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17. (★★)某商铺销售一批品牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为扩大销售、增加盈利并尽快减少库存,商铺决定降价促销,经调查发现,每件衬衫每降价1元,平均每天可多售出2件.若商铺平均每天要盈利1 200元,则每件衬衫应降价多少元?
答案
解：设每件衬衫应降价x元。
根据题意，列方程得：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10,\quad x_2 = 20$
∵ 要扩大销售、尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=10$ 不符合题意，舍去，取 $x=20$。
答：每件衬衫应降价20元。
根据题意，列方程得：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10,\quad x_2 = 20$
∵ 要扩大销售、尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=10$ 不符合题意，舍去，取 $x=20$。
答：每件衬衫应降价20元。
解析
【分析】
这是销售利润类应用题，解题思路如下：①明确核心等量关系：总盈利=单件利润×日销售数量；②设每件衬衫降价x元，分别表示降价后的单件利润和日销量：降价后单件利润为(40-x)元，每降价1元多售2件，降价x元后日销量为(20+2x)件；③根据总盈利1200元的要求列一元二次方程求解；④结合“尽快减少库存”的前提条件，选择降价幅度更大的解，因为降价越多日销量越高，库存减少速度越快。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元。
根据题意，列方程得：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10,\quad x_2 = 20$
∵ 要扩大销售、尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=10$ 不符合题意，舍去，取 $x=20$。
答：每件衬衫应降价20元。
【答案】
每件衬衫应降价20元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的数量关系，易错点是容易忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的两个解做合理取舍。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类应用题，解题思路如下：①明确核心等量关系：总盈利=单件利润×日销售数量；②设每件衬衫降价x元，分别表示降价后的单件利润和日销量：降价后单件利润为(40-x)元，每降价1元多售2件，降价x元后日销量为(20+2x)件；③根据总盈利1200元的要求列一元二次方程求解；④结合“尽快减少库存”的前提条件，选择降价幅度更大的解，因为降价越多日销量越高，库存减少速度越快。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元。
根据题意，列方程得：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10,\quad x_2 = 20$
∵ 要扩大销售、尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=10$ 不符合题意，舍去，取 $x=20$。
答：每件衬衫应降价20元。
【答案】
每件衬衫应降价20元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的数量关系，易错点是容易忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的两个解做合理取舍。
【难度系数】
0.7
18. (★★★)某物理实验小组在课上做了如下实验:在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度从A处开始向前滚动,并且均匀减速,测量黑球减速后的滚动速度$v_t$(单位:cm/s)随滚动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.
(1)探究发现,黑球的滚动速度$v_t$与滚动时间t之间成一次函数关系. 直接写出$v_t$关于t的函数解析式.(不要求写出自变量的取值范围)
(2)黑球在滑道上滚动14 cm用了多少秒?
(3)求黑球在滑道上滚动的最远距离.
(提示:本题中,距离$s=$平均速度$\bar{v}×$时间$t,\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)$,其中$v_0$是开始时的速度,$v_t$是t s时的速度)
(1)探究发现,黑球的滚动速度$v_t$与滚动时间t之间成一次函数关系. 直接写出$v_t$关于t的函数解析式.(不要求写出自变量的取值范围)
(2)黑球在滑道上滚动14 cm用了多少秒?
(3)求黑球在滑道上滚动的最远距离.
(提示:本题中,距离$s=$平均速度$\bar{v}×$时间$t,\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)$,其中$v_0$是开始时的速度,$v_t$是t s时的速度)
答案
解：
(1) 设$v_t$关于$t$的函数解析式为$v_t=kt+b$，
将$t=0$，$v_t=8$和$t=1$，$v_t=7$代入得：
$\begin{cases}b=8\\k+b=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=8\end{cases}$
所以$v_t=-t+8$。
(2) 由题意，$v_0=8$，$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)=\frac{1}{2}(8 + 8 - t)=8-\frac{1}{2}t$，
则滚动距离$s=\bar{v}· t=(8-\frac{1}{2}t)t=-\frac{1}{2}t^2+8t$。
令$s=14$，得方程：
$-\frac{1}{2}t^2+8t=14$
整理得$t^2-16t+28=0$
解得$t_1=2$，$t_2=14$。
当黑球速度为0时，$-t+8=0$，得$t=8$，即黑球最多滚动8秒，故$t=14$不符合题意，舍去。
答：黑球在滑道上滚动14 cm用了2秒。
(3) 黑球滚动到速度为0时，滚动距离最远，此时$t=8$，
将$t=8$代入$s=-\frac{1}{2}t^2+8t$，得：
$s=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32$
答：黑球在滑道上滚动的最远距离为32 cm。
(1) 设$v_t$关于$t$的函数解析式为$v_t=kt+b$，
将$t=0$，$v_t=8$和$t=1$，$v_t=7$代入得：
$\begin{cases}b=8\\k+b=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=8\end{cases}$
所以$v_t=-t+8$。
(2) 由题意，$v_0=8$，$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)=\frac{1}{2}(8 + 8 - t)=8-\frac{1}{2}t$，
则滚动距离$s=\bar{v}· t=(8-\frac{1}{2}t)t=-\frac{1}{2}t^2+8t$。
令$s=14$，得方程：
$-\frac{1}{2}t^2+8t=14$
整理得$t^2-16t+28=0$
解得$t_1=2$，$t_2=14$。
当黑球速度为0时，$-t+8=0$，得$t=8$，即黑球最多滚动8秒，故$t=14$不符合题意，舍去。
答：黑球在滑道上滚动14 cm用了2秒。
(3) 黑球滚动到速度为0时，滚动距离最远，此时$t=8$，
将$t=8$代入$s=-\frac{1}{2}t^2+8t$，得：
$s=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32$
答：黑球在滑道上滚动的最远距离为32 cm。
解析
【分析】
(1) 已知$v_t$与$t$成一次函数关系，可采用待定系数法求解：选取两组已知的$t$和$v_t$的对应值，代入一次函数一般式$v_t=kt+b$，解方程组得到系数$k$、$b$，即可得到函数解析式。
(2) 先根据题干给出的平均速度公式$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)$，结合初速度$v_0=8$和第一问求得的$v_t$的表达式，写出平均速度关于$t$的式子，再根据距离公式$s=\bar{v} · t$得到$s$关于$t$的函数式；令$s=14$列一元二次方程求解，同时需注意黑球减速到0后就停止运动，先求出速度为0时对应的时间，舍去大于该时间的不符合实际的解。
(3) 黑球速度减为0时滚动距离最远，可将速度为0时对应的时间代入$s$的表达式计算，也可利用二次函数的性质求$s$的最大值，两种方法结果一致。
【解析】
(1) 设$v_t$关于$t$的函数解析式为$v_t=kt+b$，
将$t=0$，$v_t=8$和$t=1$，$v_t=7$代入得：
$\begin{cases}b=8\\k+b=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=8\end{cases}$
所以$v_t=-t+8$。
(2) 由题意，$v_0=8$，$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)=\frac{1}{2}(8 + 8 - t)=8-\frac{1}{2}t$，
则滚动距离$s=\bar{v}· t=(8-\frac{1}{2}t)t=-\frac{1}{2}t^2+8t$。
令$s=14$，得方程：
$-\frac{1}{2}t^2+8t=14$
整理得$t^2-16t+28=0$
解得$t_1=2$，$t_2=14$。
当黑球速度为0时，$-t+8=0$，得$t=8$，即黑球最多滚动8秒，故$t=14$不符合题意，舍去。
答：黑球在滑道上滚动14 cm用了2秒。
(3) 黑球滚动到速度为0时，滚动距离最远，此时$t=8$，
将$t=8$代入$s=-\frac{1}{2}t^2+8t$，得：
$s=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32$
答：黑球在滑道上滚动的最远距离为32 cm。
【答案】
(1) $v_t=-t+8$
(2) 2秒
(3) 32 cm
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一元二次方程的应用
3. 二次函数的最值应用
【点评】
本题结合物理匀减速运动的实际场景，考查一次函数、一元二次方程和二次函数的综合应用，解题时要准确运用题干给出的距离计算公式，同时注意结合实际运动情况对求得的解进行合理取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.6
(1) 已知$v_t$与$t$成一次函数关系，可采用待定系数法求解：选取两组已知的$t$和$v_t$的对应值，代入一次函数一般式$v_t=kt+b$，解方程组得到系数$k$、$b$，即可得到函数解析式。
(2) 先根据题干给出的平均速度公式$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)$，结合初速度$v_0=8$和第一问求得的$v_t$的表达式，写出平均速度关于$t$的式子，再根据距离公式$s=\bar{v} · t$得到$s$关于$t$的函数式；令$s=14$列一元二次方程求解，同时需注意黑球减速到0后就停止运动，先求出速度为0时对应的时间，舍去大于该时间的不符合实际的解。
(3) 黑球速度减为0时滚动距离最远，可将速度为0时对应的时间代入$s$的表达式计算，也可利用二次函数的性质求$s$的最大值，两种方法结果一致。
【解析】
(1) 设$v_t$关于$t$的函数解析式为$v_t=kt+b$，
将$t=0$，$v_t=8$和$t=1$，$v_t=7$代入得：
$\begin{cases}b=8\\k+b=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=8\end{cases}$
所以$v_t=-t+8$。
(2) 由题意，$v_0=8$，$\bar{v}=\frac{1}{2}(v_0+v_t)=\frac{1}{2}(8 + 8 - t)=8-\frac{1}{2}t$，
则滚动距离$s=\bar{v}· t=(8-\frac{1}{2}t)t=-\frac{1}{2}t^2+8t$。
令$s=14$，得方程：
$-\frac{1}{2}t^2+8t=14$
整理得$t^2-16t+28=0$
解得$t_1=2$，$t_2=14$。
当黑球速度为0时，$-t+8=0$，得$t=8$，即黑球最多滚动8秒，故$t=14$不符合题意，舍去。
答：黑球在滑道上滚动14 cm用了2秒。
(3) 黑球滚动到速度为0时，滚动距离最远，此时$t=8$，
将$t=8$代入$s=-\frac{1}{2}t^2+8t$，得：
$s=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32$
答：黑球在滑道上滚动的最远距离为32 cm。
【答案】
(1) $v_t=-t+8$
(2) 2秒
(3) 32 cm
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一元二次方程的应用
3. 二次函数的最值应用
【点评】
本题结合物理匀减速运动的实际场景，考查一次函数、一元二次方程和二次函数的综合应用，解题时要准确运用题干给出的距离计算公式，同时注意结合实际运动情况对求得的解进行合理取舍，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.6
