。
(2) 因为 $9.5^3＜900＜10.0^3$，所以$\sqrt[3]{900}≈10$。
解析
【分析】估算无理数的大小需利用“夹逼法”，即找到与被开方数相邻的两个完全平方数（估算平方根）或完全立方数（估算立方根），确定无理数的范围，再根据题目要求的精度取近似值。对于本题，(1)估算$\sqrt{20}$精确到0.1，需找到平方接近20的两个小数，确定$\sqrt{20}$的范围后取近似；(2)估算$\sqrt[3]{900}$精确到1，需找到立方接近900的两个整数，确定立方根的范围后取近似。
【解析】
(1) 计算相邻数的平方：
∵ $4.45^2 = 19.8025$，$4.5^2 = 20.25$，且$19.8025 ＜ 20 ＜ 20.25$，
∴ $\sqrt{20}$在4.45和4.5之间，根据精确到0.1的要求，得$\sqrt{20}≈4.5$；
(2) 计算相邻数的立方：
∵ $9.5^3 = 857.375$，$10^3 = 1000$，且$857.375 ＜ 900 ＜ 1000$，
∴ $\sqrt[3]{900}$在9.5和10之间，根据精确到1的要求，得$\sqrt[3]{900}≈10$。
【答案】
(1) 4.5；(2) 10
【知识点】
估算无理数大小，平方根，立方根
【点评】
本题是实数章节的基础估算题，核心考查“夹逼法”估算无理数的方法，通过寻找相邻的完全平方数、完全立方数确定无理数范围，再按精度要求取近似值，题型常规，难度较低，是学生需掌握的基础技能。
【难度系数】
0.6
【解析】
(1) 计算相邻数的平方：
∵ $4.45^2 = 19.8025$，$4.5^2 = 20.25$，且$19.8025 ＜ 20 ＜ 20.25$，
∴ $\sqrt{20}$在4.45和4.5之间，根据精确到0.1的要求，得$\sqrt{20}≈4.5$；
(2) 计算相邻数的立方：
∵ $9.5^3 = 857.375$，$10^3 = 1000$，且$857.375 ＜ 900 ＜ 1000$，
∴ $\sqrt[3]{900}$在9.5和10之间，根据精确到1的要求，得$\sqrt[3]{900}≈10$。
【答案】
(1) 4.5；(2) 10
【知识点】
估算无理数大小，平方根，立方根
【点评】
本题是实数章节的基础估算题，核心考查“夹逼法”估算无理数的方法，通过寻找相邻的完全平方数、完全立方数确定无理数范围，再按精度要求取近似值，题型常规，难度较低，是学生需掌握的基础技能。
【难度系数】
0.6
例2 我们知道$\sqrt{2}≈1.414$，于是我们说：“$\sqrt{2}$的整数部分为1，小数部分则可表示为$\sqrt{2}-1$。”那么$\sqrt{2}+1$的整数部分为
归纳总结
（1）在估算时，一般先进行直觉估计，再进行验证估计，常用两边逼近法。
（2）先利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分，再确定小数部分，逐步逼近。
即时测评
估算$\sqrt{39}$的整数部分是（
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2
，$\sqrt{2}+1$的小数部分可以表示为$\sqrt{2}-1$
。归纳总结
（1）在估算时，一般先进行直觉估计，再进行验证估计，常用两边逼近法。
（2）先利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分，再确定小数部分，逐步逼近。
即时测评
估算$\sqrt{39}$的整数部分是（
A
）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
答案
$\sqrt{2}+1$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{2}-1$；估算$\sqrt{39}$的整数部分选A。
解析
【分析】
要确定无理数的整数部分和小数部分，需使用夹逼法（两边逼近法）：先找到与无理数相邻的两个整数，使无理数介于二者之间，较小的整数即为其整数部分；小数部分等于该无理数减去整数部分。本题需先推导$\sqrt{2}+1$的范围，再通过平方数确定$\sqrt{39}$的范围，进而求解对应结果。
【解析】
一、求$\sqrt{2}+1$的整数部分和小数部分
1. 确定$\sqrt{2}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$；
2. 推导$\sqrt{2}+1$的范围：
不等式两边同时加1，得$1+1 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 2+1$，即$2 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 3$；
3. 确定整数部分：
介于2和3之间的数，整数部分为较小的整数2；
4. 确定小数部分：
小数部分 = 该数 - 整数部分，即$(\sqrt{2}+1)-2 = \sqrt{2}-1$。
二、估算$\sqrt{39}$的整数部分
1. 找平方接近39的整数：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜39＜49$；
2. 确定$\sqrt{39}$的范围：
所以$6 ＜ \sqrt{39} ＜7$，因此$\sqrt{39}$的整数部分为6，对应选项A。
【答案】
$\sqrt{2}+1$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{2}-1$；估算$\sqrt{39}$的整数部分选A。
【知识点】
无理数的整数与小数部分，估算无理数的大小
【点评】
本题是实数章节的基础题型，核心考查夹逼法的应用，通过平方数确定无理数的范围是解题关键，需熟练掌握该方法，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要确定无理数的整数部分和小数部分，需使用夹逼法（两边逼近法）：先找到与无理数相邻的两个整数，使无理数介于二者之间，较小的整数即为其整数部分；小数部分等于该无理数减去整数部分。本题需先推导$\sqrt{2}+1$的范围，再通过平方数确定$\sqrt{39}$的范围，进而求解对应结果。
【解析】
一、求$\sqrt{2}+1$的整数部分和小数部分
1. 确定$\sqrt{2}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$；
2. 推导$\sqrt{2}+1$的范围：
不等式两边同时加1，得$1+1 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 2+1$，即$2 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 3$；
3. 确定整数部分：
介于2和3之间的数，整数部分为较小的整数2；
4. 确定小数部分：
小数部分 = 该数 - 整数部分，即$(\sqrt{2}+1)-2 = \sqrt{2}-1$。
二、估算$\sqrt{39}$的整数部分
1. 找平方接近39的整数：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜39＜49$；
2. 确定$\sqrt{39}$的范围：
所以$6 ＜ \sqrt{39} ＜7$，因此$\sqrt{39}$的整数部分为6，对应选项A。
【答案】
$\sqrt{2}+1$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{2}-1$；估算$\sqrt{39}$的整数部分选A。
【知识点】
无理数的整数与小数部分，估算无理数的大小
【点评】
本题是实数章节的基础题型，核心考查夹逼法的应用，通过平方数确定无理数的范围是解题关键，需熟练掌握该方法，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
例3 比较大小：
(1)$\sqrt{15}$和4；
(2)$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$和$\frac{1}{2}$。
(1)$\sqrt{15}$和4；
(2)$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$和$\frac{1}{2}$。
答案
(1) $(\sqrt{15})^2=15$，$4^2=16$。因为 $15＜16$，所以$\sqrt{15}＜4$。
(2) $\frac{\sqrt{7}-1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$。所以$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
(2) $\frac{\sqrt{7}-1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$。所以$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
比较两个实数的大小时，对于带根号的正数与整数，可利用“正数的平方越大，原数越大”的平方法；对于同分母的两个分数，可通过作差法，根据差的正负判断大小（差大于0则前者大，差小于0则后者大），以此简便快捷得出结果。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{15}$和4都是正数，分别计算它们的平方：$(\sqrt{15})^2 = 15$，$4^2 = 16$。由于15＜16，根据正数的平方与原数的大小关系，可得$\sqrt{15}＜4$。
(2) 两个分数分母相同，作差得：$\frac{\sqrt{7}-1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{7}-1 -1}{2} = \frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\sqrt{7}-2＞0$，进而$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$，因此$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{15})^2=15$，$4^2=16$。因为 $15＜16$，所以$\sqrt{15}＜4$。(2) $\frac{\sqrt{7}-1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$。所以$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【知识点】
实数的大小比较、平方法、作差法
【点评】
本题考查实数大小比较的两种常用基础方法，平方法适用于正数间的大小比较，作差法适用于同分母分数的大小比较，是初中实数章节的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
比较两个实数的大小时，对于带根号的正数与整数，可利用“正数的平方越大，原数越大”的平方法；对于同分母的两个分数，可通过作差法，根据差的正负判断大小（差大于0则前者大，差小于0则后者大），以此简便快捷得出结果。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{15}$和4都是正数，分别计算它们的平方：$(\sqrt{15})^2 = 15$，$4^2 = 16$。由于15＜16，根据正数的平方与原数的大小关系，可得$\sqrt{15}＜4$。
(2) 两个分数分母相同，作差得：$\frac{\sqrt{7}-1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{7}-1 -1}{2} = \frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\sqrt{7}-2＞0$，进而$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$，因此$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $(\sqrt{15})^2=15$，$4^2=16$。因为 $15＜16$，所以$\sqrt{15}＜4$。(2) $\frac{\sqrt{7}-1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-2}{2}$。因为$\sqrt{7}＞2$，所以$\frac{\sqrt{7}-2}{2}＞0$。所以$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【知识点】
实数的大小比较、平方法、作差法
【点评】
本题考查实数大小比较的两种常用基础方法，平方法适用于正数间的大小比较，作差法适用于同分母分数的大小比较，是初中实数章节的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
例4 小丽将一块面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为$360\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片，使它的长、宽之比为$4:3$，她不知道能否裁得出来，正在发愁。小明见了说：“别发愁，一定能用这张纸片裁出符合要求的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由。
即时测评
即时测评
答案
不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。理由如下：
面积为 $400\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20(\mathrm{cm})$。
设面积为 $360\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片的长为 $4x\ \mathrm{cm}$，宽为 $3x\ \mathrm{cm}$。
由题意，得 $4x· 3x=360$，所以 $x=\sqrt{30}$（负根已舍去）。
所以长方形纸片的长为 $4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，宽为 $3\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。因为 $4\sqrt{30}＞20$，所以小丽不能用这张纸片裁出符合要求的纸片。
面积为 $400\ \mathrm{cm}^2$ 的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20(\mathrm{cm})$。
设面积为 $360\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片的长为 $4x\ \mathrm{cm}$，宽为 $3x\ \mathrm{cm}$。
由题意，得 $4x· 3x=360$，所以 $x=\sqrt{30}$（负根已舍去）。
所以长方形纸片的长为 $4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，宽为 $3\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。因为 $4\sqrt{30}＞20$，所以小丽不能用这张纸片裁出符合要求的纸片。
解析
【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形纸片，需先求出正方形纸片的边长，再根据长方形的面积和长宽比求出长方形的长，最后将长方形的长与正方形的边长比较：若长方形的长≤正方形边长，则能裁出；反之则不能。具体步骤为：1. 计算面积为400cm²的正方形的边长；2. 设长方形的长和宽，利用面积公式列方程求解，得到长方形的长；3. 比较长方形的长与正方形边长，得出结论。
【解析】
1. 计算正方形边长：面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，其边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
2. 设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式得：
$4x · 3x = 360$，即$12x^2 = 360$，化简得$x^2 = 30$，解得$x = \sqrt{30}$（负根舍去）。
3. 计算长方形的长：长为$4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。
4. 比较大小：因为$\sqrt{30} \approx 5.477$，所以$4\sqrt{30} \approx 21.908\ \mathrm{cm}$，显然$21.908 ＞ 20$，即长方形的长大于正方形的边长，因此无法裁出。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。
【知识点】
平方根的应用、长方形与正方形面积计算
【点评】
本题结合实际裁剪问题，考查平方根的应用及无理数的大小比较，关键是通过计算长方形的长并与正方形边长对比，判断裁剪的可行性，需注意无理数的估算方法。
【难度系数】
0.5
要判断能否裁出符合要求的长方形纸片，需先求出正方形纸片的边长，再根据长方形的面积和长宽比求出长方形的长，最后将长方形的长与正方形的边长比较：若长方形的长≤正方形边长，则能裁出；反之则不能。具体步骤为：1. 计算面积为400cm²的正方形的边长；2. 设长方形的长和宽，利用面积公式列方程求解，得到长方形的长；3. 比较长方形的长与正方形边长，得出结论。
【解析】
1. 计算正方形边长：面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，其边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
2. 设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式得：
$4x · 3x = 360$，即$12x^2 = 360$，化简得$x^2 = 30$，解得$x = \sqrt{30}$（负根舍去）。
3. 计算长方形的长：长为$4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，宽为$3\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。
4. 比较大小：因为$\sqrt{30} \approx 5.477$，所以$4\sqrt{30} \approx 21.908\ \mathrm{cm}$，显然$21.908 ＞ 20$，即长方形的长大于正方形的边长，因此无法裁出。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。
【知识点】
平方根的应用、长方形与正方形面积计算
【点评】
本题结合实际裁剪问题，考查平方根的应用及无理数的大小比较，关键是通过计算长方形的长并与正方形边长对比，判断裁剪的可行性，需注意无理数的估算方法。
【难度系数】
0.5
比较大小：$\sqrt{5}-2$
＜
$3-\sqrt{5}$。（填“＞”“＜”或“=”）答案
＜
解析
【分析】
要比较两个带二次根式的数的大小，可采用作差法：计算两数的差，根据差的正负判断大小。若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数；差为0则两数相等。具体步骤为：先计算$\sqrt{5}-2$与$3-\sqrt{5}$的差，再化简差，最后判断差的正负，从而得出两数的大小关系。
【解析】
解：用作差法比较两数大小，计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{5} - 2) - (3 - \sqrt{5})&=\sqrt{5} - 2 - 3 + \sqrt{5}\\&=2\sqrt{5} - 5\end{aligned}$
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$2\sqrt{5}\approx4.472$，则$2\sqrt{5} -5\approx4.472 -5=-0.528＜0$，即$(\sqrt{5} -2)-(3 - \sqrt{5})＜0$，因此$\sqrt{5} -2 ＜ 3 - \sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
实数大小比较；二次根式的加减运算
【点评】
本题考查实数大小的比较，作差法是比较两个实数大小的常用方法，通过化简差式，结合二次根式的近似值即可快速判断结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要比较两个带二次根式的数的大小，可采用作差法：计算两数的差，根据差的正负判断大小。若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数；差为0则两数相等。具体步骤为：先计算$\sqrt{5}-2$与$3-\sqrt{5}$的差，再化简差，最后判断差的正负，从而得出两数的大小关系。
【解析】
解：用作差法比较两数大小，计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{5} - 2) - (3 - \sqrt{5})&=\sqrt{5} - 2 - 3 + \sqrt{5}\\&=2\sqrt{5} - 5\end{aligned}$
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$2\sqrt{5}\approx4.472$，则$2\sqrt{5} -5\approx4.472 -5=-0.528＜0$，即$(\sqrt{5} -2)-(3 - \sqrt{5})＜0$，因此$\sqrt{5} -2 ＜ 3 - \sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
实数大小比较；二次根式的加减运算
【点评】
本题考查实数大小的比较，作差法是比较两个实数大小的常用方法，通过化简差式，结合二次根式的近似值即可快速判断结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
