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3. 下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）部分$x$和$y$的对应值，则方程$ax^2+bx+c=0$的较小根$x_1$的取值范围是
$-3＜x_1＜-2$
。答案
3.$-3＜x_1＜-2$
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的较小根的范围，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是对应方程的根，当函数值y在某个x区间内正负发生变化时，该区间内就存在方程的一个根。首先观察表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再找到y值正负变化的区间确定其中一个根的范围，最后利用二次函数的对称性即可推出较小根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴：观察表格可知，当$x=-2$和$x=0$时，$y$的值均为$-2$，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
2. 确定其中一个根的范围：当$x=0$时，$y=-2＜0$；当$x=1$时，$y=1＞0$，说明二次函数在$0＜x＜1$区间内与x轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x_2$满足$0＜x_2＜1$。
3. 利用对称性求较小根的范围：二次函数的两个根关于对称轴$x=-1$对称，设较小根为$x_1$，则有$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，变形得$x_1=-2-x_2$。
因为$0＜x_2＜1$，对不等式变形：
两边同乘$-1$得$-1＜-x_2＜0$，
两边同时加$-2$得$-3＜-2-x_2＜-2$，
即$-3＜x_1＜-2$。
【答案】
$-3＜x_1＜-2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；利用函数值判断根的范围
【点评】
本题核心是利用二次函数的性质求解对应方程根的范围，解题的关键是先通过对称点快速确定对称轴，再结合函数值的正负变化确定其中一个根的区间，最后利用对称性推导另一个根的范围，属于二次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的较小根的范围，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是对应方程的根，当函数值y在某个x区间内正负发生变化时，该区间内就存在方程的一个根。首先观察表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再找到y值正负变化的区间确定其中一个根的范围，最后利用二次函数的对称性即可推出较小根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴：观察表格可知，当$x=-2$和$x=0$时，$y$的值均为$-2$，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
2. 确定其中一个根的范围：当$x=0$时，$y=-2＜0$；当$x=1$时，$y=1＞0$，说明二次函数在$0＜x＜1$区间内与x轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x_2$满足$0＜x_2＜1$。
3. 利用对称性求较小根的范围：二次函数的两个根关于对称轴$x=-1$对称，设较小根为$x_1$，则有$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，变形得$x_1=-2-x_2$。
因为$0＜x_2＜1$，对不等式变形：
两边同乘$-1$得$-1＜-x_2＜0$，
两边同时加$-2$得$-3＜-2-x_2＜-2$，
即$-3＜x_1＜-2$。
【答案】
$-3＜x_1＜-2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；利用函数值判断根的范围
【点评】
本题核心是利用二次函数的性质求解对应方程根的范围，解题的关键是先通过对称点快速确定对称轴，再结合函数值的正负变化确定其中一个根的区间，最后利用对称性推导另一个根的范围，属于二次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中$x$与$y$的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（
A.函数图象的开口向上
B.当$x=4$时，$y＞0$
C.函数图象与$y$轴交于负半轴
D.方程$ax^2+bx+c=0$的正根在2与3之间
D
）。A.函数图象的开口向上
B.当$x=4$时，$y＞0$
C.函数图象与$y$轴交于负半轴
D.方程$ax^2+bx+c=0$的正根在2与3之间
答案
4.D
解析
【分析】
首先观察表格中y值相等的两组x、y对应值，可确定二次函数的对称轴；再结合对称轴两侧y值的变化判断开口方向，也可代入已知点求出函数解析式，再逐一分析各选项是否正确。
第一步：找对称点确定对称轴：x=0和x=2时y都为1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点为$(1,3)$，由x=0、x=2时y值均小于顶点y值，可知开口向下。
第二步：求函数解析式：设顶点式为$y=a(x-1)^2+3$，代入$(0,1)$求出$a=-2$，得解析式为$y=-2(x-1)^2+3$。
第三步：逐个验证选项：A选项开口向下，错误；C选项x=0时y=1，与y轴交于正半轴，错误；B选项代入x=4得y=-15＜0，错误；D选项计算得x=2时y=1＞0，x=3时y=-5＜0，函数在x＞1时单调递减，因此y=0的正根在2和3之间，正确。
【解析】
1. 确定对称轴：由表格可知，当x=0和x=2时，y的值都是1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
2. 判断A选项：在对称轴两侧，x=0、x=2对应的y值均小于顶点的y值3，因此函数图象开口向下，A错误。
3. 判断C选项：当x=0时，y=1，因此函数图象与y轴交于点$(0,1)$，属于正半轴，C错误。
4. 求函数解析式：设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2+3$，将点$(0,1)$代入得：
$1=a(0-1)^2+3$，解得$a=-2$，
因此函数解析式为$y=-2(x-1)^2+3$。
5. 判断B选项：将x=4代入解析式，得$y=-2×(4-1)^2+3=-15＜0$，B错误。
6. 判断D选项：当x=2时，$y=1＞0$；当x=3时，代入解析式得$y=-2×(3-1)^2+3=-5＜0$。
由于函数在$x＞1$时y随x的增大而减小，因此当y=0时，对应的正x值在2和3之间，即方程$ax^2+bx+c=0$的正根在2与3之间，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的典型题型，解题关键是利用表格中的对称点快速确定对称轴，再结合二次函数的增减性、与坐标轴交点等性质逐一判断选项，也可通过求出解析式辅助分析，能很好地考查对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中y值相等的两组x、y对应值，可确定二次函数的对称轴；再结合对称轴两侧y值的变化判断开口方向，也可代入已知点求出函数解析式，再逐一分析各选项是否正确。
第一步：找对称点确定对称轴：x=0和x=2时y都为1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点为$(1,3)$，由x=0、x=2时y值均小于顶点y值，可知开口向下。
第二步：求函数解析式：设顶点式为$y=a(x-1)^2+3$，代入$(0,1)$求出$a=-2$，得解析式为$y=-2(x-1)^2+3$。
第三步：逐个验证选项：A选项开口向下，错误；C选项x=0时y=1，与y轴交于正半轴，错误；B选项代入x=4得y=-15＜0，错误；D选项计算得x=2时y=1＞0，x=3时y=-5＜0，函数在x＞1时单调递减，因此y=0的正根在2和3之间，正确。
【解析】
1. 确定对称轴：由表格可知，当x=0和x=2时，y的值都是1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
2. 判断A选项：在对称轴两侧，x=0、x=2对应的y值均小于顶点的y值3，因此函数图象开口向下，A错误。
3. 判断C选项：当x=0时，y=1，因此函数图象与y轴交于点$(0,1)$，属于正半轴，C错误。
4. 求函数解析式：设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2+3$，将点$(0,1)$代入得：
$1=a(0-1)^2+3$，解得$a=-2$，
因此函数解析式为$y=-2(x-1)^2+3$。
5. 判断B选项：将x=4代入解析式，得$y=-2×(4-1)^2+3=-15＜0$，B错误。
6. 判断D选项：当x=2时，$y=1＞0$；当x=3时，代入解析式得$y=-2×(3-1)^2+3=-5＜0$。
由于函数在$x＞1$时y随x的增大而减小，因此当y=0时，对应的正x值在2和3之间，即方程$ax^2+bx+c=0$的正根在2与3之间，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的典型题型，解题关键是利用表格中的对称点快速确定对称轴，再结合二次函数的增减性、与坐标轴交点等性质逐一判断选项，也可通过求出解析式辅助分析，能很好地考查对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5.【数学应用】在运动会比赛时，一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图，其中 y 表示铅球向上运动的高度(单位:m)，x 表示铅球向前运动的水平距离(单位:m)。已知铅球出手处点 A 距离地面的高度为2 m，铅球经过路线的最高处点 B 距离地面的高度为5 m，A，B 两点的水平距离为6 m。
(1)求二次函数的表达式。
(2)规定推出铅球水平距离大于或等于13.5 m为“好成绩”。试通过计算说明该同学能否取得“好成绩”。(参考数据：$\sqrt{15}\approx3.873$)
(1)求二次函数的表达式。
(2)规定推出铅球水平距离大于或等于13.5 m为“好成绩”。试通过计算说明该同学能否取得“好成绩”。(参考数据：$\sqrt{15}\approx3.873$)
答案
5.解:(1)设二次函数的表达式为 $y=a(x-6)^2+5$。
∵点 A 距离地面的高度为 2 m，
∴A(0,2)在抛物线上，
∴$2=a×(-6)^2+5$,解得 $a=-\frac{1}{12}$，
∴二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$，
整理得 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$，
即二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$。
(2)当 $y=0$ 时，$-\frac{1}{12}x^2+x+2=0$，
解得 $x_1=6+2\sqrt{15}≈13.746$，
$x_2=6-2\sqrt{15}≈-1.746$(不合题意，舍去)。
∵13.746＞13.5，
∴该同学能取得“好成绩”。
∵点 A 距离地面的高度为 2 m，
∴A(0,2)在抛物线上，
∴$2=a×(-6)^2+5$,解得 $a=-\frac{1}{12}$，
∴二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5$，
整理得 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$，
即二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$。
(2)当 $y=0$ 时，$-\frac{1}{12}x^2+x+2=0$，
解得 $x_1=6+2\sqrt{15}≈13.746$，
$x_2=6-2\sqrt{15}≈-1.746$(不合题意，舍去)。
∵13.746＞13.5，
∴该同学能取得“好成绩”。
解析
【分析】
(1) 求解二次函数表达式时，已知抛物线的最高点（顶点）B的高度为5m，且A、B两点水平距离为6m，A点横坐标为0，因此顶点坐标为$(6,5)$，优先选用顶点式设函数解析式可简化计算，再将A点坐标$(0,2)$代入求出参数$a$，整理后即可得到函数表达式。
(2) 要判断能否取得好成绩，需先求出铅球落地时的水平距离：铅球落地时高度$y=0$，因此令函数中$y=0$，解对应的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，将得到的正根与13.5m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得二次函数图象的顶点坐标为$(6,5)$，设二次函数的表达式为$y=a(x-6)^2+5$（$a\ne0$）。
已知A点距离地面高度为2m，即$A(0,2)$在抛物线上，将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a×(0-6)^2+5$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
将$a$代入顶点式整理得：
$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=-\frac{1}{12}x^2+x+2$
(2) 铅球落地时高度$y=0$，令$y=0$，可得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+x+2=0$
解得$x_1=6+2\sqrt{15}\approx13.746$，$x_2=6-2\sqrt{15}\approx-1.746$（水平距离不能为负，舍去）。
因为$13.746＞13.5$，因此该同学能取得“好成绩”。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$
(2) 该同学能取得“好成绩”。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合推铅球的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，结合实际意义对方程的根进行取舍，侧重考查基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 求解二次函数表达式时，已知抛物线的最高点（顶点）B的高度为5m，且A、B两点水平距离为6m，A点横坐标为0，因此顶点坐标为$(6,5)$，优先选用顶点式设函数解析式可简化计算，再将A点坐标$(0,2)$代入求出参数$a$，整理后即可得到函数表达式。
(2) 要判断能否取得好成绩，需先求出铅球落地时的水平距离：铅球落地时高度$y=0$，因此令函数中$y=0$，解对应的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，将得到的正根与13.5m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得二次函数图象的顶点坐标为$(6,5)$，设二次函数的表达式为$y=a(x-6)^2+5$（$a\ne0$）。
已知A点距离地面高度为2m，即$A(0,2)$在抛物线上，将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a×(0-6)^2+5$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
将$a$代入顶点式整理得：
$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+5=-\frac{1}{12}x^2+x+2$
(2) 铅球落地时高度$y=0$，令$y=0$，可得方程：
$-\frac{1}{12}x^2+x+2=0$
解得$x_1=6+2\sqrt{15}\approx13.746$，$x_2=6-2\sqrt{15}\approx-1.746$（水平距离不能为负，舍去）。
因为$13.746＞13.5$，因此该同学能取得“好成绩”。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}x^2+x+2$
(2) 该同学能取得“好成绩”。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合推铅球的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，结合实际意义对方程的根进行取舍，侧重考查基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.75
6.【数学应用】在一次高尔夫球的练习中，小成在点O处击球，飞行路线满足抛物线$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，已知球离球洞的水平距离还有2 m。
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求球洞离击球点的距离；
(3)若小成再一次从点O处击球，要想让球飞行的最大高度不变但球刚好进洞，求球飞行路线满足的抛物线的表达式。
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求球洞离击球点的距离；
(3)若小成再一次从点O处击球，要想让球飞行的最大高度不变但球刚好进洞，求球飞行路线满足的抛物线的表达式。
答案
6.解:(1)$\because y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{16}{5}$，
∴抛物线 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$ 的顶点坐标为 $(4,\frac{16}{5})$。
(2)令 $y=0$,则 $-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0$，
解得 $x_1=0,x_2=8$，
∴球飞行的最大水平距离是 8 m，
∴球洞离击球点的距离为 $8+2=10(\mathrm{m})$。
(3)
∵球刚好进洞而飞行的最大高度不变，
∴球飞行的最大水平距离为 10 m，
∴抛物线的对称轴为直线 $x=5$，顶点坐标为 $(5,\frac{16}{5})$。
设此时抛物线的表达式为 $y=a(x-5)^2+\frac{16}{5}$。
∵点$(0,0)$在此抛物线上，
∴$25a+\frac{16}{5}=0$，
解得 $a=-\frac{16}{125}$，
∴$y=-\frac{16}{125}(x-5)^2+\frac{16}{5}=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$，
∴球飞行路线满足的抛物线的表达式为 $y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$。
∴抛物线 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$ 的顶点坐标为 $(4,\frac{16}{5})$。
(2)令 $y=0$,则 $-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0$，
解得 $x_1=0,x_2=8$，
∴球飞行的最大水平距离是 8 m，
∴球洞离击球点的距离为 $8+2=10(\mathrm{m})$。
(3)
∵球刚好进洞而飞行的最大高度不变，
∴球飞行的最大水平距离为 10 m，
∴抛物线的对称轴为直线 $x=5$，顶点坐标为 $(5,\frac{16}{5})$。
设此时抛物线的表达式为 $y=a(x-5)^2+\frac{16}{5}$。
∵点$(0,0)$在此抛物线上，
∴$25a+\frac{16}{5}=0$，
解得 $a=-\frac{16}{125}$，
∴$y=-\frac{16}{125}(x-5)^2+\frac{16}{5}=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$，
∴球飞行路线满足的抛物线的表达式为 $y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线顶点坐标，可将给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式直接读出顶点，也可使用顶点坐标公式计算。
(2) 球落地时飞行高度为0，因此令函数中y=0，解对应的一元二次方程得到球本次落地的水平距离，再加上离球洞剩余的2m，即可得到球洞到击球点的总距离。
(3) 最大高度不变说明新抛物线的顶点纵坐标和原抛物线相同；球刚好进洞说明新抛物线同时过(0,0)和(10,0)两点，对称轴为两点中点对应的直线x=5，即可得到新抛物线的顶点坐标，设顶点式代入原点求出参数a，整理即可得到新解析式。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方：
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}(x^2-8x)=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{16}{5}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得顶点坐标。
(2) 球落地时高度$y=0$，令$y=0$得：
$-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0$
因式分解得$x(-x+8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$，即本次击球球落地的水平距离为8m。
已知球落地时离球洞还有2m，因此球洞离击球点的距离为$8+2=10(\mathrm{m})$。
(3) 由题意，新抛物线最大高度不变，即顶点纵坐标为$\frac{16}{5}$；球刚好进洞，说明抛物线过$(0,0)$和$(10,0)$，对称轴为直线$x=\frac{0+10}{2}=5$，即新顶点坐标为$(5,\frac{16}{5})$。
设新抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+\frac{16}{5}$，将$(0,0)$代入得：
$25a+\frac{16}{5}=0$，解得$a=-\frac{16}{125}$。
展开整理得$y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,\frac{16}{5})}$
(2) $\boldsymbol{10\mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x}$（或$y=-\frac{16}{125}(x-5)^2+\frac{16}{5}$）
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际条件转化为二次函数的点、顶点等数学信息，再结合二次函数的相关性质求解，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线顶点坐标，可将给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式直接读出顶点，也可使用顶点坐标公式计算。
(2) 球落地时飞行高度为0，因此令函数中y=0，解对应的一元二次方程得到球本次落地的水平距离，再加上离球洞剩余的2m，即可得到球洞到击球点的总距离。
(3) 最大高度不变说明新抛物线的顶点纵坐标和原抛物线相同；球刚好进洞说明新抛物线同时过(0,0)和(10,0)两点，对称轴为两点中点对应的直线x=5，即可得到新抛物线的顶点坐标，设顶点式代入原点求出参数a，整理即可得到新解析式。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方：
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}(x^2-8x)=-\frac{1}{5}(x-4)^2+\frac{16}{5}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得顶点坐标。
(2) 球落地时高度$y=0$，令$y=0$得：
$-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x=0$
因式分解得$x(-x+8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$，即本次击球球落地的水平距离为8m。
已知球落地时离球洞还有2m，因此球洞离击球点的距离为$8+2=10(\mathrm{m})$。
(3) 由题意，新抛物线最大高度不变，即顶点纵坐标为$\frac{16}{5}$；球刚好进洞，说明抛物线过$(0,0)$和$(10,0)$，对称轴为直线$x=\frac{0+10}{2}=5$，即新顶点坐标为$(5,\frac{16}{5})$。
设新抛物线解析式为$y=a(x-5)^2+\frac{16}{5}$，将$(0,0)$代入得：
$25a+\frac{16}{5}=0$，解得$a=-\frac{16}{125}$。
展开整理得$y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,\frac{16}{5})}$
(2) $\boldsymbol{10\mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{y=-\frac{16}{125}x^2+\frac{32}{25}x}$（或$y=-\frac{16}{125}(x-5)^2+\frac{16}{5}$）
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际条件转化为二次函数的点、顶点等数学信息，再结合二次函数的相关性质求解，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
