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9. (★★)可以用如下方法求方程$x^2 -2x -2=0$的实数根的范围：
利用函数$y=x^2 -2x -2$的图象可知，当$x=0$时，$y＜0$；当$x=-1$时，$y＞0$. 所以方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法，求方程$x^2 -2x -2=0$的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程$x^2 -2x +c=0$有一个根在0和1之间，求$c$的取值范围.
利用函数$y=x^2 -2x -2$的图象可知，当$x=0$时，$y＜0$；当$x=-1$时，$y＞0$. 所以方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法，求方程$x^2 -2x -2=0$的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程$x^2 -2x +c=0$有一个根在0和1之间，求$c$的取值范围.
答案
解：
(1) 令函数$y=x^2-2x-2$，
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，
所以方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在2和3之间。
(2) 令函数$y=x^2-2x+c$，该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间$(0,1)$上，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则需满足：
当$x=0$时，$y＞0$；当$x=1$时，$y＜0$，
即$\begin{cases} c＞0 \\ 1-2+c＜0 \end{cases}$，
解得$0＜c＜1$。
所以$c$的取值范围是$0＜c＜1$。
(1) 令函数$y=x^2-2x-2$，
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，
所以方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在2和3之间。
(2) 令函数$y=x^2-2x+c$，该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间$(0,1)$上，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则需满足：
当$x=0$时，$y＞0$；当$x=1$时，$y＜0$，
即$\begin{cases} c＞0 \\ 1-2+c＜0 \end{cases}$，
解得$0＜c＜1$。
所以$c$的取值范围是$0＜c＜1$。
解析
【分析】
本题运用数形结合思想，借助二次函数的函数值符号判断对应一元二次方程根的范围。
(1) 二次函数$y=x^2-2x-2$开口向上，已知一个根在-1和0之间，结合对称轴为直线$x=1$，可知另一个根在对称轴右侧，只需代入大于1的连续整数计算函数值，找到函数值由负变正的两个连续整数即可；
(2) 先确定函数$y=x^2-2x+c$的开口方向和对称轴，判断其在区间$(0,1)$上的增减性，若方程有一个根在该区间，则区间端点的函数值符号相反，据此列不等式组求解$c$的范围即可。
【解析】
(1) 令函数$y=x^2-2x-2$，
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，
所以方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在2和3之间。
(2) 令函数$y=x^2-2x+c$，该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间$(0,1)$上，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则需满足：
当$x=0$时，$y＞0$；当$x=1$时，$y＜0$，
即$\begin{cases} c＞0 \\ 1-2+c＜0 \end{cases}$，
解得$0＜c＜1$。
所以$c$的取值范围是$0＜c＜1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；
(2) $c$的取值范围是$0＜c＜1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的增减性，解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础应用题，核心考查数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，通过特殊点的函数值符号建立关系求解。
【难度系数】
0.7
本题运用数形结合思想，借助二次函数的函数值符号判断对应一元二次方程根的范围。
(1) 二次函数$y=x^2-2x-2$开口向上，已知一个根在-1和0之间，结合对称轴为直线$x=1$，可知另一个根在对称轴右侧，只需代入大于1的连续整数计算函数值，找到函数值由负变正的两个连续整数即可；
(2) 先确定函数$y=x^2-2x+c$的开口方向和对称轴，判断其在区间$(0,1)$上的增减性，若方程有一个根在该区间，则区间端点的函数值符号相反，据此列不等式组求解$c$的范围即可。
【解析】
(1) 令函数$y=x^2-2x-2$，
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$，
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$，
所以方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在2和3之间。
(2) 令函数$y=x^2-2x+c$，该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间$(0,1)$上，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则需满足：
当$x=0$时，$y＞0$；当$x=1$时，$y＜0$，
即$\begin{cases} c＞0 \\ 1-2+c＜0 \end{cases}$，
解得$0＜c＜1$。
所以$c$的取值范围是$0＜c＜1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；
(2) $c$的取值范围是$0＜c＜1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的增减性，解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础应用题，核心考查数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，通过特殊点的函数值符号建立关系求解。
【难度系数】
0.7
10. (★★★)(1)已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，请你化成$y=(x-h)^2 +k$的形式为，并在平面直角坐标系中画出$y=x^2 -2x -3$的图象；
(2)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是(1)中图象上的两点，且$x_1＜x_2＜1$，请直接写出$y_1,y_2$的大小关系：；
(3)利用(1)中的图象表示出方程$x^2 -2x -1=0$的根，要求保留画图痕迹，说明解题思路即可，不用计算结果。
(2)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是(1)中图象上的两点，且$x_1＜x_2＜1$，请直接写出$y_1,y_2$的大小关系：；
(3)利用(1)中的图象表示出方程$x^2 -2x -1=0$的根，要求保留画图痕迹，说明解题思路即可，不用计算结果。
答案
解：
(1) 对二次函数配方得：
$y=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
即顶点式为 $\boldsymbol{y=(x-1)^2-4}$。
画图：确定顶点$(1,-4)$，取点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$、$(2,-3)$，在坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，得到$y=x^2-2x-3$的图象。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，由$x_1＜x_2＜1$得 $\boldsymbol{y_1＞y_2}$。
(3) 解题思路：将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，在同一坐标系中画出直线$y=-2$，直线$y=-2$与$y=x^2-2x-3$图象的两个交点的横坐标，即为方程$x^2-2x-1=0$的两个根。
(1) 对二次函数配方得：
$y=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
即顶点式为 $\boldsymbol{y=(x-1)^2-4}$。
画图：确定顶点$(1,-4)$，取点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$、$(2,-3)$，在坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，得到$y=x^2-2x-3$的图象。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，由$x_1＜x_2＜1$得 $\boldsymbol{y_1＞y_2}$。
(3) 解题思路：将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，在同一坐标系中画出直线$y=-2$，直线$y=-2$与$y=x^2-2x-3$图象的两个交点的横坐标，即为方程$x^2-2x-1=0$的两个根。
解析
【分析】
(1) 将二次函数一般式化为顶点式需用配方法：先对二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，即可得到顶点式；画函数图象时，先确定顶点坐标，再找函数与坐标轴交点等特殊点，描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(2) 比较函数值大小，先根据顶点式确定二次函数的开口方向和对称轴，再判断x₁、x₂所在区间的增减性，即可得出y₁、y₂的大小关系。
(3) 用函数图象解方程的核心是数形结合：将待解方程变形为“二次函数=常数”的形式，方程的根就是二次函数图象与对应常数函数图象交点的横坐标，按此思路操作即可。
【解析】
(1) 对二次函数配方：
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$。
画图步骤：①确定顶点坐标为$(1,-4)$；②求与x轴交点：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=3$，即交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；③求与y轴交点：令$x=0$，得$y=-3$，由对称性可得点$(2,-3)$也在图象上；④描出所有特殊点，用平滑曲线顺次连接，得到二次函数图象。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。已知$x_1＜x_2＜1$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 解题思路：将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，在坐标系中画出直线$y=-2$，该直线与$y=x^2-2x-3$图象的两个交点的横坐标，即为方程$x^2-2x-1=0$的根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-1)^2-4}$，图象画法见解析；
(2) $\boldsymbol{y_1＞y_2}$；
(3) 作直线$y=-2$，其与二次函数图象交点的横坐标即为方程的根，思路见解析。
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，全面考查了二次函数的图象与性质，渗透数形结合思想，既要求掌握二次函数的基础运算，也要求能灵活运用图象解决方程相关问题，是该模块的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 将二次函数一般式化为顶点式需用配方法：先对二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，即可得到顶点式；画函数图象时，先确定顶点坐标，再找函数与坐标轴交点等特殊点，描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(2) 比较函数值大小，先根据顶点式确定二次函数的开口方向和对称轴，再判断x₁、x₂所在区间的增减性，即可得出y₁、y₂的大小关系。
(3) 用函数图象解方程的核心是数形结合：将待解方程变形为“二次函数=常数”的形式，方程的根就是二次函数图象与对应常数函数图象交点的横坐标，按此思路操作即可。
【解析】
(1) 对二次函数配方：
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$。
画图步骤：①确定顶点坐标为$(1,-4)$；②求与x轴交点：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=3$，即交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；③求与y轴交点：令$x=0$，得$y=-3$，由对称性可得点$(2,-3)$也在图象上；④描出所有特殊点，用平滑曲线顺次连接，得到二次函数图象。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。已知$x_1＜x_2＜1$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 解题思路：将方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，在坐标系中画出直线$y=-2$，该直线与$y=x^2-2x-3$图象的两个交点的横坐标，即为方程$x^2-2x-1=0$的根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-1)^2-4}$，图象画法见解析；
(2) $\boldsymbol{y_1＞y_2}$；
(3) 作直线$y=-2$，其与二次函数图象交点的横坐标即为方程的根，思路见解析。
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，全面考查了二次函数的图象与性质，渗透数形结合思想，既要求掌握二次函数的基础运算，也要求能灵活运用图象解决方程相关问题，是该模块的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
