1. 设一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$x_1x_2=(\quad)$。

A.$-2$
B.$1$
C.$2$
D.$0$

D

【分析】
本题要求一元二次方程两根的乘积，有两种常规解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，先确定方程标准形式中二次项系数a、常数项c的值，直接代入两根之积的公式计算即可；思路二：先通过因式分解求解方程得到两个根，再直接计算两根的乘积得到结果，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
解法1（利用根与系数的关系）：
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，原方程$x^2 - 2x = 0$符合标准形式，其中$a=1$，$c=0$。
根据根与系数的关系，方程两根$x_1,x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得：
$x_1x_2=\frac{0}{1}=0$。
解法2（直接解方程求解）：
对原方程$x^2 - 2x = 0$因式分解得：$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1x_2=0×2=0$。
【答案】
D
【知识点】
根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，既可以通过根与系数的关系快速计算得到结果，也可以通过直接解方程求乘积作答，熟练掌握韦达定理可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9

2. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x +m=0$有一个根为$x=-1$，则另一个根为（）。

A.$x=1$
B.$x=-3$
C.$x=3$
D.$x=4$

C

【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：思路一，根据方程的根的定义，把已知根代入方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要求解参数，直接通过两根之和的关系计算另一个根，该方法计算量更小，解题更高效。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2-2x+m=0$里$a=1$，$b=-2$，已知一个根为$x=-1$，因此可得：
$x_1 + (-1) = -\frac{-2}{1}=2$
解得$x_1=2+1=3$。
方法二：代入求参数再解方程
把$x=-1$代入原方程，得：
$(-1)^2 -2×(-1)+m=0$
计算得$1+2+m=0$，解得$m=-3$。
则原方程为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，因此另一个根为3。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法均符合课标要求，熟练掌握根与系数的关系可大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

3. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x+k-1=0$的两根，且$x_1x_2=-3$，则k的值为。

-2

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根之积公式：$x_1x_2=\frac{c}{a}$；然后对应找到题干中一元二次方程的二次项系数$a$和常数项$c$，结合题目给出的$x_1x_2=-3$的条件，列关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x+k-1=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=k-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
代入已知条件$x_1x_2=-3$，可得：
$k-1=-3$
移项计算得：$k=-3+1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程两根之积公式的记忆与应用，只要准确识别方程的对应系数，代入公式后简单计算即可得到结果，是对根与系数关系知识点的基础考核。
【难度系数】
0.8

4. 设$x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根，求下列各式的值：
(1)$(x_1+2)(x_2+2)$；
(2)$(x_1-2)(x_2-2)$。

解:根据题意得 $x_1+x_2=-2,x_1x_2=-\frac{3}{2}$。
(1)原式$=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-\frac{3}{2}+2×(-2)+4=-\frac{3}{2}$。
(2)原式$=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{3}{2}-2×(-2)+4=\frac{13}{2}$。

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先不需要求解方程的两个根，先根据韦达定理直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；再将两个待求的多项式乘积展开，整理为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；最后将提前求出的两根和、两根积代入计算即可得到结果，这种方法比直接求根代入计算更简便，也能减少计算误差。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2+4x-3=0$，其中$a=2,b=4,c=-3$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$。
(1) 先展开待求式：
$(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2x_1+2x_2+4=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=-\frac{3}{2}+2×(-2)+4=-\frac{3}{2}-4+4=-\frac{3}{2}$。
(2) 先展开待求式：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2x_1-2x_2+4=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=-\frac{3}{2}-2×(-2)+4=-\frac{3}{2}+4+4=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1)$-\frac{3}{2}$；(2)$\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 整式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握韦达定理的内容，将待求代数式合理变形为两根和、两根积的组合形式，无需解出方程的具体根即可快速计算，能有效降低计算量，提升准确率。
【难度系数】
0.8

1. 已知方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根为$x=3$，则系数$m$的值为（）。

A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$

B

【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=3是方程的根，我们可以直接将x=3代入原方程，将原方程转化为只含有未知系数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=3是方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根
∴将x=3代入原方程，等式成立，可得：
$3^2 + 3m + 3 = 0$
计算得：$9 + 3m + 3 = 0$
合并同类项后移项得：$3m = -12$
两边同时除以3得：$m = -4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题，主要考查方程根的定义的应用，代入已知根求未知参数是此类题的常规解题思路，掌握该方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程中，两根分别是$x_1=-2$和$x_2=3$的方程是()。

A.$x^2 -x -6=0$
B.$x^2 -6x +5=0$
C.$x^2 +x -6=0$
D.$x^2 -6x -1=0$

A

【分析】
已知一元二次方程的两个根求方程，可采用两种思路解题：1. 利用根与系数的关系（韦达定理）：当二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积，代入计算即可得到方程的各项系数；2. 利用因式分解的逆推：若方程两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，展开后即可得到目标方程，两种方法都能避免逐个求解选项的根，提高解题效率。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
已知两根为$x_1=-2$，$x_2=3$，代入得：
两根和：$-2+3=1=-p$，解得$p=-1$；
两根积：$-2×3=-6=q$。
因此所求方程为$x^2 - x -6=0$，对应选项A。
方法二（因式分解逆推法）：
若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入两根得：
$(x+2)(x-3)=0$，展开得$x^2 -3x +2x -6 = x^2 -x -6=0$，对应选项A。
验证其余选项：B选项方程两根为1和5，C选项方程两根为2和-3，D选项方程根为无理数，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，掌握韦达定理或根对应的因式分解形式即可快速解题，能有效避免逐个求解选项方程的冗余计算。
【难度系数】
0.8

3. 已知$m,n$是方程$x^2 + 3x -5=0$的两个根，则$m+n$的值为。

-3

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时首先回忆一元二次方程两根之和与系数的对应关系，再定位给定方程的二次项系数、一次项系数，代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知$m,n$是方程$x^2 + 3x -5=0$的两个根，对比一般形式可知$a=1$，$b=3$，代入上述公式可得：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于根与系数关系的基础考查题，只要牢记对应公式，准确识别方程各项系数就能快速求解，是基础类得分题。
【难度系数】
0.9

4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (a - 2)x - a = 0$的两个实数根互为相反数，则$a$的值为。

2

【分析】
解题时首先从题目条件“两个实数根互为相反数”出发，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，因此方程两根之和为0。接着联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可以用含a的式子表示出两根之和，列方程求解a的初步值。最后不要忽略题目中“有两个实数根”的前提，需要代入判别式验证求出的a是否满足条件，排除不符合的解。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两个实数根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），由根与系数的关系可知$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。
本题中方程为$x^2 + (a - 2)x - a = 0$，其中$A=1$，$B=a-2$，因此：
$x_1+x_2 = -(a-2) = 2 - a$
结合$x_1+x_2=0$列方程得：
$2 - a = 0$，解得$a=2$。
验证：当$a=2$时，原方程为$x^2 - 2 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-2) = 8 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
故$a$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是抓住“互为相反数的两数和为0”的性质结合韦达定理列方程，需要注意的是求出参数后要验证判别式，确保方程存在两个实数根，避免遗漏隐含条件出现错误。
【难度系数】
0.7

5. 已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$的两根，则$ab -a -b +1$的值是（）。

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-2$

B

【分析】
看到题目给出一元二次方程的两根，求关于两根的代数式的值，首先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先回忆韦达定理，求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$的值；第二步对所求代数式$ab -a -b +1$进行变形，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵$a$，$b$是一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$a+b = -\frac{2}{1} = -2$，$ab = \frac{-1}{1} = -1$。
对所求代数式变形：
$ab -a -b +1 = ab - (a+b) + 1$，
将$a+b=-2$，$ab=-1$代入上式得：
原式$= -1 - (-2) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，对所求代数式进行合理变形后代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

6. 华裔数学家罗博深教授发现了一种解一元二次方程的方法(罗氏法),其核心思路是巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系,通过引入一个辅助变量u来简化求解过程。请阅读罗氏法解方程 $2x^2 -13x+1=0$ 的过程。
解:根据根与系数的关系,方程两个根的和为$\frac{13}{2}$,所以两个根的平均数为$\frac{13}{4}$。
设方程的两个根分别为 $x_1=\frac{13}{4}-u,x_2=\frac{13}{4}+u$,其中 $u≥0$。
根据根与系数的关系,$(\frac{13}{4}-u)(\frac{13}{4}+u)=\frac{1}{2}$,
解得 $u=\frac{\sqrt{161}}{4}$,即 $x_1=\frac{13}{4}-u=\frac{13-\sqrt{161}}{4}$,
$x_2=\frac{13}{4}+u=\frac{13+\sqrt{161}}{4}$。
所以方程的根为 $x_1 = \frac{13-\sqrt{161}}{4}$,

用罗氏法解下列方程:
(1)$3x^2 -x-1=0$;
(2)$\frac{1}{2}x^2 -4x-1=0$。

解:(1)根据根与系数的关系,方程两个根的和为$\frac{1}{3}$,所以两个根的平均数为$\frac{1}{6}$。
设方程的两个根分别为$x_1=\frac{1}{6}-u,x_2=\frac{1}{6}+u$,其中$u≥0$。
根据根与系数的关系,$(\frac{1}{6}-u)(\frac{1}{6}+u)=-\frac{1}{3}$,
解得 $u=\frac{\sqrt{13}}{6}$,
即 $x_1=\frac{1}{6}-u=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$,
$x_2=\frac{1}{6}+u=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$。
所以 $x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$。
(2)方程可化为 $x^2-8x-2=0$。
根据根与系数的关系,方程两个根的和为 8,所以两个根的平均数为 4。
设方程的两个根分别为 $x_1=4-u,x_2=4+u$,其中 $u≥0$。
根据根与系数的关系,$(4-u)(4+u)=-2$,
解得 $u=3\sqrt{2}$,
即 $x_1=4-u=4-3\sqrt{2},x_2=4+u=4+3\sqrt{2}$。
所以 $x_1=4-3\sqrt{2},x_2=4+3\sqrt{2}$。

【分析】
罗氏法解一元二次方程的核心是利用根与系数的关系，按固定步骤套用即可：①先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，根据韦达定理求出两根之和；②计算两根的平均数，设两根分别为“平均数$-u$”和“平均数$+u$”（$u≥0$）；③再根据韦达定理的两根之积列方程，结合平方差公式求解$u$的值；④最后将$u$代入所设的根的表达式，即可得到方程的两个根，解题时注意系数符号不要出错。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -x-1=0$：
根据根与系数的关系，方程两个根的和为$\frac{1}{3}$，所以两个根的平均数为$\frac{1}{6}$。
设方程的两个根分别为$x_1=\frac{1}{6}-u,x_2=\frac{1}{6}+u$，其中$u≥0$。
根据根与系数的关系，两根之积为$-\frac{1}{3}$，因此：
$(\frac{1}{6}-u)(\frac{1}{6}+u)=-\frac{1}{3}$
由平方差公式展开得$\frac{1}{36}-u^2=-\frac{1}{3}$，移项计算得$u^2=\frac{13}{36}$，结合$u≥0$解得$u=\frac{\sqrt{13}}{6}$。
代入得$x_1=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{13}}{6}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{13}}{6}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$。
(2) 解方程$\frac{1}{2}x^2 -4x-1=0$：
先将方程化为整系数形式，两边同乘2得$x^2-8x-2=0$。
根据根与系数的关系，方程两个根的和为$8$，所以两个根的平均数为$4$。
设方程的两个根分别为 $x_1=4-u,x_2=4+u$，其中$u≥0$。
根据根与系数的关系，两根之积为$-2$，因此：
$(4-u)(4+u)=-2$
由平方差公式展开得$16-u^2=-2$，移项计算得$u^2=18$，结合$u≥0$解得$u=3\sqrt{2}$。
代入得$x_1=4-3\sqrt{2}$，$x_2=4+3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$
(2) $x_1=4-3\sqrt{2},x_2=4+3\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系、平方差公式、一元二次方程求解
【点评】
罗氏法是一元二次方程解法的拓展，借助韦达定理和平方差公式简化了计算过程，相比公式法记忆负担更小，能有效降低计算错误率，是很实用的解方程技巧。
【难度系数】
0.7