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1. (★)对于某些实际问题,如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画,那么就可以利用二次函数的和对其进行研究. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,其中一些问题可以归结为求二次函数的或.
答案
解：依次填入：图像、性质、最大值、最小值。
解析
【分析】
这道题考查二次函数实际应用的基础概念，解题时可结合课本所学二次函数的相关常识思考：首先，我们研究函数的常规思路都是结合它的图像和对应的性质展开分析，二次函数也不例外；其次，日常遇到的材料最省、时间最少、效率最高这类求最优结果的问题，本质是求函数的最值，对应二次函数就是最大值或最小值，按这个逻辑就能填出所有空。
【解析】
首先，研究二次函数的两大基础依托是它的图像和性质，因此前两个空依次填图像、性质；
其次，求材料最省、时间最少、效率最高等最优类问题，本质是求函数的最值，对应二次函数即为最大值或最小值，因此后两个空依次填最大值、最小值。
【答案】
图像、性质、最大值、最小值
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，考察对二次函数应用相关基础知识点的掌握，是后续解决复杂二次函数实际应用题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数实际应用的基础概念，解题时可结合课本所学二次函数的相关常识思考：首先，我们研究函数的常规思路都是结合它的图像和对应的性质展开分析，二次函数也不例外；其次，日常遇到的材料最省、时间最少、效率最高这类求最优结果的问题，本质是求函数的最值，对应二次函数就是最大值或最小值，按这个逻辑就能填出所有空。
【解析】
首先，研究二次函数的两大基础依托是它的图像和性质，因此前两个空依次填图像、性质；
其次，求材料最省、时间最少、效率最高等最优类问题，本质是求函数的最值，对应二次函数即为最大值或最小值，因此后两个空依次填最大值、最小值。
【答案】
图像、性质、最大值、最小值
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记题，考察对二次函数应用相关基础知识点的掌握，是后续解决复杂二次函数实际应用题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
2. (★)对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=$时，有最小(大)值.
答案
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=-\frac{b}{2a}$时，有最小(大)值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是回忆二次函数的图像与性质：二次函数的图像是抛物线，其最大（小）值一定出现在顶点位置。首先需要确定顶点的横坐标（即对称轴对应的x值），再将该x值代入函数解析式，即可求出对应的最大（小）值。
【解析】
我们可以通过配方法对二次函数一般式变形推导：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
由于$(x+\frac{b}{2a})^2≥0$：
当$a＞0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，当$(x+\frac{b}{2a})^2=0$即$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
当$a＜0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≤0$，当$(x+\frac{b}{2a})^2=0$即$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
因此无论函数有最大值还是最小值，对应的自变量取值均为$-\frac{b}{2a}$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$-\dfrac{b}{2a}$；$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数模块的基础概念题，主要考查对二次函数最值相关公式的理解与识记，是后续解决二次函数实际应用、最值综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是回忆二次函数的图像与性质：二次函数的图像是抛物线，其最大（小）值一定出现在顶点位置。首先需要确定顶点的横坐标（即对称轴对应的x值），再将该x值代入函数解析式，即可求出对应的最大（小）值。
【解析】
我们可以通过配方法对二次函数一般式变形推导：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
由于$(x+\frac{b}{2a})^2≥0$：
当$a＞0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，当$(x+\frac{b}{2a})^2=0$即$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
当$a＜0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≤0$，当$(x+\frac{b}{2a})^2=0$即$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
因此无论函数有最大值还是最小值，对应的自变量取值均为$-\frac{b}{2a}$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$-\dfrac{b}{2a}$；$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数模块的基础概念题，主要考查对二次函数最值相关公式的理解与识记，是后续解决二次函数实际应用、最值综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. (★)一种礼炮的升空高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与飞行时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数解析式是$h=-\dfrac{3}{4}t^2 +12t -21$. 若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则这种礼炮$\mathrm{s}$后引爆,礼炮升空的最大高度是$\mathrm{m}$.
答案
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{27}$
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，礼炮升空到最高点引爆，即求二次函数的顶点坐标。已知二次函数解析式的二次项系数$a=-\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，顶点即为最高点，顶点的横坐标对应引爆时间，纵坐标对应升空的最大高度，可通过顶点坐标公式或配方法求解。
【解析】
对于二次函数$h=-\dfrac{3}{4}t^2 +12t -21$，其中$a=-\dfrac{3}{4}$，$b=12$，$c=-21$。
1. 求引爆时间（顶点横坐标）：
根据顶点横坐标公式$t=-\dfrac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\dfrac{12}{2×(-\dfrac{3}{4})}=-\dfrac{12}{-\dfrac{3}{2}}=8(\mathrm{s})$
2. 求最大高度（顶点纵坐标）：
将$t=8$代入函数解析式：
$h=-\dfrac{3}{4}×8^2 +12×8 -21=-\dfrac{3}{4}×64 +96 -21=-48+96-21=27(\mathrm{m})$
也可通过配方法将函数化为顶点式$h=-\frac{3}{4}(t-8)^2+27$，直接得到顶点坐标为$(8,27)$，结果一致。
【答案】
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{27}$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数顶点坐标
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，核心是将求最高点的实际问题转化为求二次函数顶点坐标的数学问题，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中的应用，礼炮升空到最高点引爆，即求二次函数的顶点坐标。已知二次函数解析式的二次项系数$a=-\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，顶点即为最高点，顶点的横坐标对应引爆时间，纵坐标对应升空的最大高度，可通过顶点坐标公式或配方法求解。
【解析】
对于二次函数$h=-\dfrac{3}{4}t^2 +12t -21$，其中$a=-\dfrac{3}{4}$，$b=12$，$c=-21$。
1. 求引爆时间（顶点横坐标）：
根据顶点横坐标公式$t=-\dfrac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\dfrac{12}{2×(-\dfrac{3}{4})}=-\dfrac{12}{-\dfrac{3}{2}}=8(\mathrm{s})$
2. 求最大高度（顶点纵坐标）：
将$t=8$代入函数解析式：
$h=-\dfrac{3}{4}×8^2 +12×8 -21=-\dfrac{3}{4}×64 +96 -21=-48+96-21=27(\mathrm{m})$
也可通过配方法将函数化为顶点式$h=-\frac{3}{4}(t-8)^2+27$，直接得到顶点坐标为$(8,27)$，结果一致。
【答案】
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{27}$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数顶点坐标
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，核心是将求最高点的实际问题转化为求二次函数顶点坐标的数学问题，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. (★)已知一个直角三角形的两直角边长度之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是$ cm^2.$
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
要求直角三角形面积的最大值，我们可以先设其中一条直角边的长度为x cm，根据两直角边之和为20 cm，就能用x表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式写出面积关于x的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可求出面积的最大值，注意边长为正数，自变量x要符合实际取值范围。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20 - x)$ cm，其中$0 ＜ x ＜ 20$。
根据直角三角形面积公式可得面积S为：
$S = \frac{1}{2}x(20 - x)$
整理得：
$S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$
该函数是二次函数，且二次项系数$a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50$
即这个直角三角形面积的最大值为$50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
直角三角形面积计算，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是通过设未知数建立面积的函数关系式，再结合二次函数的性质求解，掌握二次函数最值的求解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形面积的最大值，我们可以先设其中一条直角边的长度为x cm，根据两直角边之和为20 cm，就能用x表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式写出面积关于x的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可求出面积的最大值，注意边长为正数，自变量x要符合实际取值范围。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$(20 - x)$ cm，其中$0 ＜ x ＜ 20$。
根据直角三角形面积公式可得面积S为：
$S = \frac{1}{2}x(20 - x)$
整理得：
$S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$
该函数是二次函数，且二次项系数$a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50$
即这个直角三角形面积的最大值为$50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
直角三角形面积计算，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是通过设未知数建立面积的函数关系式，再结合二次函数的性质求解，掌握二次函数最值的求解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. (★)如图,利用一面墙,用40 m长的篱笆围成一块矩形场地,如果墙长为25 m,那么围成矩形场地的最大面积是. 
答案
解：设垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，矩形场地的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，则平行于墙的一边长为$ (40-2x) \, \mathrm{m} $。
由题意得自变量满足：
$\begin{cases}40-2x ＞ 0 \\40-2x ≤ 25\end{cases}$
解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
面积表达式整理为：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
∵ 二次项系数$ -2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，且顶点横坐标$ x=10 $在取值范围$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $内，
∴ 当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，此时平行于墙的边长为$ 40-2×10=20 \, \mathrm{m} ＜ 25 \, \mathrm{m} $，符合墙长限制，最大面积为$ 200 \, \mathrm{m}^2 $。
$\boxed{200\ \mathrm{m}^2}$
由题意得自变量满足：
$\begin{cases}40-2x ＞ 0 \\40-2x ≤ 25\end{cases}$
解得$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $。
面积表达式整理为：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x = -2(x-10)^2 + 200$
∵ 二次项系数$ -2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，且顶点横坐标$ x=10 $在取值范围$ 7.5 ≤ x ＜ 20 $内，
∴ 当$ x=10 $时，$ S $取得最大值，此时平行于墙的边长为$ 40-2×10=20 \, \mathrm{m} ＜ 25 \, \mathrm{m} $，符合墙长限制，最大面积为$ 200 \, \mathrm{m}^2 $。
$\boxed{200\ \mathrm{m}^2}$
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际场景下的最大面积问题，解题思路可分为三步：第一步，设定变量，根据篱笆总长度表示出矩形垂直于墙、平行于墙的两条边长；第二步，结合墙长的实际限制，列出不等式组，求出自变量的取值范围；第三步，根据矩形面积公式列出二次函数表达式，将其转化为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，确定取最大值时的自变量取值，最终算出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的一边长为$x \, \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则平行于墙的一边长为$(40-2x) \, \mathrm{m}$。
根据实际限制可得不等式组：
$\begin{cases}40-2x ＞ 0 \\40-2x ≤ 25\end{cases}$
解得$7.5 ≤ x ＜ 20$。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
将函数化为顶点式：$S = -2(x-10)^2 + 200$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7.5 ≤ x ＜ 20$的取值范围内，
∴当$x=10$时，$S$取得最大值，此时平行于墙的边长为$40-2×10=20 \, \mathrm{m}＜25 \, \mathrm{m}$，符合墙长限制，最大面积为$200 \, \mathrm{m}^2$。
【答案】
$\boxed{200\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值求解、自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题型，解题核心是要结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值，避免忽略实际约束得出不符合要求的结果。
【难度系数】
0.75
本题是利用二次函数求解实际场景下的最大面积问题，解题思路可分为三步：第一步，设定变量，根据篱笆总长度表示出矩形垂直于墙、平行于墙的两条边长；第二步，结合墙长的实际限制，列出不等式组，求出自变量的取值范围；第三步，根据矩形面积公式列出二次函数表达式，将其转化为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，确定取最大值时的自变量取值，最终算出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的一边长为$x \, \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S \, \mathrm{m}^2$，则平行于墙的一边长为$(40-2x) \, \mathrm{m}$。
根据实际限制可得不等式组：
$\begin{cases}40-2x ＞ 0 \\40-2x ≤ 25\end{cases}$
解得$7.5 ≤ x ＜ 20$。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
将函数化为顶点式：$S = -2(x-10)^2 + 200$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7.5 ≤ x ＜ 20$的取值范围内，
∴当$x=10$时，$S$取得最大值，此时平行于墙的边长为$40-2×10=20 \, \mathrm{m}＜25 \, \mathrm{m}$，符合墙长限制，最大面积为$200 \, \mathrm{m}^2$。
【答案】
$\boxed{200\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值求解、自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题型，解题核心是要结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值，避免忽略实际约束得出不符合要求的结果。
【难度系数】
0.75
6. (★)已知某实心球运动的高度$y$(单位：m)与水平距离$x$(单位：m)之间的函数解析式是$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$，则此实心球在运动过程中距离地面的最大高度为 m.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
本题要求实心球运动的最大高度，实质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为负，函数图象开口向下，因此顶点的纵坐标就是函数的最大值，也就是实心球距离地面的最大高度，我们可以通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式计算该最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2 - 8x) + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}[(x-4)^2 - 16] + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + \frac{4}{3} + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
因为$-\frac{1}{12}＜0$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为3。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$中，$a=-\frac{1}{12}$，$b=\frac{2}{3}$，$c=\frac{5}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-\frac{1}{12})×\frac{5}{3} - (\frac{2}{3})^2}{4×(-\frac{1}{12})}\\&=\frac{-\frac{5}{9} - \frac{4}{9}}{-\frac{1}{3}}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值计算
【点评】
本题属于二次函数在实际问题中的基础应用，解题核心是将实际的最大高度转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法或顶点公式求二次函数最值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求实心球运动的最大高度，实质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为负，函数图象开口向下，因此顶点的纵坐标就是函数的最大值，也就是实心球距离地面的最大高度，我们可以通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式计算该最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x^2 - 8x) + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}[(x-4)^2 - 16] + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + \frac{4}{3} + \frac{5}{3}\\&=-\frac{1}{12}(x-4)^2 + 3\end{aligned}$
因为$-\frac{1}{12}＜0$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为3。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$中，$a=-\frac{1}{12}$，$b=\frac{2}{3}$，$c=\frac{5}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-\frac{1}{12})×\frac{5}{3} - (\frac{2}{3})^2}{4×(-\frac{1}{12})}\\&=\frac{-\frac{5}{9} - \frac{4}{9}}{-\frac{1}{3}}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值计算
【点评】
本题属于二次函数在实际问题中的基础应用，解题核心是将实际的最大高度转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法或顶点公式求二次函数最值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. (★)高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离$s$(单位:m)与时间$t$(单位:s)的函数解析式为$s=30t-5t^2$,遇到紧急情况时,司机急刹车,则汽车最多要滑行m,才能停下来.
答案
解：将函数解析式整理为$s=-5t^2+30t$，
其中$a=-5＜0$，因此$s$存在最大值，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$时，
$s$取得最大值：
$s_{\mathrm{max}}=30×3 -5×3^2=45$
即汽车最多要滑行$\boldsymbol{45}$m，才能停下来。
其中$a=-5＜0$，因此$s$存在最大值，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$时，
$s$取得最大值：
$s_{\mathrm{max}}=30×3 -5×3^2=45$
即汽车最多要滑行$\boldsymbol{45}$m，才能停下来。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：汽车急刹车后滑行距离会逐渐增加，直到速度为0时停下，此时滑行距离达到最大值，因此本题本质是求二次函数$s=30t-5t^2$的最大值。该函数是开口向下的二次函数，顶点处的函数值就是最大值，我们可以先通过二次函数顶点横坐标公式求出对应时间t，再代入解析式计算最大滑行距离即可。
【解析】
将函数解析式整理为标准二次函数形式：$s=-5t^2+30t$，
其中二次项系数$a=-5＜0$，因此$s$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式，当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$时，$s$取得最大值，
将$t=3$代入解析式计算最大值：
$s_{\mathrm{max}}=30×3 -5×3^2=90-45=45$
【答案】
45
【知识点】
二次函数的最值计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题，解题关键是将实际问题中“汽车最多滑行的距离”转化为二次函数的最大值问题，熟练掌握二次函数的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确：汽车急刹车后滑行距离会逐渐增加，直到速度为0时停下，此时滑行距离达到最大值，因此本题本质是求二次函数$s=30t-5t^2$的最大值。该函数是开口向下的二次函数，顶点处的函数值就是最大值，我们可以先通过二次函数顶点横坐标公式求出对应时间t，再代入解析式计算最大滑行距离即可。
【解析】
将函数解析式整理为标准二次函数形式：$s=-5t^2+30t$，
其中二次项系数$a=-5＜0$，因此$s$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式，当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$时，$s$取得最大值，
将$t=3$代入解析式计算最大值：
$s_{\mathrm{max}}=30×3 -5×3^2=90-45=45$
【答案】
45
【知识点】
二次函数的最值计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题，解题关键是将实际问题中“汽车最多滑行的距离”转化为二次函数的最大值问题，熟练掌握二次函数的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8. (★★)如图,正方形菜圃ABCD的边长为8 m,在它内部4个全等的直角三角形部分(阴影部分)种植青菜,剩余的四边形EFGH种植南瓜.设AE的长为x(单位:m),四边形EFGH的面积为y(单位:m²).
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 正方形ABCD的面积为$8×8=64\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，4个全等直角三角形的两条直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$(8-x)\ \mathrm{m}$，
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x(8-x)\ \mathrm{m}^2$，
4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x(8-x)=2x(8-x)\ \mathrm{m}^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y&=64 - 2x(8-x)\\&=2x^2 -16x +64\end{aligned}$
自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$。
(2) 存在最小值。
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=2x^2 -16x +64\\&=2(x-4)^2 +32\end{aligned}$
因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜8$，
所以当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为32。
即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$。
(1) 正方形ABCD的面积为$8×8=64\ \mathrm{m}^2$。
由题意得，4个全等直角三角形的两条直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$(8-x)\ \mathrm{m}$，
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x(8-x)\ \mathrm{m}^2$，
4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x(8-x)=2x(8-x)\ \mathrm{m}^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y&=64 - 2x(8-x)\\&=2x^2 -16x +64\end{aligned}$
自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$。
(2) 存在最小值。
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=2x^2 -16x +64\\&=2(x-4)^2 +32\end{aligned}$
因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜8$，
所以当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为32。
即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
（1）求y关于x的函数解析式可采用面积差法：四边形EFGH的面积等于大正方形ABCD的面积减去4个全等阴影直角三角形的面积。先计算大正方形的面积，再根据全等三角形的性质得出每个直角三角形的两条直角边长分别为x m和(8-x)m，计算4个三角形的总面积后作差即可得到函数关系式，同时结合实际意义确定x的取值范围。
（2）判断是否存在最小值，可先将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，若在取值范围内，则顶点对应的函数值就是最小值。
【解析】
(1) 正方形ABCD的边长为8m，因此正方形ABCD的面积为$8 × 8 = 64\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，4个全等的直角三角形的两条直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$(8-x)\ \mathrm{m}$，
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x(8-x)\ \mathrm{m}^2$，
则4个直角三角形的总面积为$4 × \frac{1}{2}x(8-x) = 2x(8-x)\ \mathrm{m}^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y &= 64 - 2x(8-x) \\&= 2x^2 - 16x + 64\end{aligned}$
结合实际意义，自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 8$。
(2) 存在最小值。
将函数解析式配方得：
$\begin{aligned}y &= 2x^2 - 16x + 64 \\&= 2(x-4)^2 + 32\end{aligned}$
$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，且顶点横坐标$x=4$满足$0 ＜ 4 ＜ 8$，
$\therefore$当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为32。
即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=2x^2-16x+64\ (0＜x＜8)$
(2) 存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用；配方法求二次函数最值；正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的应用，解题核心是通过面积和差关系建立函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7
（1）求y关于x的函数解析式可采用面积差法：四边形EFGH的面积等于大正方形ABCD的面积减去4个全等阴影直角三角形的面积。先计算大正方形的面积，再根据全等三角形的性质得出每个直角三角形的两条直角边长分别为x m和(8-x)m，计算4个三角形的总面积后作差即可得到函数关系式，同时结合实际意义确定x的取值范围。
（2）判断是否存在最小值，可先将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，若在取值范围内，则顶点对应的函数值就是最小值。
【解析】
(1) 正方形ABCD的边长为8m，因此正方形ABCD的面积为$8 × 8 = 64\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，4个全等的直角三角形的两条直角边长分别为$x\ \mathrm{m}$和$(8-x)\ \mathrm{m}$，
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}x(8-x)\ \mathrm{m}^2$，
则4个直角三角形的总面积为$4 × \frac{1}{2}x(8-x) = 2x(8-x)\ \mathrm{m}^2$。
因此四边形EFGH的面积：
$\begin{aligned}y &= 64 - 2x(8-x) \\&= 2x^2 - 16x + 64\end{aligned}$
结合实际意义，自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 8$。
(2) 存在最小值。
将函数解析式配方得：
$\begin{aligned}y &= 2x^2 - 16x + 64 \\&= 2(x-4)^2 + 32\end{aligned}$
$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，且顶点横坐标$x=4$满足$0 ＜ 4 ＜ 8$，
$\therefore$当$x=4$时，$y$取得最小值，最小值为32。
即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=2x^2-16x+64\ (0＜x＜8)$
(2) 存在最小值，最小值为$32\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用；配方法求二次函数最值；正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形面积计算考查二次函数的应用，解题核心是通过面积和差关系建立函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免忽略范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.7
