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1.【数学应用】如图，矩形ABCD是由三个矩形拼成的，已知$AB=10$，阴影部分矩形的面积为48，另外两个矩形全等。设$BC=x$，则根据题意可列方程为(
A.$x(2x-10)=48$
B.$x(2x+10)=48$
C.$10x - x(10 - x)=48$
D.$10x + 2x(10 - x)=48$
A
)。A.$x(2x-10)=48$
B.$x(2x+10)=48$
C.$10x - x(10 - x)=48$
D.$10x + 2x(10 - x)=48$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：大矩形ABCD的长AB=10，宽BC=x，两个空白矩形全等，阴影矩形面积为48。首先根据全等矩形的性质，可知空白矩形的长等于大矩形的宽x；再结合AB的长度可求出空白矩形的宽为10-x；接着推导阴影矩形的边长：阴影矩形的水平边长等于空白矩形的长x，竖直边长等于大矩形的宽减去空白矩形的宽，即x-(10-x)=2x-10；最后根据矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
∵两个空白矩形全等，
∴空白矩形的长等于BC的长度，即长为x，
又
∵AB=10，且AB的长度=空白矩形的长+空白矩形的宽，
∴空白矩形的宽=10 - x，
观察图形可得：阴影矩形的水平边长等于空白矩形的长x，
阴影矩形的竖直边长=BC - 空白矩形的宽 = x - (10 - x) = 2x - 10，
已知阴影部分矩形的面积为48，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$x(2x - 10) = 48$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形的性质，全等图形的性质
【点评】
本题是结合几何图形的方程列写题，核心是利用全等图形的性质找到未知边的表达式，再结合面积公式建立等量关系，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：大矩形ABCD的长AB=10，宽BC=x，两个空白矩形全等，阴影矩形面积为48。首先根据全等矩形的性质，可知空白矩形的长等于大矩形的宽x；再结合AB的长度可求出空白矩形的宽为10-x；接着推导阴影矩形的边长：阴影矩形的水平边长等于空白矩形的长x，竖直边长等于大矩形的宽减去空白矩形的宽，即x-(10-x)=2x-10；最后根据矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
∵两个空白矩形全等，
∴空白矩形的长等于BC的长度，即长为x，
又
∵AB=10，且AB的长度=空白矩形的长+空白矩形的宽，
∴空白矩形的宽=10 - x，
观察图形可得：阴影矩形的水平边长等于空白矩形的长x，
阴影矩形的竖直边长=BC - 空白矩形的宽 = x - (10 - x) = 2x - 10，
已知阴影部分矩形的面积为48，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$x(2x - 10) = 48$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形的性质，全等图形的性质
【点评】
本题是结合几何图形的方程列写题，核心是利用全等图形的性质找到未知边的表达式，再结合面积公式建立等量关系，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$。点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $AC$ 运动；同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $CB$ 运动，当点 $Q$ 到达点 $B$ 时，点 $P$ 也停止运动。当 $△ PCQ$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$ 时，运动时间为
1
s。答案
2.1
解析
【分析】
这是一道动点结合面积求解的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出线段PC、CQ的长度；由于∠C是直角，△PCQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的方程；求解方程后，结合点Q的运动时长限制，舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，由题意可知$ 0≤ t≤ 4 $（点Q从C到B的时长为$ 8÷2=4\ \mathrm{s} $）。
点P的速度为$ 1\ \mathrm{cm/s} $，故$ AP = t\ \mathrm{cm} $，则$ PC = AC - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm} $；
点Q的速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，故$ CQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ ACB=90° $，所以$ S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ $，代入面积为$ 5\ \mathrm{cm}^2 $得：
$\frac{1}{2}×(6 - t)×2t = 5$
化简得：
$t(6 - t)=5$
整理为一元二次方程标准形式：
$t^2 - 6t + 5 = 0$
因式分解得$ (t - 1)(t - 5)=0 $，解得$ t_1=1 $，$ t_2=5 $。
因为$ t=5＞4 $，不符合运动时长限制，故舍去，因此$ t=1 $。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，动点问题求解
【点评】
本题属于基础的方程应用类动点题，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，结合几何公式列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
这是一道动点结合面积求解的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出线段PC、CQ的长度；由于∠C是直角，△PCQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的方程；求解方程后，结合点Q的运动时长限制，舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，由题意可知$ 0≤ t≤ 4 $（点Q从C到B的时长为$ 8÷2=4\ \mathrm{s} $）。
点P的速度为$ 1\ \mathrm{cm/s} $，故$ AP = t\ \mathrm{cm} $，则$ PC = AC - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm} $；
点Q的速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，故$ CQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ ACB=90° $，所以$ S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ $，代入面积为$ 5\ \mathrm{cm}^2 $得：
$\frac{1}{2}×(6 - t)×2t = 5$
化简得：
$t(6 - t)=5$
整理为一元二次方程标准形式：
$t^2 - 6t + 5 = 0$
因式分解得$ (t - 1)(t - 5)=0 $，解得$ t_1=1 $，$ t_2=5 $。
因为$ t=5＞4 $，不符合运动时长限制，故舍去，因此$ t=1 $。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，动点问题求解
【点评】
本题属于基础的方程应用类动点题，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，结合几何公式列方程求解，最后要注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
3.【数学应用】某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长36 dm、宽12 dm的矩形海报上展示两位运动健儿的照片，每幅矩形照片（灰色部分）的面积均为165 dm²。若海报外沿与照片之间及两幅照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度。
答案
3.解:设空白区域的宽度为 $x$ dm。
根据题意得$(36-3x)(12-2x)=165×2$。
解得 $x_1=1,x_2=17$(不合题意,舍去)。
故空白区域的宽度为 1 dm。
根据题意得$(36-3x)(12-2x)=165×2$。
解得 $x_1=1,x_2=17$(不合题意,舍去)。
故空白区域的宽度为 1 dm。
解析
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先设空白区域的宽度为$x$ dm；2. 分析图形中空白区域的数量：水平方向共有3处空白（海报左沿与左照片、两张照片之间、海报右沿与右照片），因此两张照片拼合后的总长度为$(36-3x)$ dm；竖直方向共有2处空白（海报上沿与照片、海报下沿与照片），因此照片的高度为$(12-2x)$ dm；3. 根据“两张照片的总面积=单张面积×2”列出方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设空白区域的宽度为$x$ dm。
由题意可知，两张照片拼合后的总长度为$(36-3x)$ dm，总高度为$(12-2x)$ dm，两张照片的总面积为$165×2$ dm²，据此列方程：
$(36-3x)(12-2x)=165×2$
整理得：
$x^2-18x+17=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-17)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=17$。
检验：当$x=17$时，$12-2x=-22＜0$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
1 dm
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，解题的核心是正确分析空白区域的数量，准确用含未知数的代数式表示出照片组合后的长和宽，求解后要注意结合实际场景判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先设空白区域的宽度为$x$ dm；2. 分析图形中空白区域的数量：水平方向共有3处空白（海报左沿与左照片、两张照片之间、海报右沿与右照片），因此两张照片拼合后的总长度为$(36-3x)$ dm；竖直方向共有2处空白（海报上沿与照片、海报下沿与照片），因此照片的高度为$(12-2x)$ dm；3. 根据“两张照片的总面积=单张面积×2”列出方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设空白区域的宽度为$x$ dm。
由题意可知，两张照片拼合后的总长度为$(36-3x)$ dm，总高度为$(12-2x)$ dm，两张照片的总面积为$165×2$ dm²，据此列方程：
$(36-3x)(12-2x)=165×2$
整理得：
$x^2-18x+17=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-17)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=17$。
检验：当$x=17$时，$12-2x=-22＜0$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
1 dm
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，解题的核心是正确分析空白区域的数量，准确用含未知数的代数式表示出照片组合后的长和宽，求解后要注意结合实际场景判断根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
1.【数学应用】如图,在一块长 30 m、宽20 m的矩形田地上,修建同样宽的三条道路,把田地分成六块,种植不同的蔬菜,使种植蔬菜的面积为 468 m²。设道路的宽为 x m,则根据题意可列方程为(
A.$(30-x)(20-2x)=468$
B.$20×30-30x-2×20x=468$
C.$(30-2x)(20-x)=468$
D.$20×30-30x-20x=468$
C
)。A.$(30-x)(20-2x)=468$
B.$20×30-30x-2×20x=468$
C.$(30-2x)(20-x)=468$
D.$20×30-30x-20x=468$
答案
1.C
解析
【分析】
解这道题可采用平移法简化计算：首先观察道路分布，有2条竖直方向、1条水平方向的等宽道路，若将道路向矩形田地的边缘平移，六块种植蔬菜的区域可拼接成一个新的完整矩形，只需计算这个新矩形的长和宽，结合种植面积即可列出方程。若直接用总面积减道路面积，需注意道路交叉处的重叠部分被重复扣除，容易出错，因此平移法是更简便的思路。
【解析】
将三条道路分别向矩形田地的边缘平移，种植蔬菜的区域可拼接为一个新矩形：
1. 竖直方向共2条道路，每条宽$x\ \mathrm{m}$，因此新矩形的长为原长减去2条道路的宽度，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 水平方向共1条道路，宽$x\ \mathrm{m}$，因此新矩形的宽为原宽减去1条道路的宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知种植蔬菜的面积为$468\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=468$
因此选项C正确。
补充：选项B、D直接减去道路面积，未考虑道路交叉处的重叠部分被重复扣除，计算错误；选项A混淆了长和宽需要扣除的道路宽度，也错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，图形面积计算，平移法巧算面积
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，平移法可以避免计算重叠区域面积的麻烦，是解决这类问题的常用技巧，解题时要先明确道路的数量和分布方向，再准确计算拼接后矩形的长宽。
【难度系数】
0.7
解这道题可采用平移法简化计算：首先观察道路分布，有2条竖直方向、1条水平方向的等宽道路，若将道路向矩形田地的边缘平移，六块种植蔬菜的区域可拼接成一个新的完整矩形，只需计算这个新矩形的长和宽，结合种植面积即可列出方程。若直接用总面积减道路面积，需注意道路交叉处的重叠部分被重复扣除，容易出错，因此平移法是更简便的思路。
【解析】
将三条道路分别向矩形田地的边缘平移，种植蔬菜的区域可拼接为一个新矩形：
1. 竖直方向共2条道路，每条宽$x\ \mathrm{m}$，因此新矩形的长为原长减去2条道路的宽度，即$(30-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 水平方向共1条道路，宽$x\ \mathrm{m}$，因此新矩形的宽为原宽减去1条道路的宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知种植蔬菜的面积为$468\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=468$
因此选项C正确。
补充：选项B、D直接减去道路面积，未考虑道路交叉处的重叠部分被重复扣除，计算错误；选项A混淆了长和宽需要扣除的道路宽度，也错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，图形面积计算，平移法巧算面积
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，平移法可以避免计算重叠区域面积的麻烦，是解决这类问题的常用技巧，解题时要先明确道路的数量和分布方向，再准确计算拼接后矩形的长宽。
【难度系数】
0.7
2.【数学文化】《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门宽比竿长短4尺；长竿竖着进门，竿长比门高长2尺；竿斜着穿过门的对角，恰好进门。门的宽、高和竿长各是多少？如图，所求竿长为
10
尺。（尺，我国古代长度单位）答案
2.10
解析
【分析】我们可先将实际问题转化为几何模型：房门为矩形，门的宽、高和对角线恰好构成直角三角形。首先设竿长为未知数，根据横拿、竖拿时竿长和门宽、门高的数量关系，分别表示出门的宽和高，再利用直角三角形的勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到竿长。
【解析】设竿长为$ x $尺。
由题意得：门的宽为$ (x-4) $尺，门的高为$ (x-2) $尺，门的对角线长度等于竿长$ x $尺。
根据勾股定理列方程：
$(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 -8x +16 + x^2 -4x +4 = x^2$
$x^2 -12x +20 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x-2)=0$
解得$ x_1=10 $，$ x_2=2 $。
检验：当$ x=2 $时，门宽$ x-4=-2 $，长度不能为负，不符合实际，舍去；当$ x=10 $时，门宽为$ 10-4=6 $尺，门高为$ 10-2=8 $尺，均符合实际意义。
【答案】10
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】本题结合传统数学文化考查实际问题的数学建模能力，解题关键是找准等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】0.7
【解析】设竿长为$ x $尺。
由题意得：门的宽为$ (x-4) $尺，门的高为$ (x-2) $尺，门的对角线长度等于竿长$ x $尺。
根据勾股定理列方程：
$(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 -8x +16 + x^2 -4x +4 = x^2$
$x^2 -12x +20 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x-2)=0$
解得$ x_1=10 $，$ x_2=2 $。
检验：当$ x=2 $时，门宽$ x-4=-2 $，长度不能为负，不符合实际，舍去；当$ x=10 $时，门宽为$ 10-4=6 $尺，门高为$ 10-2=8 $尺，均符合实际意义。
【答案】10
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】本题结合传统数学文化考查实际问题的数学建模能力，解题关键是找准等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】0.7
