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1.若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$(1,0),(-3,0)$，则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的解为(
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
D
)。A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路基于二次函数与对应一元二次方程的关系：首先明确，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是$y=0$时x的取值，也就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取交点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知二次函数图象与x轴交于$(1,0)$和$(-3,0)$，两个交点的横坐标为1和-3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础概念题，考察核心知识点的直接应用，无需复杂计算，掌握二次函数图象与x轴交点和对应方程解的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路基于二次函数与对应一元二次方程的关系：首先明确，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是$y=0$时x的取值，也就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取交点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知二次函数图象与x轴交于$(1,0)$和$(-3,0)$，两个交点的横坐标为1和-3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1,x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础概念题，考察核心知识点的直接应用，无需复杂计算，掌握二次函数图象与x轴交点和对应方程解的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等且同号的实数根
D.有两个不相等且异号的实数根
D
）。A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等且同号的实数根
D.有两个不相等且异号的实数根
答案
2.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况，可结合二次函数与一元二次方程的关系思考：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是对应方程的实数根。因此首先观察抛物线与$x$轴的交点个数，确定根的数量；再观察交点所在的半轴位置，确定根的符号即可得出结论。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：
1. 观察图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有2个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根；
2. 两个交点分别位于$x$轴的负半轴和正半轴，说明两个根一个为负、一个为正，即两根异号。
综上，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等且异号的实数根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系;二次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象与一元二次方程结合的基础题，核心是理解二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，只要能正确观察图象的交点特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况，可结合二次函数与一元二次方程的关系思考：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是对应方程的实数根。因此首先观察抛物线与$x$轴的交点个数，确定根的数量；再观察交点所在的半轴位置，确定根的符号即可得出结论。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：
1. 观察图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有2个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根；
2. 两个交点分别位于$x$轴的负半轴和正半轴，说明两个根一个为负、一个为正，即两根异号。
综上，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等且异号的实数根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系;二次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象与一元二次方程结合的基础题，核心是理解二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，只要能正确观察图象的交点特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表，则方程$ax^2+bx+c=0$的负数根$x$的取值范围是（
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$
B
）。A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$
答案
3.B
解析
【分析】
我们首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，因此当相邻两个$x$对应的$y$值符号相反时，这两个$x$之间一定存在一个值使得$y=0$，也就是这个区间包含方程的一个根。题目要求找负数根，所以只需观察$x$为负数的区间内$y$值的符号变化：从表格可知$x=-3$时$y=1＞0$，$x=-2$时$y=-0.75＜0$，说明$y=0$对应的$x$就在$-3$到$-2$之间，这就是方程负数根的取值范围。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格中$x＜0$的对应函数值：
当$x=-3$时，$y=1＞0$；
当$x=-2$时，$y=-0.75＜0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以在$-3＜x＜-2$的范围内一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的负数根的取值范围是$-3＜x＜-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象性质
3. 估算一元二次方程的根
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题核心是理解方程的根与函数$y=0$时$x$取值的对应关系，结合表格中函数值的正负变化即可快速判断根所在的区间。
【难度系数】
0.7
我们首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，因此当相邻两个$x$对应的$y$值符号相反时，这两个$x$之间一定存在一个值使得$y=0$，也就是这个区间包含方程的一个根。题目要求找负数根，所以只需观察$x$为负数的区间内$y$值的符号变化：从表格可知$x=-3$时$y=1＞0$，$x=-2$时$y=-0.75＜0$，说明$y=0$对应的$x$就在$-3$到$-2$之间，这就是方程负数根的取值范围。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格中$x＜0$的对应函数值：
当$x=-3$时，$y=1＞0$；
当$x=-2$时，$y=-0.75＜0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以在$-3＜x＜-2$的范围内一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的负数根的取值范围是$-3＜x＜-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象性质
3. 估算一元二次方程的根
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题核心是理解方程的根与函数$y=0$时$x$取值的对应关系，结合表格中函数值的正负变化即可快速判断根所在的区间。
【难度系数】
0.7
4. 根据表格中的数据，方程$x^2 + x - 1 = 0$的一个近似解$x=$
-1.6
。（精确到0.1）答案
4.-1.6
解析
【分析】
要确定方程$x^2+x-1=0$的近似解，首先明确方程的解对应二次函数$y=x^2+x-1$的函数值为0时的x值，也就是函数图像与x轴交点的横坐标。我们可以通过表格中函数值的正负变化确定解所在的区间，再结合精确到0.1的要求判断近似解：首先找到函数值由正变负（或负变正）的相邻两个x值，确定解在这两个x之间，再看区间内的数精确到0.1的结果，同时对比两个端点函数值的绝对值，绝对值越小说明对应x越接近方程的解。
【解析】
方程$x^2+x-1=0$的解是二次函数$y=x^2+x-1$中$y=0$时对应的x值。
观察表格数据：
当$x=-1.65$时，$x^2+x-1=0.07＞0$；
当$x=-1.6$时，$x^2+x-1=-0.04＜0$；
因此方程的一个解在$-1.65$和$-1.6$之间。
该区间内的所有数精确到0.1时均为$-1.6$，且$x=-1.6$对应的函数值绝对值更小，更接近0，因此方程的近似解为$-1.6$。
【答案】
$-1.6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似解估算
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化定位一元二次方程解的范围，解题时要注意结合精确要求判断最终结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要确定方程$x^2+x-1=0$的近似解，首先明确方程的解对应二次函数$y=x^2+x-1$的函数值为0时的x值，也就是函数图像与x轴交点的横坐标。我们可以通过表格中函数值的正负变化确定解所在的区间，再结合精确到0.1的要求判断近似解：首先找到函数值由正变负（或负变正）的相邻两个x值，确定解在这两个x之间，再看区间内的数精确到0.1的结果，同时对比两个端点函数值的绝对值，绝对值越小说明对应x越接近方程的解。
【解析】
方程$x^2+x-1=0$的解是二次函数$y=x^2+x-1$中$y=0$时对应的x值。
观察表格数据：
当$x=-1.65$时，$x^2+x-1=0.07＞0$；
当$x=-1.6$时，$x^2+x-1=-0.04＜0$；
因此方程的一个解在$-1.65$和$-1.6$之间。
该区间内的所有数精确到0.1时均为$-1.6$，且$x=-1.6$对应的函数值绝对值更小，更接近0，因此方程的近似解为$-1.6$。
【答案】
$-1.6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似解估算
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化定位一元二次方程解的范围，解题时要注意结合精确要求判断最终结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
1.如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是（
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
B
）。A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。第一步先从图象中提取信息：抛物线对称轴为直线$x=-1$，且x=0时函数值为1＞0，x=1时函数值小于0，可先确定右侧交点横坐标的范围；第二步利用二次函数的对称性，两个交点关于对称轴对称，即可推出左侧交点横坐标的范围，也就是方程其中一个根的取值范围。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。
1. 由图象可知：抛物线对称轴为直线$x=-1$；当$x=0$时，$y=1＞0$，当$x=1$时，$y＜0$，因此抛物线与x轴右侧交点的横坐标$x_1$满足$0＜x_1＜1$。
2. 设左侧交点横坐标为$x_2$，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此两点到对称轴的距离相等，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，整理得$x_2=-2-x_1$。
3. 结合$0＜x_1＜1$，对不等式变形：
不等式两边同时乘$-1$，得$-1＜-x_1＜0$；
两边同时减2，得$-3＜-2-x_1＜-2$，即$-3＜x_2＜-2$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$-3＜x＜-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 函数图象判断交点范围
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是利用二次函数图象和一元二次方程的对应关系，结合二次函数的对称性求解根的范围，解题时要注意准确从图象中提取对称轴、特殊点的函数值等关键信息。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。第一步先从图象中提取信息：抛物线对称轴为直线$x=-1$，且x=0时函数值为1＞0，x=1时函数值小于0，可先确定右侧交点横坐标的范围；第二步利用二次函数的对称性，两个交点关于对称轴对称，即可推出左侧交点横坐标的范围，也就是方程其中一个根的取值范围。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。
1. 由图象可知：抛物线对称轴为直线$x=-1$；当$x=0$时，$y=1＞0$，当$x=1$时，$y＜0$，因此抛物线与x轴右侧交点的横坐标$x_1$满足$0＜x_1＜1$。
2. 设左侧交点横坐标为$x_2$，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此两点到对称轴的距离相等，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，整理得$x_2=-2-x_1$。
3. 结合$0＜x_1＜1$，对不等式变形：
不等式两边同时乘$-1$，得$-1＜-x_1＜0$；
两边同时减2，得$-3＜-2-x_1＜-2$，即$-3＜x_2＜-2$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$-3＜x＜-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 函数图象判断交点范围
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是利用二次函数图象和一元二次方程的对应关系，结合二次函数的对称性求解根的范围，解题时要注意准确从图象中提取对称轴、特殊点的函数值等关键信息。
【难度系数】
0.7
2. 小明探索方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数)的根时，画出了如图所示的图象，并求得一个近似根$x=-3.4$，则方程的另一个近似根为(
A.$x=2.4$
B.$x=2.6$
C.$x=1.4$
D.$x=1.6$
C
)。(精确到0.1)A.$x=2.4$
B.$x=2.6$
C.$x=1.4$
D.$x=1.6$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数抛物线的对称性解题。第一步：回忆知识点，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根；第二步：抛物线是轴对称图形，对称轴是两个交点连线的垂直平分线，即两个根的中点横坐标等于对称轴的横坐标；第三步：已知一个根和对称轴，利用中点关系列方程即可求出另一个根。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，
又
∵ 抛物线是轴对称图形，本题中抛物线对称轴为直线$x=-1$，因此两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个根的中点横坐标为$-1$。
设方程的另一个近似根为$x$，根据中点坐标公式可得：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$-3.4 + x = -2$
解得：$x = -2 + 3.4 = 1.4$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的关联，以及抛物线对称轴的性质，通过对称性可以快速求解方程的未知根，不需要求解函数解析式，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数抛物线的对称性解题。第一步：回忆知识点，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根；第二步：抛物线是轴对称图形，对称轴是两个交点连线的垂直平分线，即两个根的中点横坐标等于对称轴的横坐标；第三步：已知一个根和对称轴，利用中点关系列方程即可求出另一个根。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，
又
∵ 抛物线是轴对称图形，本题中抛物线对称轴为直线$x=-1$，因此两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个根的中点横坐标为$-1$。
设方程的另一个近似根为$x$，根据中点坐标公式可得：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$-3.4 + x = -2$
解得：$x = -2 + 3.4 = 1.4$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的关联，以及抛物线对称轴的性质，通过对称性可以快速求解方程的未知根，不需要求解函数解析式，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
