登录
1. (★)若两个连续整数的积是56，则它们的和是.
答案
解：
设较小的连续整数为$ x $，则较大的连续整数为$ x+1 $，
根据题意列方程：
$ x(x+1) = 56 $
整理得：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 7)(x + 8) = 0 $
解得：
$ x_1 = 7,\quad x_2 = -8 $
当$ x=7 $时，两数为7和8，和为$ 7+8=15 $；
当$ x=-8 $时，两数为-8和-7，和为$ -8 + (-7) = -15 $。
故答案为：$\boldsymbol{\pm15}$
设较小的连续整数为$ x $，则较大的连续整数为$ x+1 $，
根据题意列方程：
$ x(x+1) = 56 $
整理得：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 7)(x + 8) = 0 $
解得：
$ x_1 = 7,\quad x_2 = -8 $
当$ x=7 $时，两数为7和8，和为$ 7+8=15 $；
当$ x=-8 $时，两数为-8和-7，和为$ -8 + (-7) = -15 $。
故答案为：$\boldsymbol{\pm15}$
解析
【分析】
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确连续整数的关系：两个连续整数中，较大数比较小数大1；第二步，设较小的整数为x，即可用x表示出较大的整数为x+1；第三步，根据“两数积为56”的等量关系列方程求解；第四步，注意整数包含正整数和负整数，得到两个解后分别计算对应两数的和，避免漏解。
【解析】
设较小的连续整数为$ x $，则较大的连续整数为$ x+1 $，
根据题意列方程：
$ x(x+1) = 56 $
整理得：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 7)(x + 8) = 0 $
解得：
$ x_1 = 7,\quad x_2 = -8 $
当$ x=7 $时，两数为7和8，和为$ 7+8=15 $；
当$ x=-8 $时，两数为-8和-7，和为$ -8 + (-7) = -15 $。
【答案】
$\boldsymbol{\pm15}$
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，有理数运算
【点评】
本题属于基础的数字应用类题型，核心是根据连续整数的数量关系建立方程求解，解题时需注意整数包含正负两类，不要遗漏负整数的情况，避免出现仅得15的错误。
【难度系数】
0.7
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确连续整数的关系：两个连续整数中，较大数比较小数大1；第二步，设较小的整数为x，即可用x表示出较大的整数为x+1；第三步，根据“两数积为56”的等量关系列方程求解；第四步，注意整数包含正整数和负整数，得到两个解后分别计算对应两数的和，避免漏解。
【解析】
设较小的连续整数为$ x $，则较大的连续整数为$ x+1 $，
根据题意列方程：
$ x(x+1) = 56 $
整理得：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 7)(x + 8) = 0 $
解得：
$ x_1 = 7,\quad x_2 = -8 $
当$ x=7 $时，两数为7和8，和为$ 7+8=15 $；
当$ x=-8 $时，两数为-8和-7，和为$ -8 + (-7) = -15 $。
【答案】
$\boldsymbol{\pm15}$
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，有理数运算
【点评】
本题属于基础的数字应用类题型，核心是根据连续整数的数量关系建立方程求解，解题时需注意整数包含正负两类，不要遗漏负整数的情况，避免出现仅得15的错误。
【难度系数】
0.7
2. (★)某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空.
解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为.
根据题意,可列出方程.
整理,得.
解得.
符合实际意义的解为.
答:应邀请支球队参赛.
解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为.
根据题意,可列出方程.
整理,得.
解得.
符合实际意义的解为.
答:应邀请支球队参赛.
答案
解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛,比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$.
根据题意,可列出方程$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$.
整理,得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$.
解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$.
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$.
答:应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛.
根据题意,可列出方程$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$.
整理,得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$.
解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$.
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$.
答:应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛.
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场。设邀请x支球队参赛，每支球队无需和自己比赛，因此每队要和剩余(x-1)支球队各赛1场；此时如果直接用x乘(x-1)计算总场数，每场比赛会被参赛的2支球队各统计1次，相当于总场数被重复计算了2遍，因此实际总场数要除以2，即$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合已知总场数为28场即可列方程，求解一元二次方程后，球队数量不能为负数，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛，比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$。
根据题意，可列出方程$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$。
整理，得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$。
解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$。
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$。
答：应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
【答案】
依次填入：$(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=28$；$x^2 - x - 56 = 0$；$x_1=8,x_2=-7$；$x=8$；$8$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的比赛计数类应用题，解题关键是正确理解单循环赛制的计数逻辑，避免重复计数错误，同时求解方程后要注意验证解是否符合实际场景，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场。设邀请x支球队参赛，每支球队无需和自己比赛，因此每队要和剩余(x-1)支球队各赛1场；此时如果直接用x乘(x-1)计算总场数，每场比赛会被参赛的2支球队各统计1次，相当于总场数被重复计算了2遍，因此实际总场数要除以2，即$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合已知总场数为28场即可列方程，求解一元二次方程后，球队数量不能为负数，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打$\boldsymbol{(x-1)}$场比赛，比赛总场数用代数式表示为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$。
根据题意，可列出方程$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=28}$。
整理，得$\boldsymbol{x^2 - x - 56 = 0}$。
解得$\boldsymbol{x_1=8,\ x_2=-7}$。
符合实际意义的解为$\boldsymbol{x=8}$。
答：应邀请$\boldsymbol{8}$支球队参赛。
【答案】
依次填入：$(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=28$；$x^2 - x - 56 = 0$；$x_1=8,x_2=-7$；$x=8$；$8$
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的比赛计数类应用题，解题关键是正确理解单循环赛制的计数逻辑，避免重复计数错误，同时求解方程后要注意验证解是否符合实际场景，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
3. (★)有若干支队伍参加了女子冰壶单循环比赛,比赛共进行了45场,则本次比赛共有参赛队伍 【 】
A.8支
B.9支
C.10支
D.11支
A.8支
B.9支
C.10支
D.11支
答案
C
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛。我们可以设参赛队伍共有x支，每支队伍需要和除自身外的(x-1)支队伍比赛，此时计算的总场次中每一场比赛都被重复计算了2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场比赛），因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场次为45场的条件，我们可以列出一元二次方程，求解后结合实际意义（队伍数量为正整数）舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
设本次比赛共有$x$支参赛队伍。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
整理方程得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为参赛队伍数量不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制场次计算
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的总场次计算逻辑，找准等量关系列方程求解，同时需要注意结合实际问题的取值要求，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛。我们可以设参赛队伍共有x支，每支队伍需要和除自身外的(x-1)支队伍比赛，此时计算的总场次中每一场比赛都被重复计算了2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场比赛），因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场次为45场的条件，我们可以列出一元二次方程，求解后结合实际意义（队伍数量为正整数）舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
设本次比赛共有$x$支参赛队伍。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
整理方程得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为参赛队伍数量不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制场次计算
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的总场次计算逻辑，找准等量关系列方程求解，同时需要注意结合实际问题的取值要求，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
4. (★)在美术课上,老师介绍了一种优雅的矩形——黄金矩形.它的作法是:把矩形去掉一个以宽为边的正方形后,剩下的矩形与原矩形宽与长的比相同(即宽与长的比值约为0.618).现有一个黄金矩形纸张ABCD(AB为长,BC为宽),已知AB=2 dm,BC=x dm,则该黄金矩形的宽为 dm.(结果保留根号)
答案
解：根据题意，原矩形宽与长的比为$\frac{x}{2}$，去掉边长为$x$的正方形后，剩余矩形的宽为$(2-x)\ \mathrm{dm}$，长为$x\ \mathrm{dm}$，其宽与长的比为$\frac{2-x}{x}$。
由比值相等列方程：
$\frac{x}{2} = \frac{2-x}{x}$
整理得：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 20 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = -1\pm\sqrt{5}$
因为矩形的宽$x＞0$，舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
由比值相等列方程：
$\frac{x}{2} = \frac{2-x}{x}$
整理得：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 20 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = -1\pm\sqrt{5}$
因为矩形的宽$x＞0$，舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题时需紧扣黄金矩形的定义找等量关系：第一步先明确原矩形的长和宽，原矩形AB为长是2dm，BC为宽是x dm，因此原矩形宽与长的比为$\frac{x}{2}$；第二步分析去掉边长为x的正方形后剩余矩形的长和宽，剩余矩形的长等于原矩形的宽x dm，宽等于原矩形的长减去宽，即$(2-x)$dm，因此剩余矩形宽与长的比为$\frac{2-x}{x}$；第三步根据两个比值相等列方程，解一元二次方程后结合矩形边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到宽的长度。
【解析】
根据题意，原矩形宽与长的比为$\frac{x}{2}$，去掉边长为$x$的正方形后，剩余矩形的宽为$(2-x)\ \mathrm{dm}$，长为$x\ \mathrm{dm}$，其宽与长的比为$\frac{2-x}{x}$。
由两个比值相等可列方程：
$\frac{x}{2} = \frac{2-x}{x}$
交叉相乘整理得：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
该一元二次方程中$a=1$，$b=2$，$c=-4$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 20 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = -1\pm\sqrt{5}$
因为矩形的宽$x＞0$，所以舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金矩形的性质；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合黄金矩形的概念考查方程的实际应用，解题的核心是抓住题目给出的“剩余矩形与原矩形宽长比相同”这一关键条件列等量关系，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题时需紧扣黄金矩形的定义找等量关系：第一步先明确原矩形的长和宽，原矩形AB为长是2dm，BC为宽是x dm，因此原矩形宽与长的比为$\frac{x}{2}$；第二步分析去掉边长为x的正方形后剩余矩形的长和宽，剩余矩形的长等于原矩形的宽x dm，宽等于原矩形的长减去宽，即$(2-x)$dm，因此剩余矩形宽与长的比为$\frac{2-x}{x}$；第三步根据两个比值相等列方程，解一元二次方程后结合矩形边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到宽的长度。
【解析】
根据题意，原矩形宽与长的比为$\frac{x}{2}$，去掉边长为$x$的正方形后，剩余矩形的宽为$(2-x)\ \mathrm{dm}$，长为$x\ \mathrm{dm}$，其宽与长的比为$\frac{2-x}{x}$。
由两个比值相等可列方程：
$\frac{x}{2} = \frac{2-x}{x}$
交叉相乘整理得：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
该一元二次方程中$a=1$，$b=2$，$c=-4$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 20 ＞ 0$
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = -1\pm\sqrt{5}$
因为矩形的宽$x＞0$，所以舍去负根$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金矩形的性质；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合黄金矩形的概念考查方程的实际应用，解题的核心是抓住题目给出的“剩余矩形与原矩形宽长比相同”这一关键条件列等量关系，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
5. (★)某次男子篮球比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍共有
【 】
A.10支
B.11支
C.12支
D.8支
【 】
A.10支
B.11支
C.12支
D.8支
答案
C
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间只进行1场比赛。若设有x支队伍参赛，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛1场，此时计算的总场次中每场比赛被重复统计了2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场比赛），因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以根据题目给出的总场数66场，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$x$支。
根据单循环比赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=66$
去分母得：$x(x-1)=132$
整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -x -132=0$
因式分解得：$(x-12)(x+11)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=-11$
因为队伍数量不能为负数，所以舍去$x_2=-11$，即参加比赛的队伍共有12支。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
本题考查方程在实际场景中的应用，解题关键是正确理解单循环比赛的计数规则，列出对应的方程，同时要注意结合实际意义对解方程得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间只进行1场比赛。若设有x支队伍参赛，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛1场，此时计算的总场次中每场比赛被重复统计了2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场比赛），因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以根据题目给出的总场数66场，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$x$支。
根据单循环比赛总场数公式可得：
$\frac{x(x-1)}{2}=66$
去分母得：$x(x-1)=132$
整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -x -132=0$
因式分解得：$(x-12)(x+11)=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=-11$
因为队伍数量不能为负数，所以舍去$x_2=-11$，即参加比赛的队伍共有12支。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
本题考查方程在实际场景中的应用，解题关键是正确理解单循环比赛的计数规则，列出对应的方程，同时要注意结合实际意义对解方程得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
6. (★)初中毕业时,同学之间互送照片留作纪念.若某学习小组有$m$个学生互送照片共210张,则所列方程正确的是 【 】
A.$m(m+1)=210$
B.$m(m-1)=210$
C.$\dfrac{m(m+1)}{2}=210$
D.$\dfrac{m(m-1)}{2}=210$
A.$m(m+1)=210$
B.$m(m-1)=210$
C.$\dfrac{m(m+1)}{2}=210$
D.$\dfrac{m(m-1)}{2}=210$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确互送照片的规则：每个同学不需要给自己送照片，且你送给我和我送给你是2张不同的照片，不存在重复计数。第一步先计算单个学生送出的照片数量，第二步计算所有学生送出的总照片数，再结合总照片数为210张的条件列方程即可。
【解析】
已知学习小组共有$m$个学生：
1. 每个学生需要给除自己之外的其他$(m-1)$名同学各送1张照片，因此1名学生送出$(m-1)$张照片；
2. 互送照片时，甲送乙照片、乙送甲照片是两次独立的赠送行为，对应2张不同的照片，不需要除以2消除重复计数；
3. 因此$m$个学生送出的总照片数为$m(m-1)$张，结合总照片数为210张，可列方程：$m(m-1)=210$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，互送类计数问题
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分互送类问题和握手类计数问题的差异：互送类问题双方各有一次赠送行为，总数量不需要除以2；握手类问题双方握手仅算1次，总数量需要除以2，明确该差异即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确互送照片的规则：每个同学不需要给自己送照片，且你送给我和我送给你是2张不同的照片，不存在重复计数。第一步先计算单个学生送出的照片数量，第二步计算所有学生送出的总照片数，再结合总照片数为210张的条件列方程即可。
【解析】
已知学习小组共有$m$个学生：
1. 每个学生需要给除自己之外的其他$(m-1)$名同学各送1张照片，因此1名学生送出$(m-1)$张照片；
2. 互送照片时，甲送乙照片、乙送甲照片是两次独立的赠送行为，对应2张不同的照片，不需要除以2消除重复计数；
3. 因此$m$个学生送出的总照片数为$m(m-1)$张，结合总照片数为210张，可列方程：$m(m-1)=210$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，互送类计数问题
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分互送类问题和握手类计数问题的差异：互送类问题双方各有一次赠送行为，总数量不需要除以2；握手类问题双方握手仅算1次，总数量需要除以2，明确该差异即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. (★★)某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开通往返不同的航班，一共开通了20个航班，则这个航空公司共有飞机场个.
答案
解：设这个航空公司共有飞机场$ x $个。
根据题意列方程得：
$ x(x-1) = 20 $
整理得：
$ x^2 - x - 20 = 0 $
因式分解得：
$ (x-5)(x+4) = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -4 $
因为飞机场的数量不能为负数，所以$ x=-4 $不符合实际意义，舍去。
答：这个航空公司共有飞机场5个。
根据题意列方程得：
$ x(x-1) = 20 $
整理得：
$ x^2 - x - 20 = 0 $
因式分解得：
$ (x-5)(x+4) = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -4 $
因为飞机场的数量不能为负数，所以$ x=-4 $不符合实际意义，舍去。
答：这个航空公司共有飞机场5个。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要理解“每两个飞机场之间都开通往返不同航班”的含义：若共有$x$个飞机场，那么任意一个飞机场都可以和剩余$(x-1)$个飞机场开通不同的往返航班，因此总航班数为$x(x-1)$个。我们可以据此建立一元二次方程，求解后结合飞机场数量为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设这个航空公司共有飞机场$x$个。
根据题意列方程得：
$x(x-1) = 20$
整理得标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+4) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -4$
因为飞机场的数量不能为负数，所以$x=-4$不符合实际意义，舍去。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 实际问题的根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在生活场景中的基础应用，解题关键是准确理解往返航班的计数规则，正确列出等量关系，同时要注意结合实际意义对解出的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要理解“每两个飞机场之间都开通往返不同航班”的含义：若共有$x$个飞机场，那么任意一个飞机场都可以和剩余$(x-1)$个飞机场开通不同的往返航班，因此总航班数为$x(x-1)$个。我们可以据此建立一元二次方程，求解后结合飞机场数量为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设这个航空公司共有飞机场$x$个。
根据题意列方程得：
$x(x-1) = 20$
整理得标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x+4) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = -4$
因为飞机场的数量不能为负数，所以$x=-4$不符合实际意义，舍去。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 实际问题的根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在生活场景中的基础应用，解题关键是准确理解往返航班的计数规则，正确列出等量关系，同时要注意结合实际意义对解出的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
8. (★★)一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值.
答案
解：
根据题意，直线上$n$个点形成的线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，由此列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理得：
$n^2 - n - 90 = 0$
因式分解得：
$(n-10)(n+9)=0$
解得：
$n_1=10,\quad n_2=-9$
因为$n$表示点的个数，为正整数，$n=-9$不符合实际意义，舍去。
所以$n$的值为10。
根据题意，直线上$n$个点形成的线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，由此列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理得：
$n^2 - n - 90 = 0$
因式分解得：
$(n-10)(n+9)=0$
解得：
$n_1=10,\quad n_2=-9$
因为$n$表示点的个数，为正整数，$n=-9$不符合实际意义，舍去。
所以$n$的值为10。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆直线上n个点的线段计数规律：每个点可和其余(n-1)个点连接形成线段，而每条线段会被两个端点各计算1次，因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}$。接下来结合题目给出的总线段数为45的条件，列出对应的一元二次方程，求解方程后，根据n代表点的个数、必须为正整数的实际意义对根进行取舍，即可得到n的值。
【解析】
根据线段计数规律，直线上$n$个点形成的线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，结合题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理方程得：
$n^2 - n - 90 = 0$
对左侧因式分解得：
$(n-10)(n+9)=0$
解得：
$n_1=10,\quad n_2=-9$
由于$n$表示点的个数，应为正整数，$n=-9$不符合实际意义，故舍去。
所以$n$的值为10。
【答案】
$n=10$
【知识点】
线段计数规律、一元二次方程应用、根的合理性检验
【点评】
本题是几何计数与代数方程结合的基础题型，既考查对线段计数公式的掌握，也要求解完方程后具备结合实际场景验证根是否合理的意识，侧重基础知识应用和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆直线上n个点的线段计数规律：每个点可和其余(n-1)个点连接形成线段，而每条线段会被两个端点各计算1次，因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}$。接下来结合题目给出的总线段数为45的条件，列出对应的一元二次方程，求解方程后，根据n代表点的个数、必须为正整数的实际意义对根进行取舍，即可得到n的值。
【解析】
根据线段计数规律，直线上$n$个点形成的线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，结合题意列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=45$
整理方程得：
$n^2 - n - 90 = 0$
对左侧因式分解得：
$(n-10)(n+9)=0$
解得：
$n_1=10,\quad n_2=-9$
由于$n$表示点的个数，应为正整数，$n=-9$不符合实际意义，故舍去。
所以$n$的值为10。
【答案】
$n=10$
【知识点】
线段计数规律、一元二次方程应用、根的合理性检验
【点评】
本题是几何计数与代数方程结合的基础题型，既考查对线段计数公式的掌握，也要求解完方程后具备结合实际场景验证根是否合理的意识，侧重基础知识应用和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
