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知识建构
填空：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
⑨ ⑩
填空：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
⑨ ⑩
答案
解：
① 二次项系数
② 一次项系数
③ 降次
④ $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$
⑤ $-\frac{b}{a}$
⑥ $\frac{c}{a}$
⑦ $b^2-4ac$
⑧ $b^2-4ac＞0$
⑨ $b^2-4ac=0$
⑩ $b^2-4ac＜0$
① 二次项系数
② 一次项系数
③ 降次
④ $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$
⑤ $-\frac{b}{a}$
⑥ $\frac{c}{a}$
⑦ $b^2-4ac$
⑧ $b^2-4ac＞0$
⑨ $b^2-4ac=0$
⑩ $b^2-4ac＜0$
解析
【分析】
本题是对一元二次方程核心基础知识点的系统性考查，我们可按照知识框图的逻辑顺序逐一对应知识点作答：首先回忆一元二次方程一般形式的各部分名称，对应填写①②；再回忆一元二次方程的求解核心思想，对应填写③；接着回忆一元二次方程的求根公式，对应填写④；之后回忆根与系数的关系（韦达定理）的内容，对应填写⑤⑥；最后回忆根的判别式的定义及不同取值对应的根的情况，对应填写⑦~⑩即可。
【解析】
1. 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，故①填二次项系数，②填一次项系数；
2. 解一元二次方程的基本思路是将二次方程转化为一次方程，该思想为降次，故③填降次；
3. 一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前提是$b^2-4ac\ge0$，故④填$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$；
4. 根据根与系数的关系，方程的两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，故⑤填$-\frac{b}{a}$，⑥填$\frac{c}{a}$；
5. 我们用判别式$b^2-4ac$判断根的情况：当$b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，方程无实数根，故⑦填$b^2-4ac$，⑧填$b^2-4ac＞0$，⑨填$b^2-4ac=0$，⑩填$b^2-4ac＜0$。
【答案】
① 二次项系数
② 一次项系数
③ 降次
④ $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$
⑤ $-\frac{b}{a}$
⑥ $\frac{c}{a}$
⑦ $b^2-4ac$
⑧ $b^2-4ac＞0$
⑨ $b^2-4ac=0$
⑩ $b^2-4ac＜0$
【知识点】
一元二次方程基本概念、求根公式、根的判别式与韦达定理
【点评】
本题属于基础类的知识梳理题，全面覆盖了一元二次方程模块的核心基础内容，能够帮助学生搭建完整的知识框架，只要熟练掌握相关基础概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题是对一元二次方程核心基础知识点的系统性考查，我们可按照知识框图的逻辑顺序逐一对应知识点作答：首先回忆一元二次方程一般形式的各部分名称，对应填写①②；再回忆一元二次方程的求解核心思想，对应填写③；接着回忆一元二次方程的求根公式，对应填写④；之后回忆根与系数的关系（韦达定理）的内容，对应填写⑤⑥；最后回忆根的判别式的定义及不同取值对应的根的情况，对应填写⑦~⑩即可。
【解析】
1. 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，故①填二次项系数，②填一次项系数；
2. 解一元二次方程的基本思路是将二次方程转化为一次方程，该思想为降次，故③填降次；
3. 一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用前提是$b^2-4ac\ge0$，故④填$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$；
4. 根据根与系数的关系，方程的两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，故⑤填$-\frac{b}{a}$，⑥填$\frac{c}{a}$；
5. 我们用判别式$b^2-4ac$判断根的情况：当$b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，方程无实数根，故⑦填$b^2-4ac$，⑧填$b^2-4ac＞0$，⑨填$b^2-4ac=0$，⑩填$b^2-4ac＜0$。
【答案】
① 二次项系数
② 一次项系数
③ 降次
④ $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ (b^2-4ac\ge0)$
⑤ $-\frac{b}{a}$
⑥ $\frac{c}{a}$
⑦ $b^2-4ac$
⑧ $b^2-4ac＞0$
⑨ $b^2-4ac=0$
⑩ $b^2-4ac＜0$
【知识点】
一元二次方程基本概念、求根公式、根的判别式与韦达定理
【点评】
本题属于基础类的知识梳理题，全面覆盖了一元二次方程模块的核心基础内容，能够帮助学生搭建完整的知识框架，只要熟练掌握相关基础概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
1. (★)下列方程一定是一元二次方程的是
【 】
A.$3x+1=4x-3$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$2x^2+y-3=0$
D.$3x^2-5=7$
【 】
A.$3x+1=4x-3$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$2x^2+y-3=0$
D.$3x^2-5=7$
答案
D
解析
【分析】要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需对照这三个条件逐一排查每个选项，即可选出正确答案。
【解析】首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，要求二次项系数不能为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$3x+1=4x-3$化简后为$x=4$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
B选项：$ax^2+bx+c=0$没有注明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数小于2，不属于一元二次方程，因此不一定符合要求；
C选项：$2x^2+y-3=0$含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
D选项：$3x^2-5=7$整理后为$3x^2-12=0$，只含未知数x，x的最高次数是2，二次项系数$3≠0$，且为整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢把握一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意二次项系数不为0这个容易忽略的隐含前提，避免误选B选项。
【难度系数】0.8
【解析】首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，要求二次项系数不能为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$3x+1=4x-3$化简后为$x=4$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
B选项：$ax^2+bx+c=0$没有注明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数小于2，不属于一元二次方程，因此不一定符合要求；
C选项：$2x^2+y-3=0$含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
D选项：$3x^2-5=7$整理后为$3x^2-12=0$，只含未知数x，x的最高次数是2，二次项系数$3≠0$，且为整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢把握一元二次方程的三个判定条件，尤其要注意二次项系数不为0这个容易忽略的隐含前提，避免误选B选项。
【难度系数】0.8
2. (★)将$(x+3)^2 - 3x = 5x^2$化成一元二次
方程的一般形式为，
它的一次项系数为。
方程的一般形式为，
它的一次项系数为。
答案
$4x^2 - 3x - 9 = 0$；$-3$
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的$(x+3)^2$，第二步对左侧式子合并同类项，第三步将所有项移到等号的同一侧，合并同类项后调整二次项系数为正数，即可得到一般形式；最后在一般形式中找到x的一次项，其带符号的数字部分就是一次项系数。
【解析】
第一步：展开完全平方，$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入原方程得：
$x^2+6x+9-3x=5x^2$
第二步：化简左侧式子，合并同类项：
$x^2+3x+9=5x^2$
第三步：移项，将所有项移至等号右侧，使二次项系数为正：
$0=5x^2-x^2-3x-9$
第四步：合并同类项，得到一元二次方程一般形式：
$4x^2-3x-9=0$
观察一般形式，一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
$4x^2 - 3x - 9 = 0$；$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 完全平方公式
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意完全平方展开不要出错，移项时要记得变号，提取系数时不要遗漏负号。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的$(x+3)^2$，第二步对左侧式子合并同类项，第三步将所有项移到等号的同一侧，合并同类项后调整二次项系数为正数，即可得到一般形式；最后在一般形式中找到x的一次项，其带符号的数字部分就是一次项系数。
【解析】
第一步：展开完全平方，$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入原方程得：
$x^2+6x+9-3x=5x^2$
第二步：化简左侧式子，合并同类项：
$x^2+3x+9=5x^2$
第三步：移项，将所有项移至等号右侧，使二次项系数为正：
$0=5x^2-x^2-3x-9$
第四步：合并同类项，得到一元二次方程一般形式：
$4x^2-3x-9=0$
观察一般形式，一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
$4x^2 - 3x - 9 = 0$；$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 完全平方公式
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意完全平方展开不要出错，移项时要记得变号，提取系数时不要遗漏负号。
【难度系数】
0.8
3. (★)一元二次方程$x^2 -12=0$的根是
【 】
A.$x=2\sqrt{3}$
B.$x=-2\sqrt{3}$
C.$x_1=4\sqrt{3},x_2=-4\sqrt{3}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
【 】
A.$x=2\sqrt{3}$
B.$x=-2\sqrt{3}$
C.$x_1=4\sqrt{3},x_2=-4\sqrt{3}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查缺一次项的一元二次方程的解法，观察方程特点可选用直接开平方法求解。解题思路：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，得到$x^2=a$（$a≥0$）的形式；第二步根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边同时开平方；第三步化简二次根式得到方程的两个根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -12=0$进行移项，得：
$x^2=12$
两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{12}$
化简二次根式$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，因此：
$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，难度较低，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根，同时要熟练掌握二次根式的化简规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查缺一次项的一元二次方程的解法，观察方程特点可选用直接开平方法求解。解题思路：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，得到$x^2=a$（$a≥0$）的形式；第二步根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边同时开平方；第三步化简二次根式得到方程的两个根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -12=0$进行移项，得：
$x^2=12$
两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{12}$
化简二次根式$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，因此：
$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，难度较低，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负根，同时要熟练掌握二次根式的化简规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
