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4. (★)用配方法解方程$x^2 -1=6x$，配方后的方程是
【 】
A.$(x-3)^2=9$
B.$(x-3)^2=1$
C.$(x-3)^2=10$
D.$(x+3)^2=9$
【 】
A.$(x-3)^2=9$
B.$(x-3)^2=1$
C.$(x-3)^2=10$
D.$(x+3)^2=9$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法的固定步骤推导：首先回忆配方法的核心是将方程转化为“完全平方式=常数”的形式，第一步先对原方程移项，把含x的项统一放到等号左侧，常数项放到等号右侧；本题二次项系数已经为1，第二步计算一次项系数一半的平方，在等号两边同时加上这个数，即可将左侧配成完全平方式，得到配方后的方程，再对照选项选择即可。
【解析】
第一步：移项，将原方程$x^2 -1=6x$中的一次项移到左边，常数项移到右边，注意移项要变号，得：
$x^2 - 6x = 1$
第二步：配方，一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在等号左右两边同时加上9：
$x^2 - 6x + 9 = 1 + 9$
第三步：根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，左边可整理为$(x-3)^2$，右边计算得$10$，因此配方后的方程为：
$(x-3)^2=10$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题时要注意移项符号不要出错，配方时务必保证等号两边同时加上相同的数，熟练掌握配方法步骤就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需按照配方法的固定步骤推导：首先回忆配方法的核心是将方程转化为“完全平方式=常数”的形式，第一步先对原方程移项，把含x的项统一放到等号左侧，常数项放到等号右侧；本题二次项系数已经为1，第二步计算一次项系数一半的平方，在等号两边同时加上这个数，即可将左侧配成完全平方式，得到配方后的方程，再对照选项选择即可。
【解析】
第一步：移项，将原方程$x^2 -1=6x$中的一次项移到左边，常数项移到右边，注意移项要变号，得：
$x^2 - 6x = 1$
第二步：配方，一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在等号左右两边同时加上9：
$x^2 - 6x + 9 = 1 + 9$
第三步：根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，左边可整理为$(x-3)^2$，右边计算得$10$，因此配方后的方程为：
$(x-3)^2=10$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题时要注意移项符号不要出错，配方时务必保证等号两边同时加上相同的数，熟练掌握配方法步骤就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. (★)下列关于x的一元二次方程,有两个不相等的实数根的是
【 】
A.$x^2+1=0$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$x^2+2x+3=0$
D.$x^2+2x-3=0$
【 】
A.$x^2+1=0$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$x^2+2x+3=0$
D.$x^2+2x-3=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需依据根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应无实数根。解题时先分别提取每个选项方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$，最后筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+2x+3=0$中，$a=1,b=2,c=3$，$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+2x-3=0$中，$a=1,b=2,c=-3$，$\Delta=2^2-4×1×(-3)=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，只要熟记判别式的判定规则，准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需依据根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应无实数根。解题时先分别提取每个选项方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$，最后筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+2x+3=0$中，$a=1,b=2,c=3$，$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+2x-3=0$中，$a=1,b=2,c=-3$，$\Delta=2^2-4×1×(-3)=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，只要熟记判别式的判定规则，准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
6. (★★)(2025·苏州)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需计算参数即可快速求出另一个根，计算更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，
解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1-m=0$，
计算得$3-m=0$，解得$m=3$，
则原方程为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法均符合课标要求，其中运用韦达定理解题无需计算参数，可有效提升解题效率，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需计算参数即可快速求出另一个根，计算更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，
解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1-m=0$，
计算得$3-m=0$，解得$m=3$，
则原方程为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法均符合课标要求，其中运用韦达定理解题无需计算参数，可有效提升解题效率，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
7.(★★)(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m+1)(n+1)=$.
答案
$\boldsymbol{2027}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先，所求的代数式是关于方程两根的乘积形式，我们可以先利用多项式乘多项式的法则将其展开，整理为含有两根之和、两根之积的形式；其次，根据给出的一元二次方程，结合根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和与两根之积；最后将求出的值代入整理后的代数式，计算得出结果即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，根据根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
已知$m$、$n$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，其中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，因此：
$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
先展开所求代数式：
$(m+1)(n+1)=mn+m+n+1$
将$m+n=2025$、$mn=1$代入上式计算：
原式$=1+2025+1=2027$
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，通过整体代入的方法计算，避免求解方程的根，有效减少计算量。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先，所求的代数式是关于方程两根的乘积形式，我们可以先利用多项式乘多项式的法则将其展开，整理为含有两根之和、两根之积的形式；其次，根据给出的一元二次方程，结合根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之和与两根之积；最后将求出的值代入整理后的代数式，计算得出结果即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$m$、$n$，根据根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
已知$m$、$n$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，其中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，因此：
$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
先展开所求代数式：
$(m+1)(n+1)=mn+m+n+1$
将$m+n=2025$、$mn=1$代入上式计算：
原式$=1+2025+1=2027$
【答案】
$\boldsymbol{2027}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，通过整体代入的方法计算，避免求解方程的根，有效减少计算量。
【难度系数】
0.85
8.(★)(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为【 】
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
B
解析
【分析】
这是一道典型的平均增长率应用题，解题思路如下：第一步，牢记平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数 = 最终量；第二步，结合题目给出的2022年初始游客量、2024年最终游客量，确定增长年数为2年，设未知数年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25，得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
分别求解：
当$ 1+x = \frac{6}{5} $时，$ x = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $
当$ 1+x = -\frac{6}{5} $时，$ x = -2.2 $，年平均增长率不能为负数，不符合实际，舍去。
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是增长率类基础应用题，重点考查对平均增长率等量关系的掌握，求解方程后结合实际情境对根进行取舍是这类问题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的平均增长率应用题，解题思路如下：第一步，牢记平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数 = 最终量；第二步，结合题目给出的2022年初始游客量、2024年最终游客量，确定增长年数为2年，设未知数年平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25，得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
分别求解：
当$ 1+x = \frac{6}{5} $时，$ x = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $
当$ 1+x = -\frac{6}{5} $时，$ x = -2.2 $，年平均增长率不能为负数，不符合实际，舍去。
因此该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是增长率类基础应用题，重点考查对平均增长率等量关系的掌握，求解方程后结合实际情境对根进行取舍是这类问题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
9. (★)某区将开展红色研学知识抢答赛，赛制规定:每两个参赛学校代表队之间都要进行一场比赛，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个学校代表队参赛？若设应邀请x个学校代表队参赛，可列出的方程为 【 】
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=28$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
C.$x(x+1)=28$
D.$x(x-1)=28$
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=28$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
C.$x(x+1)=28$
D.$x(x-1)=28$
答案
B
解析
【分析】
解这道题首先要先算出总的比赛场数：赛程安排7天，每天4场比赛，总场数为$7×4=28$场。其次要明确单循环赛制的场数计算逻辑：若有$x$个代表队参赛，每个代表队需要和除自身外的其余$(x-1)$个代表队各赛1场，此时统计的场次中，每两队之间的比赛被重复计算了1次（比如A对B和B对A是同一场比赛），因此实际总场数需要除以2，即总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。最后令这个式子等于总场数28，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：计算比赛总场数：$7×4=28$场。
第二步：设应邀请$x$个学校代表队参赛，每两个队之间进行一场比赛属于单循环赛制，每个队要和其余$(x-1)$个队各赛1场，由于每场比赛会被两个参赛队各统计1次，存在重复计数，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
第三步：根据总场数为28，列方程得$\frac{1}{2}x(x-1)=28$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环场数计算 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，核心是理解单循环赛制的计数规则，解题时要注意避免遗漏重复计数、忘记除以2的错误，是比赛类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要先算出总的比赛场数：赛程安排7天，每天4场比赛，总场数为$7×4=28$场。其次要明确单循环赛制的场数计算逻辑：若有$x$个代表队参赛，每个代表队需要和除自身外的其余$(x-1)$个代表队各赛1场，此时统计的场次中，每两队之间的比赛被重复计算了1次（比如A对B和B对A是同一场比赛），因此实际总场数需要除以2，即总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。最后令这个式子等于总场数28，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：计算比赛总场数：$7×4=28$场。
第二步：设应邀请$x$个学校代表队参赛，每两个队之间进行一场比赛属于单循环赛制，每个队要和其余$(x-1)$个队各赛1场，由于每场比赛会被两个参赛队各统计1次，存在重复计数，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
第三步：根据总场数为28，列方程得$\frac{1}{2}x(x-1)=28$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环场数计算 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，核心是理解单循环赛制的计数规则，解题时要注意避免遗漏重复计数、忘记除以2的错误，是比赛类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.8
10. (★★)一个三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程$x^2 -16x +60=0$的一个实数根,则该三角形的面积是.
答案
解：
解方程$x^2 -16x +60=0$，
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
分两种情况讨论：
1. 当第三边长为6时，三角形三边长为6，6，8，为等腰三角形。
作长度为8的边上的高，由勾股定理得该边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{8}{2})^2}=2\sqrt{5}$，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 8 × 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
2. 当第三边长为10时，三角形三边长为6，8，10。
因为$6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，该三角形为直角三角形，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
综上，该三角形的面积是$24$或$8\sqrt{5}$。
解方程$x^2 -16x +60=0$，
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
分两种情况讨论：
1. 当第三边长为6时，三角形三边长为6，6，8，为等腰三角形。
作长度为8的边上的高，由勾股定理得该边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{8}{2})^2}=2\sqrt{5}$，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 8 × 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
2. 当第三边长为10时，三角形三边长为6，8，10。
因为$6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，该三角形为直角三角形，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
综上，该三角形的面积是$24$或$8\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能长度；接下来要验证这两个长度是否满足三角形三边关系，排除不符合的取值；最后针对每一种符合条件的第三边长度，判断三角形的类型，选择对应方法计算面积，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
解方程$x^2 -16x +60=0$，
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
经检验，两个根均满足三角形三边关系，分两种情况讨论：
1. 当第三边长为6时，三角形三边长为6，6，8，为等腰三角形。
作长度为8的边上的高，由勾股定理得该边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{8}{2})^2}=2\sqrt{5}$，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 8 × 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
2. 当第三边长为10时，三角形三边长为6，8，10。
因为$6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，由勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，直角边长为6和8，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
综上，该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【答案】
$24$或$8\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解、勾股定理及逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，核心考查分类讨论思想，解题时要先验证方程的根是否符合三角形三边关系，再分情况计算，避免出现漏解、多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能长度；接下来要验证这两个长度是否满足三角形三边关系，排除不符合的取值；最后针对每一种符合条件的第三边长度，判断三角形的类型，选择对应方法计算面积，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
解方程$x^2 -16x +60=0$，
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
经检验，两个根均满足三角形三边关系，分两种情况讨论：
1. 当第三边长为6时，三角形三边长为6，6，8，为等腰三角形。
作长度为8的边上的高，由勾股定理得该边上的高为$\sqrt{6^2 - (\frac{8}{2})^2}=2\sqrt{5}$，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 8 × 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
2. 当第三边长为10时，三角形三边长为6，8，10。
因为$6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，由勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，直角边长为6和8，
此时三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
综上，该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【答案】
$24$或$8\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解、勾股定理及逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，核心考查分类讨论思想，解题时要先验证方程的根是否符合三角形三边关系，再分情况计算，避免出现漏解、多解的错误。
【难度系数】
0.7
11.(★★)如图,邻边不相等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长),另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m²,则AB的长度是 m.
答案
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(6-2x) m。
根据题意列方程得：
$x(6-2x)=4$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
当$x=2$时，$BC=6-2×2=2$，此时矩形邻边相等为正方形，不符合题意，舍去；
当$x=1$时，$BC=6-2×1=4$，满足邻边不相等的条件。
所以AB的长度是$\boldsymbol{1}$ m。
根据题意列方程得：
$x(6-2x)=4$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
当$x=2$时，$BC=6-2×2=2$，此时矩形邻边相等为正方形，不符合题意，舍去；
当$x=1$时，$BC=6-2×1=4$，满足邻边不相等的条件。
所以AB的长度是$\boldsymbol{1}$ m。
解析
【分析】
解题时首先设AB的长度为x m，由于AD边靠围墙，栅栏只围AB、BC、CD三边，且AB=CD，因此可推出BC的长度为(6-2x) m；再根据矩形面积=长×宽的公式，结合已知面积为4 m²列出一元二次方程；求解方程后，注意题目给出“邻边不相等”的限制条件，对得到的两个根进行检验，舍去不符合题意的根，即可得到AB的长度。
【解析】
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(6-2x) m。
根据矩形面积公式列方程得：
$x(6-2x)=4$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
当$x=2$时，$BC=6-2×2=2$，此时矩形邻边相等，为正方形，不符合“邻边不相等”的题意，舍去；
当$x=1$时，$BC=6-2×1=4$，满足邻边不相等的条件。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题的关键是结合图形正确用未知数表示出矩形的邻边长度，同时要注意审题，根据题目给出的限制条件对方程的根进行取舍，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先设AB的长度为x m，由于AD边靠围墙，栅栏只围AB、BC、CD三边，且AB=CD，因此可推出BC的长度为(6-2x) m；再根据矩形面积=长×宽的公式，结合已知面积为4 m²列出一元二次方程；求解方程后，注意题目给出“邻边不相等”的限制条件，对得到的两个根进行检验，舍去不符合题意的根，即可得到AB的长度。
【解析】
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(6-2x) m。
根据矩形面积公式列方程得：
$x(6-2x)=4$
整理得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
当$x=2$时，$BC=6-2×2=2$，此时矩形邻边相等，为正方形，不符合“邻边不相等”的题意，舍去；
当$x=1$时，$BC=6-2×1=4$，满足邻边不相等的条件。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题的关键是结合图形正确用未知数表示出矩形的邻边长度，同时要注意审题，根据题目给出的限制条件对方程的根进行取舍，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
12. (★★)(2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
答案
解：设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
当$ x=8 $时，$ 20 - 4x = -12 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽度为$ 0.5 \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
当$ x=8 $时，$ 20 - 4x = -12 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽度为$ 0.5 \, \mathrm{m} $。
解析
【分析】
本题是几何场景下的一元二次方程应用题，可通过平移空白地块简化计算：首先观察小路分布，9个地块为3行3列布局，竖直走向的小路共4条（左右边界各1条、中间分隔列的2条），水平走向的小路共4条（上下边界各1条、中间分隔行的2条）。将所有空白地块平移拼接后会得到一个新矩形，新矩形的长为原长减去4倍小路宽，宽为原宽减去4倍小路宽，新矩形的面积等于9个地块的总面积，据此列方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，拼接后空白区域的长为$(20-4x)\mathrm{m}$，宽为$(14-4x)\mathrm{m}$，总面积为$9×24\mathrm{m}^2$，列方程得：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
展开整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
化简得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
检验：当$ x=8 $时，$ 20 - 4x = -12 ＜ 0 $，长度不能为负，不符合实际意义，故舍去$x_2=8$。
【答案】
$\boldsymbol{0.5 \, \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题解题核心是通过平移法简化空白区域的面积计算，避免单独计算零散地块的尺寸，求解后注意结合实际场景排除不符合逻辑的增根，是方程与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
本题是几何场景下的一元二次方程应用题，可通过平移空白地块简化计算：首先观察小路分布，9个地块为3行3列布局，竖直走向的小路共4条（左右边界各1条、中间分隔列的2条），水平走向的小路共4条（上下边界各1条、中间分隔行的2条）。将所有空白地块平移拼接后会得到一个新矩形，新矩形的长为原长减去4倍小路宽，宽为原宽减去4倍小路宽，新矩形的面积等于9个地块的总面积，据此列方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，拼接后空白区域的长为$(20-4x)\mathrm{m}$，宽为$(14-4x)\mathrm{m}$，总面积为$9×24\mathrm{m}^2$，列方程得：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
展开整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
化简得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
检验：当$ x=8 $时，$ 20 - 4x = -12 ＜ 0 $，长度不能为负，不符合实际意义，故舍去$x_2=8$。
【答案】
$\boldsymbol{0.5 \, \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题解题核心是通过平移法简化空白区域的面积计算，避免单独计算零散地块的尺寸，求解后注意结合实际场景排除不符合逻辑的增根，是方程与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
