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7.【数学应用】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出。已知A产品的售价比B产品的售价高100元，1件A产品与1件B产品的售价之和为500元。
(1)A，B两种产品的售价分别是多少？
(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间。预计A产品在售价不变的情况下，产量将在去年的基础上增加$a\%$；B产品的产量将在去年的基础上减少$a\%$，但B产品的售价将提高$3a\%$。预计今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$。求$a$的值。
(1)A，B两种产品的售价分别是多少？
(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间。预计A产品在售价不变的情况下，产量将在去年的基础上增加$a\%$；B产品的产量将在去年的基础上减少$a\%$，但B产品的售价将提高$3a\%$。预计今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$。求$a$的值。
答案
7.解:(1)设B产品的售价为x元,则A产品的售价为$(x+100)$元。
根据题意得$x+(x+100)=500$,解得$x=200$。
$200+100=300$。
故A产品的售价为300元,B产品的售价为200元。
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件。
根据题意得$300t(1+a\%)+200t(1+3a\%)(1-a\%)=(300+200)t×(1+\frac{29}{25}a\%)$。
设$a\%=m$,则原方程可化简为$5m^2-m=0$,
解得$m_1=\frac{1}{5},m_2=0$(不合题意,舍去),
所以$a=20$,
故a的值是20。
根据题意得$x+(x+100)=500$,解得$x=200$。
$200+100=300$。
故A产品的售价为300元,B产品的售价为200元。
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件。
根据题意得$300t(1+a\%)+200t(1+3a\%)(1-a\%)=(300+200)t×(1+\frac{29}{25}a\%)$。
设$a\%=m$,则原方程可化简为$5m^2-m=0$,
解得$m_1=\frac{1}{5},m_2=0$(不合题意,舍去),
所以$a=20$,
故a的值是20。
解析
【分析】
(1) 本小问已知A、B两种产品的售价差和售价和，属于和差类应用题，可设其中一种产品的售价为未知数，根据售价和的等量关系列一元一次方程求解。我们设B产品售价为x元，则A产品售价为(x+100)元，再利用“1件A产品与1件B产品的售价之和为500元”的条件列方程即可。
(2) 本小问是百分率类销售问题，核心等量关系为：今年A产品总销售额+今年B产品总销售额=去年总销售额×(1+总增长率)。首先设去年两个车间的产量均为t件（t在计算中可约去，不影响结果），分别表示出今年A、B产品的售价、产量，进而写出两者的销售额，代入等量关系即可得到关于a的方程；为简化计算，可设m=a%将方程转化为整式方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到a的值。
【解析】
(1) 设B产品的售价为x元，则A产品的售价为$(x+100)$元。
根据题意得：$x+(x+100)=500$
解得$x=200$
则A产品的售价为：$200+100=300$（元）
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件。
根据题意列方程：
$300t(1+a\%)+200t(1+3a\%)(1-a\%)=(300+200)t×(1+\frac{29}{25}a\%)$
由于$t≠0$，两边同时除以t，设$a\%=m$，原方程可化简为：
$300(1+m)+200(1+3m)(1-m)=500(1+\frac{29}{25}m)$
展开整理得$5m^2-m=0$
解得$m_1=\frac{1}{5},m_2=0$
其中$m=0$不符合题意，舍去，因此$a\%=\frac{1}{5}=20\%$，即$a=20$
【答案】
(1) A产品的售价为300元，B产品的售价为200元；
(2) a的值是20。
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；百分率问题
【点评】
本题属于销售类实际应用题，第一问难度较低，考查利用一元一次方程解决基础和差问题；第二问需要准确梳理各量之间的关系找到销售额的等量关系，利用换元法可大幅简化百分率相关方程的计算，求解后注意验证根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.6
(1) 本小问已知A、B两种产品的售价差和售价和，属于和差类应用题，可设其中一种产品的售价为未知数，根据售价和的等量关系列一元一次方程求解。我们设B产品售价为x元，则A产品售价为(x+100)元，再利用“1件A产品与1件B产品的售价之和为500元”的条件列方程即可。
(2) 本小问是百分率类销售问题，核心等量关系为：今年A产品总销售额+今年B产品总销售额=去年总销售额×(1+总增长率)。首先设去年两个车间的产量均为t件（t在计算中可约去，不影响结果），分别表示出今年A、B产品的售价、产量，进而写出两者的销售额，代入等量关系即可得到关于a的方程；为简化计算，可设m=a%将方程转化为整式方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可得到a的值。
【解析】
(1) 设B产品的售价为x元，则A产品的售价为$(x+100)$元。
根据题意得：$x+(x+100)=500$
解得$x=200$
则A产品的售价为：$200+100=300$（元）
(2) 设去年每个车间生产产品的数量为t件。
根据题意列方程：
$300t(1+a\%)+200t(1+3a\%)(1-a\%)=(300+200)t×(1+\frac{29}{25}a\%)$
由于$t≠0$，两边同时除以t，设$a\%=m$，原方程可化简为：
$300(1+m)+200(1+3m)(1-m)=500(1+\frac{29}{25}m)$
展开整理得$5m^2-m=0$
解得$m_1=\frac{1}{5},m_2=0$
其中$m=0$不符合题意，舍去，因此$a\%=\frac{1}{5}=20\%$，即$a=20$
【答案】
(1) A产品的售价为300元，B产品的售价为200元；
(2) a的值是20。
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；百分率问题
【点评】
本题属于销售类实际应用题，第一问难度较低，考查利用一元一次方程解决基础和差问题；第二问需要准确梳理各量之间的关系找到销售额的等量关系，利用换元法可大幅简化百分率相关方程的计算，求解后注意验证根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.6
8.【综合与实践】如图,从一张长10 cm、宽8 cm的长方形纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,将剩下的部分沿虚线折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)。
(1)若无盖长方体盒子的底面积为48 cm²,求剪去的正方形的边长。
(2)折成的无盖长方体盒子的侧面积有可能为52 cm²吗?请说明理由。
(3)若从纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形,将剩下的部分折成一个有盖的长方体盒子,当它的侧面积(指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积)为30 cm²时,请画出平面示意图,并计算剪去的正方形的边长。
(1)若无盖长方体盒子的底面积为48 cm²,求剪去的正方形的边长。
(2)折成的无盖长方体盒子的侧面积有可能为52 cm²吗?请说明理由。
(3)若从纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形,将剩下的部分折成一个有盖的长方体盒子,当它的侧面积(指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积)为30 cm²时,请画出平面示意图,并计算剪去的正方形的边长。
答案
8.解:(1)设剪去的正方形的边长为x cm。
根据题意得$(10-2x)(8-2x)=48$。
解得$x_1=1,x_2=8$(不合题意,舍去)。
故剪去的正方形的边长为1 cm。
(2)不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$。理由如下:
设剪去的正方形的边长为y cm。
根据题意得$2[y(10-2y)+y(8-2y)]=52$。
整理,得$2y^2-9y+13=0$。
$\because\Delta=81-4×2×13＜0$,
$\therefore$方程没有实数根,
故侧面积不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$。
(3)示意图见
，设剪去的正方形的边长为a cm。若按如图①所示的方式剪,则$2(8-2a)a+2×\frac{10-2a}{2}×a=30$。
即$3a^2-13a+15=0$。
$\because\Delta=(-13)^2-4×3×15=-11＜0$,
$\therefore$方程没有实数根。
若按如图②所示的方法剪,则$2(10-2a)a+2×\frac{8-2a}{2}×a=30$。解得$a_1=3,a_2=\frac{5}{3}$。
综上所述,当按如图②所示的方式剪去的正方形的边长为3 cm或$\frac{5}{3}$ cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积为$30\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求解剪去的正方形边长，可先设边长为$x\ \mathrm{cm}$，折成无盖长方体后，底面长、宽分别为原长方形的长、宽减去2倍正方形边长，再根据底面积公式列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
(2) 判断侧面积能否为$52\ \mathrm{cm}^2$，设正方形边长为$y\ \mathrm{cm}$，无盖长方体侧面积为4个侧面的面积和，据此列方程，整理后计算根的判别式，若判别式小于0则方程无实根，即不可能达到该侧面积。
(3) 折有盖长方体有两种裁剪方式，需分类讨论：分别设正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据两种裁剪方式的侧面积构成列方程，求解后判断根是否符合实际，最终得到可行的边长。
【解析】
(1) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得$x^2-9x+8=0$，解得$x_1=1$，$x_2=8$。
当$x=8$时，$8-2x=-8＜0$，不符合实际意义，故舍去。
(2) 不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$，理由如下：
设剪去的正方形的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据侧面积公式列方程：
$2[y(10-2y)+y(8-2y)]=52$
整理得$2y^2-9y+13=0$。
根的判别式$\Delta=81-4×2×13=-23＜0$，因此该方程没有实数根，即侧面积不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 平面示意图见，设剪去的正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 按图①所示方式裁剪：
列方程得$2(8-2a)a+2×\frac{10-2a}{2}× a=30$，整理得$3a^2-13a+15=0$。
判别式$\Delta=(-13)^2-4×3×15=-11＜0$，方程无实数根，该方式不可行。
② 按图②所示方式裁剪：
列方程得$2(10-2a)a+2×\frac{8-2a}{2}× a=30$，整理得$3a^2-14a+15=0$，解得$a_1=3$，$a_2=\frac{5}{3}$，两根均符合实际意义。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为1 cm。
(2) 不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$，理由：所列方程无实数根。
(3) 示意图见，按图②所示方式裁剪时，剪去的正方形的边长为3 cm或$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元二次方程实际应用，根的判别式，图形面积计算
【点评】
本题结合折叠问题考查一元二次方程的实际应用，解题时需要结合实际意义对方程的根进行取舍，第三问需分类讨论不同裁剪方式，能有效锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解剪去的正方形边长，可先设边长为$x\ \mathrm{cm}$，折成无盖长方体后，底面长、宽分别为原长方形的长、宽减去2倍正方形边长，再根据底面积公式列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
(2) 判断侧面积能否为$52\ \mathrm{cm}^2$，设正方形边长为$y\ \mathrm{cm}$，无盖长方体侧面积为4个侧面的面积和，据此列方程，整理后计算根的判别式，若判别式小于0则方程无实根，即不可能达到该侧面积。
(3) 折有盖长方体有两种裁剪方式，需分类讨论：分别设正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据两种裁剪方式的侧面积构成列方程，求解后判断根是否符合实际，最终得到可行的边长。
【解析】
(1) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得$x^2-9x+8=0$，解得$x_1=1$，$x_2=8$。
当$x=8$时，$8-2x=-8＜0$，不符合实际意义，故舍去。
(2) 不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$，理由如下：
设剪去的正方形的边长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据侧面积公式列方程：
$2[y(10-2y)+y(8-2y)]=52$
整理得$2y^2-9y+13=0$。
根的判别式$\Delta=81-4×2×13=-23＜0$，因此该方程没有实数根，即侧面积不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 平面示意图见
，设剪去的正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：① 按图①所示方式裁剪：
列方程得$2(8-2a)a+2×\frac{10-2a}{2}× a=30$，整理得$3a^2-13a+15=0$。
判别式$\Delta=(-13)^2-4×3×15=-11＜0$，方程无实数根，该方式不可行。
② 按图②所示方式裁剪：
列方程得$2(10-2a)a+2×\frac{8-2a}{2}× a=30$，整理得$3a^2-14a+15=0$，解得$a_1=3$，$a_2=\frac{5}{3}$，两根均符合实际意义。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为1 cm。
(2) 不可能为$52\ \mathrm{cm}^2$，理由：所列方程无实数根。
(3) 示意图见
，按图②所示方式裁剪时，剪去的正方形的边长为3 cm或$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。【知识点】
一元二次方程实际应用，根的判别式，图形面积计算
【点评】
本题结合折叠问题考查一元二次方程的实际应用，解题时需要结合实际意义对方程的根进行取舍，第三问需分类讨论不同裁剪方式，能有效锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
