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15. (★★)(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：$125(1-x)^2 = 80$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合题意，舍去）。
(2)2024年甲种商品每件的进价为$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100 - m)$件，
根据题意得：$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$，
解得：$m ≥ 40$。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
根据题意得：$125(1-x)^2 = 80$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合题意，舍去）。
(2)2024年甲种商品每件的进价为$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100 - m)$件，
根据题意得：$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$，
解得：$m ≥ 40$。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，最少购进40件甲种商品。
解析
【分析】
(1)第一问属于平均下降率类问题，可利用变化率通用公式解题：初始值×(1-下降率)^间隔年数=最终值。已知乙商品2022年进价为初始值125元，2024年进价为最终值80元，间隔2年，设下降率为x代入公式列一元二次方程即可，求解后注意下降率必须小于1，舍去不符合实际意义的根。
(2)第二问是不等式的实际应用，首先需先算出2024年甲商品的进价：2022到2024年共2年，每年进价降25元，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，根据“总进价不超过7800元”的限制条件列不等式，解出m的取值范围后取最小正整数，即为最少购进甲商品的数量。
【解析】
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，2022年到2024年共经过2年，根据题意得：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$，下降率不能大于1，故$x_2=1.8$不符合题意，舍去。
(2)2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100 - m)$件，根据总资金不超过7800元得：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开移项得：$-5m ≤ -200$
解得：$m ≥ 40$，m为正整数，因此m的最小值为40。
【答案】
(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2)最少购进40件甲种商品。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
3. 一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规实际应用题，主要考查学生提取题干信息、建立数学模型的能力，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.7
(1)第一问属于平均下降率类问题，可利用变化率通用公式解题：初始值×(1-下降率)^间隔年数=最终值。已知乙商品2022年进价为初始值125元，2024年进价为最终值80元，间隔2年，设下降率为x代入公式列一元二次方程即可，求解后注意下降率必须小于1，舍去不符合实际意义的根。
(2)第二问是不等式的实际应用，首先需先算出2024年甲商品的进价：2022到2024年共2年，每年进价降25元，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，根据“总进价不超过7800元”的限制条件列不等式，解出m的取值范围后取最小正整数，即为最少购进甲商品的数量。
【解析】
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，2022年到2024年共经过2年，根据题意得：
$125(1-x)^2 = 80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$，下降率不能大于1，故$x_2=1.8$不符合题意，舍去。
(2)2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100 - m)$件，根据总资金不超过7800元得：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
展开移项得：$-5m ≤ -200$
解得：$m ≥ 40$，m为正整数，因此m的最小值为40。
【答案】
(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2)最少购进40件甲种商品。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
3. 一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规实际应用题，主要考查学生提取题干信息、建立数学模型的能力，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐月递增,3月份的销售量达到5.07万辆. 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)某汽车销售公司抢占先机,购进一批新能源汽车进行销售.该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车,经销一段时间后发现:当该款汽车售价定为25万元/辆时,平均每周售出8辆;每辆售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆. 若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元,为了推广新能源汽车,此次销售尽量让利于顾客,求下调后每辆汽车的售价.
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐月递增,3月份的销售量达到5.07万辆. 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)某汽车销售公司抢占先机,购进一批新能源汽车进行销售.该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车,经销一段时间后发现:当该款汽车售价定为25万元/辆时,平均每周售出8辆;每辆售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆. 若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元,为了推广新能源汽车,此次销售尽量让利于顾客,求下调后每辆汽车的售价.
答案
解：(1) 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得：
$3(1+x)^2 = 5.07$
方程两边同除以3，得：
$(1+x)^2 = 1.69$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.3$
解得 $x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去）。
(2) 设下调后每辆汽车的售价为$y$万元。
则每辆汽车的利润为$(y-15)$万元，每周的销售量为 $8 + \frac{25-y}{0.5} × 1 = (58-2y)$ 辆。
根据总利润=单辆利润×销售数量，得：
$(y-15)(58-2y) = 96$
整理得：
$y^2 -44y +483 = 0$
解得：
$y_1=21,\quad y_2=23$
∵ 要尽量让利于顾客，即售价尽可能低，
∴ 取$y=21$。
答：(1) 该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车的售价为21万元。
根据题意，得：
$3(1+x)^2 = 5.07$
方程两边同除以3，得：
$(1+x)^2 = 1.69$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.3$
解得 $x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去）。
(2) 设下调后每辆汽车的售价为$y$万元。
则每辆汽车的利润为$(y-15)$万元，每周的销售量为 $8 + \frac{25-y}{0.5} × 1 = (58-2y)$ 辆。
根据总利润=单辆利润×销售数量，得：
$(y-15)(58-2y) = 96$
整理得：
$y^2 -44y +483 = 0$
解得：
$y_1=21,\quad y_2=23$
∵ 要尽量让利于顾客，即售价尽可能低，
∴ 取$y=21$。
答：(1) 该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车的售价为21万元。
解析
【分析】
(1) 本题属于平均增长率问题，解题核心是使用增长率通用公式：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量。已知1月份销量为初始量3万辆，3月份为最终量5.07万辆，1月到3月共增长2次，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，要舍去不符合实际意义的根。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为“总销售利润=单辆利润×销售数量”。设下调后售价为y万元，先表示出单辆利润为(y-15)万元，再根据“每降低0.5万元多售出1辆”的规则，表示出对应销量，代入等量关系列方程，最后结合“尽量让利于顾客”的要求选择更低的售价即可。
【解析】
(1) 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程得：
$3(1+x)^2 = 5.07$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2 = 1.69$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.3$
解得 $x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去）。
(2) 设下调后每辆汽车的售价为$y$万元。
则每辆汽车的利润为$(y-15)$万元，
每周的销售量为 $8 + \frac{25-y}{0.5} × 1 = (58-2y)$ 辆。
根据总利润=单辆利润×销售数量，列方程得：
$(y-15)(58-2y) = 96$
整理得：
$y^2 -44y +483 = 0$
解得：
$y_1=21,\quad y_2=23$
∵ 要尽量让利于顾客，即售价尽可能低，
∴ 取$y=21$。
答：(1) 该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车的售价为21万元。
【答案】
(1) 月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车售价为21万元
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合新能源汽车的热点背景考查一元二次方程的实际应用，属于常见的应用题题型，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对求解得到的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于平均增长率问题，解题核心是使用增长率通用公式：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量。已知1月份销量为初始量3万辆，3月份为最终量5.07万辆，1月到3月共增长2次，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，要舍去不符合实际意义的根。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为“总销售利润=单辆利润×销售数量”。设下调后售价为y万元，先表示出单辆利润为(y-15)万元，再根据“每降低0.5万元多售出1辆”的规则，表示出对应销量，代入等量关系列方程，最后结合“尽量让利于顾客”的要求选择更低的售价即可。
【解析】
(1) 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程得：
$3(1+x)^2 = 5.07$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2 = 1.69$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.3$
解得 $x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去）。
(2) 设下调后每辆汽车的售价为$y$万元。
则每辆汽车的利润为$(y-15)$万元，
每周的销售量为 $8 + \frac{25-y}{0.5} × 1 = (58-2y)$ 辆。
根据总利润=单辆利润×销售数量，列方程得：
$(y-15)(58-2y) = 96$
整理得：
$y^2 -44y +483 = 0$
解得：
$y_1=21,\quad y_2=23$
∵ 要尽量让利于顾客，即售价尽可能低，
∴ 取$y=21$。
答：(1) 该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车的售价为21万元。
【答案】
(1) 月平均增长率为30%；(2) 下调后每辆汽车售价为21万元
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合新能源汽车的热点背景考查一元二次方程的实际应用，属于常见的应用题题型，解题关键是找准题目中的等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对求解得到的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
