3. 下列将一元二次方程转化为两个一元一次方程的过程正确的是()。

A.由 $ x(x+1)=0 $ 得 $ x+1=0 $
B.由 $ (x+1)(x-2)=1 $ 得 $ x+1=0 $ 或 $ x-2=1 $
C.由 $ (x-1)(x-2)=2×3 $ 得 $ x-1=2 $ 或 $ x-2=3 $
D.由 $ (x-2)(3x-4)=0 $ 得 $ x-2=0 $ 或 $ 3x-4=0 $

3.D

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心依据，解题思路如下：首先明确零乘积性质：若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0，即$ab=0$等价于$a=0$或$b=0$，该性质仅在乘积为0时成立。解题时只需逐一验证每个选项是否符合零乘积性质的使用条件，判断转化是否正确即可。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的依据是零乘积性质：若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，使用该性质的前提是两个因式的乘积为0。
对各选项逐一分析：
A选项：由$x(x+1)=0$，应得到$x=0$或$x+1=0$，选项遗漏了$x=0$的情况，转化错误；
B选项：方程$(x+1)(x-2)=1$的右边为1，不是0，不符合零乘积性质的使用条件，不能直接拆分为$x+1=0$或$x-2=1$，转化错误；
C选项：方程$(x-1)(x-2)=2×3$的右边为6，不是0，不符合零乘积性质的使用条件，不能直接拆分为$x-1=2$或$x-2=3$，转化错误；
D选项：方程$(x-2)(3x-4)=0$符合$ab=0$的形式，由零乘积性质可得$x-2=0$或$3x-4=0$，转化正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 零乘积性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对因式分解法解方程适用条件的理解，解题时要注意必须先将方程整理为“左边为若干个一次因式乘积、右边为0”的形式，才能使用零乘积性质拆分求解，切勿对乘积非0的方程随意拆分因式。
【难度系数】
0.8

4. 下面是小明解一元二次方程的过程,阅读并解决问题:
解方程:$5(x+1)^2 = x+1$。
解:两边都除以$(x+1)$,得 $5(x+1)=1$。
……………………………… 第一步
整理,得 $5x=4$。 …………………… 第二步
所以 $x=\frac{4}{5}$。 ……………………… 第三步
任务:
(1)小明从第步开始出现错误,产生错误原因是;
(2)原方程正确的解为;
(3)解方程:$(3x-1)^2 = 4(3x-1)$。

4.(1)一 两边都除以$(x+1)$,而$x+1$可能为0
(2)$x_1=-1,x_2=-\frac{4}{5}$
(3)解:$x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{5}{3}$。

【分析】
这道题围绕一元二次方程的解法展开，解题时需注意等式性质的使用条件：等式两边同时除以的整式不能为0，否则会丢失方程的根。解题思路如下：(1)判断小明的错误步骤，需结合等式性质的适用条件分析；(2)解原方程时，先移项将右边的项移到左边，再提取公因式$(x+1)$，转化为两个一元一次方程求解；(3)第三问的解法和第二问思路一致，移项后提取公因式$(3x-1)$，再解两个一次方程即可。
【解析】
(1) 小明在第一步直接将方程两边除以$(x+1)$，根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，此处$x+1$的值可能为0，直接除以会丢失根，因此第一步开始出错，错误原因是两边都除以$(x+1)$，而$x+1$可能为0。
(2) 正确求解原方程：
移项，得 $5(x+1)^2 - (x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得 $(x+1)[5(x+1)-1] = 0$
整理括号内的式子，得 $(x+1)(5x+4) = 0$
因此 $x+1=0$ 或 $5x+4=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=-\frac{4}{5}$
(3) 解方程$(3x-1)^2 = 4(3x-1)$：
移项，得 $(3x-1)^2 - 4(3x-1) = 0$
提取公因式$(3x-1)$，得 $(3x-1)(3x-1-4) = 0$
整理，得 $(3x-1)(3x-5) = 0$
因此 $3x-1=0$ 或 $3x-5=0$
解得 $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) 一；两边都除以$(x+1)$，而$x+1$可能为0
(2) $x_1=-1,x_2=-\frac{4}{5}$
(3) $x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{5}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；等式的性质；一元二次方程的根
【点评】
本题重点考查解一元二次方程的注意事项，要牢记不能随意除以可能为0的整式，否则会造成丢根的情况，因式分解法是解这类一元二次方程的简便方法，需熟练掌握移项、提公因式的操作步骤。
【难度系数】
0.7

5. 如图，若输入的x值为4，则输出的y值为7；若输出的y值为13，则输入的x值为。

5.-3或7

【分析】
首先根据已知输入x=4时输出y=7的条件，先求出参数b的值：x=4＞3，对应代入一次函数解析式y=2x+b即可算出b。再求y=13时的输入x，需根据分段函数的取值范围分两种情况讨论：①x＞3时代入一次函数求解；②x≤3时代入二次函数求解，最后验证所求x是否符合对应范围，舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
第一步：求参数b的值
当输入x=4时，
∵4＞3，
∴代入y=2x+b，得：
$7=2×4 + b$
解得$b=-1$
因此分段函数为：当$x＞3$时，$y=2x-1$；当$x≤3$时，$y=x^2 -x +1$
第二步：求y=13时的x值，分两种情况讨论：
①当$x＞3$时，令$2x -1=13$
解得：$2x=14$，$x=7$
∵$7＞3$，符合取值范围，保留；
②当$x≤3$时，令$x^2 -x +1=13$
整理得：$x^2 -x -12=0$
因式分解得：$(x-4)(x+3)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$
∵$x≤3$，
∴$x=4$不符合范围，舍去，$x=-3$符合范围，保留。
综上，输入的x值为-3或7。
【答案】
-3或7
【知识点】
分段函数，解一元二次方程，分类讨论
【点评】
本题结合程序框图考查分段函数的应用，解题核心是先求出未知参数b，再根据分段的取值范围分类讨论求解，注意要对求解结果进行范围验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

6. 解一元二次方程$x^2 - 2x = 3$时，甲、乙两位同学的解法如下：

甲、乙两位同学的解法都正确吗？若不正确，请改正。

解:都不正确。
甲同学的改正:
$x^2-2x=3$。
$x^2-2x+1=3+1$。
$(x-1)^2=4$。
$x-1=2,或x-1=-2$。
$x_1=3,x_2=-1$。
乙同学的改正:
这里$a=1,b=-2,c=-3$。
$b^2-4ac=4+12=16＞0$,
所以$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2\pm4}{2}$,
即$x_1=3,x_2=-1$。

【分析】
要判断甲乙两位同学的解法是否正确，需对应各自使用的解法规则核验：
1. 甲同学的解法错误：因式分解法解一元二次方程的核心是“若ab=0，则a=0或b=0”，因此必须先把方程整理为右边为0的形式，再对左边因式分解，甲没有移项就直接拆分右边为3的方程，逻辑不成立。
2. 乙同学的解法错误：公式法解一元二次方程需要先把方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能对应确定$a、b、c$的值，乙未移项直接取$c=3$，常数项符号错误，导致判别式计算错误。
改正时，甲可以使用配方法，或者先移项再用因式分解法求解；乙先移项得到一般式，再代入求根公式计算即可。
【解析】
解：甲、乙两位同学的解法都不正确。
甲同学解法改正：
原方程$x^2 - 2x = 3$，
配方，两边同时加1得：$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，
整理得：$(x-1)^2 = 4$，
开方得：$x-1=2$或$x-1=-2$，
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
乙同学解法改正：
先将原方程移项化为一般形式：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
可得$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，
计算判别式：$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x = \frac{-(-2)±\sqrt{16}}{2×1} = \frac{2±4}{2}$，
即$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
甲、乙两位同学的解法都不正确，改正后方程的解为$x_1=3$，$x_2=-1$，改正过程如下：
甲同学的改正:
$x^2-2x=3$
$x^2-2x+1=3+1$
$(x-1)^2=4$
$x-1=2$或$x-1=-2$
$x_1=3,x_2=-1$
乙同学的改正:
将方程化为一般形式$x^2-2x-3=0$，得$a=1,b=-2,c=-3$
$b^2-4ac=4+12=16＞0$
所以$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2\pm4}{2}$
即$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，需要注意不同解法的使用前提：使用因式分解法时要先将方程右边化为0，使用公式法时要先把方程整理为一般形式，避免常数项符号出错，熟练掌握各类解法的步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.7