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9. (★)中秋佳节,阖家团圆.某家庭信息交流群规定,群内的每个人都要发红包,并保证群内其他人恰好都能抢到(自己不能抢自己发的)红包.此次活动结束,群内所有人共收到56个红包,则该群一共有
【 】
A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
【 】
A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理清红包总数量和群人数的关系：群内每个人都要给除自己外的其他人发红包，因此每个人发出的红包数=总人数-1；所有人发出的红包总数和所有人收到的红包总数是相等的，我们可以据此设未知数列方程求解，最后根据人数为正整数的实际意义筛选结果。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
根据题意，每个人需要给其余$ (x-1) $人各发1个红包，因此所有人发出的红包总数量为$ x(x-1) $个，而总收到的红包数等于总发出的红包数，可得方程：
$x(x-1) = 56$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x - 8)(x + 7) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $。
因为人数不能为负数，所以舍去$ x_2 = -7 $，即该群一共有8人。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题属于生活中的实际应用问题，解题核心是准确找出总红包数和总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况舍去不符合要求的解，整体逻辑清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要理清红包总数量和群人数的关系：群内每个人都要给除自己外的其他人发红包，因此每个人发出的红包数=总人数-1；所有人发出的红包总数和所有人收到的红包总数是相等的，我们可以据此设未知数列方程求解，最后根据人数为正整数的实际意义筛选结果。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
根据题意，每个人需要给其余$ (x-1) $人各发1个红包，因此所有人发出的红包总数量为$ x(x-1) $个，而总收到的红包数等于总发出的红包数，可得方程：
$x(x-1) = 56$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x - 8)(x + 7) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $。
因为人数不能为负数，所以舍去$ x_2 = -7 $，即该群一共有8人。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题属于生活中的实际应用问题，解题核心是准确找出总红包数和总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况舍去不符合要求的解，整体逻辑清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
10. (★)在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订1份合同,会议结束后统计共签订了55份合同.设有x家公司参加了这次交易会,则下列说法正确的是
【 】
A.由题意可列方程为$x(x-1)=55$
B.由题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x+1)=55$
C.$x=10$
D.$x=11$
【 】
A.由题意可列方程为$x(x-1)=55$
B.由题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x+1)=55$
C.$x=10$
D.$x=11$
答案
D
解析
【分析】
本题属于一元二次方程应用中的单循环计数问题，解题思路如下：首先明确每两家公司仅签订1份合同，不会重复计数：①每家公司需要和除自身外的(x-1)家公司签约，若直接计算x家公司的签约总次数会得到x(x-1)，但此时每份合同被计算了2次（A与B签、B与A签实为同一份）；②因此实际签订的合同总数应为总次数的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程求解，再结合实际意义舍去负根，最后判断选项即可。
【解析】
解：根据单循环计数规则列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
由于公司数量不能为负数，故舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
逐一判断选项：
A：方程未除以2，错误；
B：方程中应为$x-1$而非$x+1$，错误；
C：$x=10$不符合计算结果，错误；
D：$x=11$正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 单循环计数问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，易错点为列方程时忽略单循环需要除以2，避免重复计数，求解后注意结合实际意义舍去不符合题意的根即可正确作答。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程应用中的单循环计数问题，解题思路如下：首先明确每两家公司仅签订1份合同，不会重复计数：①每家公司需要和除自身外的(x-1)家公司签约，若直接计算x家公司的签约总次数会得到x(x-1)，但此时每份合同被计算了2次（A与B签、B与A签实为同一份）；②因此实际签订的合同总数应为总次数的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程求解，再结合实际意义舍去负根，最后判断选项即可。
【解析】
解：根据单循环计数规则列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理方程得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
由于公司数量不能为负数，故舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
逐一判断选项：
A：方程未除以2，错误；
B：方程中应为$x-1$而非$x+1$，错误；
C：$x=10$不符合计算结果，错误；
D：$x=11$正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 单循环计数问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，易错点为列方程时忽略单循环需要除以2，避免重复计数，求解后注意结合实际意义舍去不符合题意的根即可正确作答。
【难度系数】
0.7
11. (★★)在一次聚会中,每两个参加聚会的人都相互握了一次手,一共握了210次手,则参加这次聚会的有人.
答案
解：设参加这次聚会的有x人。
根据题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得：$x^2 - x - 420 = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-20$（人数不能为负，舍去）
答：参加这次聚会的有21人。
根据题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得：$x^2 - x - 420 = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-20$（人数不能为负，舍去）
答：参加这次聚会的有21人。
解析
【分析】
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路可按以下步骤展开：1. 先设参加聚会的人数为未知数x；2. 梳理计数逻辑：每个人会和除自身外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被重复计算2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；3. 根据总握手次数为210次列方程求解，最后要结合人数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
设参加这次聚会的有$x$人。
根据题意，每两个参与聚会的人仅握1次手，总握手次数为210次，可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得：$x^2 - x - 420 = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-20$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-20$。
【答案】
21
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数
【点评】
本题是贴近生活的方程应用基础题，解题核心是掌握单循环事件的计数规律，要注意求解一元二次方程后，需结合实际场景舍去不符合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路可按以下步骤展开：1. 先设参加聚会的人数为未知数x；2. 梳理计数逻辑：每个人会和除自身外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被重复计算2次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；3. 根据总握手次数为210次列方程求解，最后要结合人数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
设参加这次聚会的有$x$人。
根据题意，每两个参与聚会的人仅握1次手，总握手次数为210次，可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得：$x^2 - x - 420 = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-20$
由于人数不能为负数，因此舍去$x_2=-20$。
【答案】
21
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数
【点评】
本题是贴近生活的方程应用基础题，解题核心是掌握单循环事件的计数规律，要注意求解一元二次方程后，需结合实际场景舍去不符合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
12. (★★)2条直线相交，最多有个交点；3条直线相交，最多有个交点；……；20条直线相交，最多有个交点.
答案
解：
2条直线相交，最多有1个交点；
3条直线相交，若任意两条直线的交点互不重合，此时交点最多，总交点数为$1+2=3$个；
推导可得，$n$条直线相交最多的交点数公式为：$y=\frac{n(n-1)}{2}$。
将$n=20$代入公式，得$y=\frac{20×(20-1)}{2}=190$。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{190}$。
2条直线相交，最多有1个交点；
3条直线相交，若任意两条直线的交点互不重合，此时交点最多，总交点数为$1+2=3$个；
推导可得，$n$条直线相交最多的交点数公式为：$y=\frac{n(n-1)}{2}$。
将$n=20$代入公式，得$y=\frac{20×(20-1)}{2}=190$。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{190}$。
解析
【分析】
本题属于规律探究类的循环问题，解题时首先要明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且所有交点互不重合，不存在平行或多线共点的情况。我们可以从特殊情况入手找规律：2条直线时最多有1个交点；每新增1条直线，这条直线要和之前所有直线各产生1个新交点，因此新增交点数等于原有直线的数量，该规律和单循环问题逻辑一致，据此可推导n条直线的最多交点数公式，最后代入n=20计算即可。
【解析】
1. 2条直线相交，最多有1个交点；
2. 3条直线相交，要使交点最多，第3条直线需与前2条直线都相交且交点不重合，新增2个交点，总交点数为$1+2=3$个；
3. 推导通用规律：n条直线相交时，最多交点数是从1开始连续加到$(n-1)$的和，根据等差数列求和公式可得最多交点数公式为$y=\frac{n(n-1)}{2}$；
4. 将$n=20$代入公式，得$y=\frac{20×(20-1)}{2}=190$。
【答案】
1；3；190
【知识点】
直线相交交点问题、等差数列求和、规律探究
【点评】
本题解题的核心是理解“最多交点”的成立条件，采用从特殊到一般的思路推导通用公式，该公式与单循环问题的计算逻辑一致，掌握规律推导方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
本题属于规律探究类的循环问题，解题时首先要明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且所有交点互不重合，不存在平行或多线共点的情况。我们可以从特殊情况入手找规律：2条直线时最多有1个交点；每新增1条直线，这条直线要和之前所有直线各产生1个新交点，因此新增交点数等于原有直线的数量，该规律和单循环问题逻辑一致，据此可推导n条直线的最多交点数公式，最后代入n=20计算即可。
【解析】
1. 2条直线相交，最多有1个交点；
2. 3条直线相交，要使交点最多，第3条直线需与前2条直线都相交且交点不重合，新增2个交点，总交点数为$1+2=3$个；
3. 推导通用规律：n条直线相交时，最多交点数是从1开始连续加到$(n-1)$的和，根据等差数列求和公式可得最多交点数公式为$y=\frac{n(n-1)}{2}$；
4. 将$n=20$代入公式，得$y=\frac{20×(20-1)}{2}=190$。
【答案】
1；3；190
【知识点】
直线相交交点问题、等差数列求和、规律探究
【点评】
本题解题的核心是理解“最多交点”的成立条件，采用从特殊到一般的思路推导通用公式，该公式与单循环问题的计算逻辑一致，掌握规律推导方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
13. (★★)$n(n＞3)$边形共有多少条对角线？写出你的探究过程及结果.
答案
解：
n边形共有n个顶点，从任意一个顶点出发，不能向自身以及与该顶点相邻的两个顶点作对角线，因此从一个顶点最多可引出$(n-3)$条对角线。
若直接按n个顶点计算，共得到$n(n-3)$条连线，但每条对角线都被它所连接的两个顶点各计数一次，所有对角线都被重复计算了1次。
因此n边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
答：$n(n＞3)$边形共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
n边形共有n个顶点，从任意一个顶点出发，不能向自身以及与该顶点相邻的两个顶点作对角线，因此从一个顶点最多可引出$(n-3)$条对角线。
若直接按n个顶点计算，共得到$n(n-3)$条连线，但每条对角线都被它所连接的两个顶点各计数一次，所有对角线都被重复计算了1次。
因此n边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
答：$n(n＞3)$边形共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
解析
【分析】
要推导n（n＞3）边形的对角线条数，可按以下思路思考：第一步，先明确对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段，先计算从单个顶点出发能引出的对角线数量：每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此单个顶点可引出(n-3)条对角线；第二步，若直接用顶点总数乘单个顶点的对角线数，会出现重复计数，因为每条对角线对应2个顶点，会被先后计算2次；第三步，去除重复计数的部分即可得到总条数，也可类比一元二次方程应用中的单循环问题模型求解。
【解析】
n边形共有n个顶点，根据对角线的定义，从任意一个顶点出发，不能向自身以及与该顶点相邻的两个顶点作对角线，因此从一个顶点最多可引出$(n-3)$条对角线。
若直接按n个顶点计算，共得到$n(n-3)$条连线，但每条对角线都被它所连接的两个顶点各计数一次，所有对角线都被重复计算了1次。
因此n（n＞3）边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
【答案】
$\frac{n(n-3)}{2}$条
【知识点】
多边形的对角线、单循环计数规律
【点评】
本题是多边形性质与计数规律结合的基础题，解题关键是先理清单个顶点可引出的对角线数量，再注意消除重复计数的误差，可结合握手、单循环比赛等常见模型辅助理解，掌握该推导过程能快速解决多边形对角线相关的计数问题。
【难度系数】
0.7
要推导n（n＞3）边形的对角线条数，可按以下思路思考：第一步，先明确对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段，先计算从单个顶点出发能引出的对角线数量：每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此单个顶点可引出(n-3)条对角线；第二步，若直接用顶点总数乘单个顶点的对角线数，会出现重复计数，因为每条对角线对应2个顶点，会被先后计算2次；第三步，去除重复计数的部分即可得到总条数，也可类比一元二次方程应用中的单循环问题模型求解。
【解析】
n边形共有n个顶点，根据对角线的定义，从任意一个顶点出发，不能向自身以及与该顶点相邻的两个顶点作对角线，因此从一个顶点最多可引出$(n-3)$条对角线。
若直接按n个顶点计算，共得到$n(n-3)$条连线，但每条对角线都被它所连接的两个顶点各计数一次，所有对角线都被重复计算了1次。
因此n（n＞3）边形对角线的总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
【答案】
$\frac{n(n-3)}{2}$条
【知识点】
多边形的对角线、单循环计数规律
【点评】
本题是多边形性质与计数规律结合的基础题，解题关键是先理清单个顶点可引出的对角线数量，再注意消除重复计数的误差，可结合握手、单循环比赛等常见模型辅助理解，掌握该推导过程能快速解决多边形对角线相关的计数问题。
【难度系数】
0.7
14. (★★)若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2,且个位数字比十位数字大1,则这个两位数是
【 】
A.23
B.34
C.23或34
D.-23或-34
【 】
A.23
B.34
C.23或34
D.-23或-34
答案
A
解析
【分析】
解决数字类应用题，首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题已知个位数字比十位数字大1，可先设十位数字为x，用x表示出个位数字和对应两位数，再根据“两位数比十位、个位数字和的平方少2”这一等量关系列一元二次方程，求解后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）舍去不符合实际的解，最后验证即可得到正确结果。
【解析】
解：设该两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+1 $（$ x $为正整数，且$ 1≤ x≤8 $）。
该两位数可表示为：$ 10x + (x+1) = 11x + 1 $
十位与个位数字的和为：$ x + (x+1) = 2x + 1 $
根据题意列方程：
$ 11x + 1 = (2x + 1)^2 - 2 $
展开整理得：
$ 4x^2 - 7x - 2 = 0 $
因式分解得：
$ (4x + 1)(x - 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -\frac{1}{4} $（不符合数位数字为正整数的要求，舍去）
当$ x=2 $时，个位数字为$ 2+1=3 $，对应两位数为23。
验证：34不符合题意（$ (3+4)^2 -2=47≠34 $），因此只有23符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，数字表示方法，一元二次方程求解
【点评】
本题核心是掌握两位数的表示方法，能根据题干描述准确找到等量关系列方程，求解后一定要结合数位的实际意义验根，避免错选不符合条件的干扰项。
【难度系数】
0.7
解决数字类应用题，首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题已知个位数字比十位数字大1，可先设十位数字为x，用x表示出个位数字和对应两位数，再根据“两位数比十位、个位数字和的平方少2”这一等量关系列一元二次方程，求解后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）舍去不符合实际的解，最后验证即可得到正确结果。
【解析】
解：设该两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+1 $（$ x $为正整数，且$ 1≤ x≤8 $）。
该两位数可表示为：$ 10x + (x+1) = 11x + 1 $
十位与个位数字的和为：$ x + (x+1) = 2x + 1 $
根据题意列方程：
$ 11x + 1 = (2x + 1)^2 - 2 $
展开整理得：
$ 4x^2 - 7x - 2 = 0 $
因式分解得：
$ (4x + 1)(x - 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -\frac{1}{4} $（不符合数位数字为正整数的要求，舍去）
当$ x=2 $时，个位数字为$ 2+1=3 $，对应两位数为23。
验证：34不符合题意（$ (3+4)^2 -2=47≠34 $），因此只有23符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，数字表示方法，一元二次方程求解
【点评】
本题核心是掌握两位数的表示方法，能根据题干描述准确找到等量关系列方程，求解后一定要结合数位的实际意义验根，避免错选不符合条件的干扰项。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,……,第n行有n个点,则前n行的点数和不能是以下哪个结果【 】
A.55
B.95
C.78
D.120
A.55
B.95
C.78
D.120
答案
B
解析
【分析】
首先观察三角点阵的点数规律：第n行有n个点，前n行的总点数是1到n的正整数之和，可通过等差数列求和公式得出总点数S和n的关系式$S=\frac{n(n+1)}{2}$（n为正整数）。要判断哪个选项不可能是点数和，只需将各选项代入关系式，若解得的n是正整数则该结果可能，反之则不可能，即为所求答案。
【解析】
由题意得，前n行的点数和为：
$S = 1+2+3+\dots +n = \frac{n(n+1)}{2}$，其中n为正整数。
我们将四个选项依次代入验证：
1. 当$S=55$时：$\frac{n(n+1)}{2}=55$，整理得$n^2 +n -110=0$，解得$n_1=10$，$n_2=-11$（舍去），n=10是正整数，故A可能；
2. 当$S=95$时：$\frac{n(n+1)}{2}=95$，整理得$n^2 +n -190=0$，计算判别式$\Delta=1^2 +4×190=761$，761不是完全平方数，方程无正整数解，故B不可能；
3. 当$S=78$时：$\frac{n(n+1)}{2}=78$，整理得$n^2 +n -156=0$，解得$n_1=12$，$n_2=-13$（舍去），n=12是正整数，故C可能；
4. 当$S=120$时：$\frac{n(n+1)}{2}=120$，整理得$n^2 +n -240=0$，解得$n_1=15$，$n_2=-16$（舍去），n=15是正整数，故D可能。
【答案】
B
【知识点】
规律探究、等差数列求和、一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是先归纳出前n行点数和的表达式，再结合一元二次方程求解验证，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了一元二次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察三角点阵的点数规律：第n行有n个点，前n行的总点数是1到n的正整数之和，可通过等差数列求和公式得出总点数S和n的关系式$S=\frac{n(n+1)}{2}$（n为正整数）。要判断哪个选项不可能是点数和，只需将各选项代入关系式，若解得的n是正整数则该结果可能，反之则不可能，即为所求答案。
【解析】
由题意得，前n行的点数和为：
$S = 1+2+3+\dots +n = \frac{n(n+1)}{2}$，其中n为正整数。
我们将四个选项依次代入验证：
1. 当$S=55$时：$\frac{n(n+1)}{2}=55$，整理得$n^2 +n -110=0$，解得$n_1=10$，$n_2=-11$（舍去），n=10是正整数，故A可能；
2. 当$S=95$时：$\frac{n(n+1)}{2}=95$，整理得$n^2 +n -190=0$，计算判别式$\Delta=1^2 +4×190=761$，761不是完全平方数，方程无正整数解，故B不可能；
3. 当$S=78$时：$\frac{n(n+1)}{2}=78$，整理得$n^2 +n -156=0$，解得$n_1=12$，$n_2=-13$（舍去），n=12是正整数，故C可能；
4. 当$S=120$时：$\frac{n(n+1)}{2}=120$，整理得$n^2 +n -240=0$，解得$n_1=15$，$n_2=-16$（舍去），n=15是正整数，故D可能。
【答案】
B
【知识点】
规律探究、等差数列求和、一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是先归纳出前n行点数和的表达式，再结合一元二次方程求解验证，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了一元二次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★)如图是某月的月历表,在此月历表上可以用一个矩形圈出$3×3$个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和是多少?
答案
解：设圈出的9个数中最小的数为x，根据月历中数的排列规律，最大的数为$x+16$。
根据题意列方程得：
$x(x+16)=192$
整理得：$x^2+16x-192=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-24$（不符合实际意义，舍去）
由此可得9个数的中间数为$x+8=16$，根据3×3圈出的9个数的和为中间数的9倍，可得9个数的和为$9×16=144$。
答：这9个数的和是144。
根据题意列方程得：
$x(x+16)=192$
整理得：$x^2+16x-192=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-24$（不符合实际意义，舍去）
由此可得9个数的中间数为$x+8=16$，根据3×3圈出的9个数的和为中间数的9倍，可得9个数的和为$9×16=144$。
答：这9个数的和是144。
解析
【分析】首先明确月历的数字排列规律：横向相邻数相差1，纵向相邻数相差7。观察3×3矩形圈出的9个数，最小数为左上角的数，最大数为右下角的数，二者相差16（向下2行差14，向右2列差2，合计16）。我们可以设最小数为$x$，则最大数为$x+16$，根据“最大数与最小数的积为192”列一元二次方程求解，得到符合实际的$x$后，再利用3×3圈出的9个数的和是中间数9倍的规律，即可快速算出9个数的总和。
【解析】
解：设圈出的9个数中最小的数为$x$，根据月历数字排列规律，最大的数为$x+16$。
根据题意列方程：
$x(x+16)=192$
整理得：$x^2+16x-192=0$
解方程得：$x_1=8$，$x_2=-24$（日期为正整数，不符合实际意义，舍去）
9个数的中间数为$x+8=8+8=16$，根据3×3圈出的9个数的和为中间数的9倍，可得总和为：
$9×16=144$
答：这9个数的和是144。
【答案】
144
【知识点】
一元二次方程的应用；月历数字规律；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，解题的关键是找准3×3方框内数字的数量关系，列方程求解时注意舍去不符合实际意义的根，同时利用9个数和与中间数的规律可以简化计算，避免逐一求和的繁琐。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：设圈出的9个数中最小的数为$x$，根据月历数字排列规律，最大的数为$x+16$。
根据题意列方程：
$x(x+16)=192$
整理得：$x^2+16x-192=0$
解方程得：$x_1=8$，$x_2=-24$（日期为正整数，不符合实际意义，舍去）
9个数的中间数为$x+8=8+8=16$，根据3×3圈出的9个数的和为中间数的9倍，可得总和为：
$9×16=144$
答：这9个数的和是144。
【答案】
144
【知识点】
一元二次方程的应用；月历数字规律；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，解题的关键是找准3×3方框内数字的数量关系，列方程求解时注意舍去不符合实际意义的根，同时利用9个数和与中间数的规律可以简化计算，避免逐一求和的繁琐。
【难度系数】
0.7
