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7. 若关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0(a≠0) $的两根之和为2，两根之积为-3，则关于$ y $的方程$ a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0 $的两根之积为(
A.-3
B.3
C.-5
D.5
D
)。A.-3
B.3
C.-5
D.5
答案
D
解析
【分析】
遇到结构完全相同的两个一元二次方程，可通过换元法建立两个方程根的联系。首先设$ t=y-2 $，将关于$ y $的方程转化为和已知方程形式完全一致的关于$ t $的一元二次方程，利用已知的$ t $的两根之和、两根之积，再将$ y $用$ t $表示，展开两根之积的代数式，代入已知的和与积即可计算出结果。
【解析】
解：设$ t = y - 2 $，则关于$ y $的方程$ a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0 $可化为：
$ at^2 + bt + c = 0 $
由题意可知，该方程的两根$ t_1、t_2 $满足：
$ t_1 + t_2 = 2 $，$ t_1 t_2 = -3 $
又因为$ t = y - 2 $，所以$ y = t + 2 $，即关于$ y $的方程的两根为：
$ y_1 = t_1 + 2 $，$ y_2 = t_2 + 2 $
则两根之积为：
$ y_1 y_2 = (t_1 + 2)(t_2 + 2) $
展开得：
$ y_1 y_2 = t_1 t_2 + 2t_1 + 2t_2 + 4 = t_1 t_2 + 2(t_1 + t_2) + 4 $
将$ t_1 + t_2 = 2 $，$ t_1 t_2 = -3 $代入得：
$ y_1 y_2 = -3 + 2×2 + 4 = 5 $
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 换元法
【点评】
本题考查换元思想在一元二次方程中的应用，解题关键是通过换元将未知方程转化为已知根与系数关系的方程，再结合代数式变形求解，需要熟练掌握韦达定理的应用和多项式乘法的展开计算。
【难度系数】
0.6
遇到结构完全相同的两个一元二次方程，可通过换元法建立两个方程根的联系。首先设$ t=y-2 $，将关于$ y $的方程转化为和已知方程形式完全一致的关于$ t $的一元二次方程，利用已知的$ t $的两根之和、两根之积，再将$ y $用$ t $表示，展开两根之积的代数式，代入已知的和与积即可计算出结果。
【解析】
解：设$ t = y - 2 $，则关于$ y $的方程$ a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0 $可化为：
$ at^2 + bt + c = 0 $
由题意可知，该方程的两根$ t_1、t_2 $满足：
$ t_1 + t_2 = 2 $，$ t_1 t_2 = -3 $
又因为$ t = y - 2 $，所以$ y = t + 2 $，即关于$ y $的方程的两根为：
$ y_1 = t_1 + 2 $，$ y_2 = t_2 + 2 $
则两根之积为：
$ y_1 y_2 = (t_1 + 2)(t_2 + 2) $
展开得：
$ y_1 y_2 = t_1 t_2 + 2t_1 + 2t_2 + 4 = t_1 t_2 + 2(t_1 + t_2) + 4 $
将$ t_1 + t_2 = 2 $，$ t_1 t_2 = -3 $代入得：
$ y_1 y_2 = -3 + 2×2 + 4 = 5 $
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 换元法
【点评】
本题考查换元思想在一元二次方程中的应用，解题关键是通过换元将未知方程转化为已知根与系数关系的方程，再结合代数式变形求解，需要熟练掌握韦达定理的应用和多项式乘法的展开计算。
【难度系数】
0.6
8. 对称式是指在含有多个变量的代数式中，任意交换两个变量的位置，代数式的值保持不变。设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ 2x^2 - 2x - 3 = 0 $ 的两个根，求下列关于 $ x_1, x_2 $ 的对称式的值：
(1)$ x_1 + 2x_1x_2 + x_2 $；(2)$ x_1^2x_2 + x_2^2x_1 $；(3)$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $。
(1)$ x_1 + 2x_1x_2 + x_2 $；(2)$ x_1^2x_2 + x_2^2x_1 $；(3)$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $。
答案
解:根据题意得 $x_1+x_2=1,x_1x_2=-\frac{3}{2}$。
(1)$x_1+2x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+2x_1x_2=1+2×(-\frac{3}{2})=1-3=-2$。
(2)$x_1^2x_2+x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2)=(-\frac{3}{2})×1=-\frac{3}{2}$。
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$。
(1)$x_1+2x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+2x_1x_2=1+2×(-\frac{3}{2})=1-3=-2$。
(2)$x_1^2x_2+x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2)=(-\frac{3}{2})×1=-\frac{3}{2}$。
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题要求计算关于一元二次方程两根的对称式的值，无需先求解方程得到两根的具体数值，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；第二步，将每一问的待求对称式通过因式分解、通分等方式变形，转化为只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的代数式；第三步，将第一步算出的两根和、两根积的值整体代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$，其中$a=2$，$b=-2$，$c=-3$，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{2}=1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$
(1) 对原式变形得：
$x_1 + 2x_1x_2 + x_2=(x_1+x_2)+2x_1x_2$
代入数值计算：$1 + 2×(-\frac{3}{2})=1-3=-2$
(2) 对原式提取公因式变形得：
$x_1^2x_2 + x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$(-\frac{3}{2})×1=-\frac{3}{2}$
(3) 对原式通分变形得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）；2. 代数式变形；3. 整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心解题思想是整体代入，通过将对称式转化为两根和与两根积的组合形式，避免了求解方程根的繁琐运算，重点考察学生的代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题要求计算关于一元二次方程两根的对称式的值，无需先求解方程得到两根的具体数值，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；第二步，将每一问的待求对称式通过因式分解、通分等方式变形，转化为只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的代数式；第三步，将第一步算出的两根和、两根积的值整体代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$，其中$a=2$，$b=-2$，$c=-3$，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{2}=1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$
(1) 对原式变形得：
$x_1 + 2x_1x_2 + x_2=(x_1+x_2)+2x_1x_2$
代入数值计算：$1 + 2×(-\frac{3}{2})=1-3=-2$
(2) 对原式提取公因式变形得：
$x_1^2x_2 + x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：$(-\frac{3}{2})×1=-\frac{3}{2}$
(3) 对原式通分变形得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）；2. 代数式变形；3. 整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心解题思想是整体代入，通过将对称式转化为两根和与两根积的组合形式，避免了求解方程根的繁琐运算，重点考察学生的代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
9. 阅读材料并解答问题。
已知实数$m,n$分别满足$m^2 - m -1=0$，$n^2 -n -1=0$，且$m≠n$，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
解：∵实数$m,n$分别满足$m^2 -m -1=0$，$n^2 -n -1=0$，且$m≠n$，
∴$m,n$可以看作是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+n=1$，$mn=-1$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$。
(1)已知实数$m,n$分别满足$m^2 -3m +1=0$，$n^2 -3n +1=0$，且$m≠n$，则$m^2 +n^2=$
(2)若$ab≠1$，且$2a^2 +8a +3=0$，$3b^2 +8b +2=0$，求$\frac{a}{b}$的值。
已知实数$m,n$分别满足$m^2 - m -1=0$，$n^2 -n -1=0$，且$m≠n$，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
解：∵实数$m,n$分别满足$m^2 -m -1=0$，$n^2 -n -1=0$，且$m≠n$，
∴$m,n$可以看作是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+n=1$，$mn=-1$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$。
(1)已知实数$m,n$分别满足$m^2 -3m +1=0$，$n^2 -3n +1=0$，且$m≠n$，则$m^2 +n^2=$
7
；(2)若$ab≠1$，且$2a^2 +8a +3=0$，$3b^2 +8b +2=0$，求$\frac{a}{b}$的值。
答案
(1)7
(2)解:$\because 3b^2 +8b +2=0,\therefore b≠0$,
$\therefore$两边都除以$b^2$,得$3+\frac{8}{b}+\frac{2}{b^2}=0$,
即$2(\frac{1}{b})^2 +8×\frac{1}{b}+3=0$,
$\therefore a$和$\frac{1}{b}$是方程$2x^2 +8x +3=0$的两个不相等的实数根,$\therefore \frac{a}{b}=a·\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$。
(2)解:$\because 3b^2 +8b +2=0,\therefore b≠0$,
$\therefore$两边都除以$b^2$,得$3+\frac{8}{b}+\frac{2}{b^2}=0$,
即$2(\frac{1}{b})^2 +8×\frac{1}{b}+3=0$,
$\therefore a$和$\frac{1}{b}$是方程$2x^2 +8x +3=0$的两个不相等的实数根,$\therefore \frac{a}{b}=a·\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：
(1) 观察已知条件，m、n满足同形式的一元二次方程且m≠n，因此可将m、n看作方程$x^2-3x+1=0$的两个不等实根，先通过韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$代入计算即可。
(2) 已知两个方程系数不同，无法直接判定a、b为同方程的根，先对含b的方程变形：由于$b≠0$，方程两边同时除以$b^2$，整理后得到与含a的方程形式完全相同的关于$\frac{1}{b}$的方程，结合$ab≠1$可知$a≠\frac{1}{b}$，因此a和$\frac{1}{b}$是方程$2x^2+8x+3=0$的两个不等实根，所求$\frac{a}{b}$可转化为$a·\frac{1}{b}$，即两根之积，直接用韦达定理计算即可。
【解析】
(1)
∵实数m,n分别满足$m^2-3m+1=0$，$n^2-3n+1=0$，且$m≠n$，
∴m,n是一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m+n=3$，$mn=1$，
∴$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=3^2-2×1=9-2=7$。
(2)
∵$3b^2+8b+2=0$，若$b=0$，代入得$2=0$不成立，
∴$b≠0$，
将方程两边同时除以$b^2$，得：$3 + \frac{8}{b} + \frac{2}{b^2} = 0$，
整理得：$2·(\frac{1}{b})^2 + 8·(\frac{1}{b}) + 3 = 0$，
又
∵$2a^2+8a+3=0$，且$ab≠1$，即$a≠\frac{1}{b}$，
∴a和$\frac{1}{b}$是一元二次方程$2x^2+8x+3=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a·\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$，即$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)7；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代数式恒等变形 3. 同解方程构造
【点评】
本题属于根与系数关系的拓展应用类题目，解题的核心是观察方程的结构特征，通过构造同形式的一元二次方程，将所求代数式转化为两根和或两根积的形式求解，有效考查了学生的观察能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：
(1) 观察已知条件，m、n满足同形式的一元二次方程且m≠n，因此可将m、n看作方程$x^2-3x+1=0$的两个不等实根，先通过韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$代入计算即可。
(2) 已知两个方程系数不同，无法直接判定a、b为同方程的根，先对含b的方程变形：由于$b≠0$，方程两边同时除以$b^2$，整理后得到与含a的方程形式完全相同的关于$\frac{1}{b}$的方程，结合$ab≠1$可知$a≠\frac{1}{b}$，因此a和$\frac{1}{b}$是方程$2x^2+8x+3=0$的两个不等实根，所求$\frac{a}{b}$可转化为$a·\frac{1}{b}$，即两根之积，直接用韦达定理计算即可。
【解析】
(1)
∵实数m,n分别满足$m^2-3m+1=0$，$n^2-3n+1=0$，且$m≠n$，
∴m,n是一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m+n=3$，$mn=1$，
∴$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=3^2-2×1=9-2=7$。
(2)
∵$3b^2+8b+2=0$，若$b=0$，代入得$2=0$不成立，
∴$b≠0$，
将方程两边同时除以$b^2$，得：$3 + \frac{8}{b} + \frac{2}{b^2} = 0$，
整理得：$2·(\frac{1}{b})^2 + 8·(\frac{1}{b}) + 3 = 0$，
又
∵$2a^2+8a+3=0$，且$ab≠1$，即$a≠\frac{1}{b}$，
∴a和$\frac{1}{b}$是一元二次方程$2x^2+8x+3=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a·\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$，即$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)7；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代数式恒等变形 3. 同解方程构造
【点评】
本题属于根与系数关系的拓展应用类题目，解题的核心是观察方程的结构特征，通过构造同形式的一元二次方程，将所求代数式转化为两根和或两根积的形式求解，有效考查了学生的观察能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
