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3. 抛物线 $y=x^2 -6x +c$ 与x轴只有一个交点，则c=
9
。答案
3.9
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的本质：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。当抛物线与x轴只有1个交点时，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。接下来只需要提取对应方程的各项系数，代入判别式公式列方程，就能求出c的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 -6x +c$与x轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有两个相等的实数根
对于方程$x^2 -6x +c=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项为$c$
根据一元二次方程根的判别式规则，当$\Delta = b^2-4ac=0$时方程有两个相等实根，代入得：
$(-6)^2 -4×1× c =0$
$36 -4c =0$
解得：$c=9$
【答案】
9
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，只要掌握判别式和交点个数的对应规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的本质：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。当抛物线与x轴只有1个交点时，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。接下来只需要提取对应方程的各项系数，代入判别式公式列方程，就能求出c的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 -6x +c$与x轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有两个相等的实数根
对于方程$x^2 -6x +c=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项为$c$
根据一元二次方程根的判别式规则，当$\Delta = b^2-4ac=0$时方程有两个相等实根，代入得：
$(-6)^2 -4×1× c =0$
$36 -4c =0$
解得：$c=9$
【答案】
9
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，只要掌握判别式和交点个数的对应规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
4. 若抛物线 $ y = x^2 + bx $ 的对称轴是直线 $ x=2 $，则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx = 0 $ 的解是（
A.$ x_1=0, x_2=2 $
B.$ x_1=0, x_2=4 $
C.$ x_1=2, x_2=4 $
D.$ x_1=0, x_2=-4 $
B
）。A.$ x_1=0, x_2=2 $
B.$ x_1=0, x_2=4 $
C.$ x_1=2, x_2=4 $
D.$ x_1=0, x_2=-4 $
答案
4.B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数b的值。对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，结合题目给出的对称轴x=2，即可列方程算出b；第二步，将求出的b代入一元二次方程$x^2+bx=0$，用因式分解法求解方程即可得到答案。
【解析】
对于抛物线$y=x^2+bx$，其中二次项系数a=1，一次项系数为b，
根据二次函数对称轴公式：对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$，
已知对称轴是直线x=2，代入得：
$-\frac{b}{2×1}=2$
解得$b=-4$。
将$b=-4$代入方程$x^2+bx=0$，得：
$x^2-4x=0$
因式分解得$x(x-4)=0$，
则$x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数性质与一元二次方程的结合类基础题，解题的核心是先通过对称轴求出未知参数的值，再代入方程求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数b的值。对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，结合题目给出的对称轴x=2，即可列方程算出b；第二步，将求出的b代入一元二次方程$x^2+bx=0$，用因式分解法求解方程即可得到答案。
【解析】
对于抛物线$y=x^2+bx$，其中二次项系数a=1，一次项系数为b，
根据二次函数对称轴公式：对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$，
已知对称轴是直线x=2，代入得：
$-\frac{b}{2×1}=2$
解得$b=-4$。
将$b=-4$代入方程$x^2+bx=0$，得：
$x^2-4x=0$
因式分解得$x(x-4)=0$，
则$x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数性质与一元二次方程的结合类基础题，解题的核心是先通过对称轴求出未知参数的值，再代入方程求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交于$A(-2,4)$，$B(1,1)$两点，则关于$x$的方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为
$x_1=-2,x_2=1$
。答案
5.$x_1=-2,x_2=1$
解析
【分析】
解题的关键是建立方程与函数图像的联系：首先将待求方程$ax^2 - bx - c = 0$变形为$ax^2 = bx + c$，可以发现该等式的含义是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$的函数值相等，对应的$x$就是两个函数图像交点的横坐标。已知题目已经给出两个交点的坐标，直接提取横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$整理得：$ax^2 = bx + c$。
根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两图像交于$A(-2,4)$、$B(1,1)$两点，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，
因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图像交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需理解一元二次方程的解与对应两个函数图像交点横坐标的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题的关键是建立方程与函数图像的联系：首先将待求方程$ax^2 - bx - c = 0$变形为$ax^2 = bx + c$，可以发现该等式的含义是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$的函数值相等，对应的$x$就是两个函数图像交点的横坐标。已知题目已经给出两个交点的坐标，直接提取横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$整理得：$ax^2 = bx + c$。
根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两图像交于$A(-2,4)$、$B(1,1)$两点，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，
因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图像交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需理解一元二次方程的解与对应两个函数图像交点横坐标的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知抛物线$y=x^2 - x -1$与x轴的一个交点为$(m,0)$，则代数式$-3m^2 + 3m +5$的值等于
2
。答案
6.2
解析
【分析】
解题首先利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将交点$(m,0)$代入抛物线解析式，得到关于$m$的等式；再观察所求代数式的结构，对代数式变形后采用整体代入的方法计算即可，无需解出$m$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(m,0)$是抛物线$y=x^2 - x -1$与$x$轴的交点，
$\therefore$ 将$x=m$，$y=0$代入抛物线解析式可得：
$m^2 - m - 1 = 0$，
整理得：$m^2 - m = 1$。
对所求代数式变形，提取公因式$-3$得：
$-3m^2 +3m +5 = -3(m^2 - m) +5$，
将$m^2 - m =1$代入上式计算：
原式$= -3×1 +5 = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；整体代入求值
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心考查二次函数图象上的点满足其解析式的性质，解题时用整体代入的方法可避免解一元二次方程的繁琐运算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.8
解题首先利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将交点$(m,0)$代入抛物线解析式，得到关于$m$的等式；再观察所求代数式的结构，对代数式变形后采用整体代入的方法计算即可，无需解出$m$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(m,0)$是抛物线$y=x^2 - x -1$与$x$轴的交点，
$\therefore$ 将$x=m$，$y=0$代入抛物线解析式可得：
$m^2 - m - 1 = 0$，
整理得：$m^2 - m = 1$。
对所求代数式变形，提取公因式$-3$得：
$-3m^2 +3m +5 = -3(m^2 - m) +5$，
将$m^2 - m =1$代入上式计算：
原式$= -3×1 +5 = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；整体代入求值
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心考查二次函数图象上的点满足其解析式的性质，解题时用整体代入的方法可避免解一元二次方程的繁琐运算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.8
7. 二次函数$y=ax^2+bx+3$的部分图象及对称轴如图所示。
(1)求方程$ax^2+bx=-3$的解；
(2)若方程$ax^2+bx+c=k$总有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。
(1)求方程$ax^2+bx=-3$的解；
(2)若方程$ax^2+bx+c=k$总有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。
答案
7.解:(1)由图象得 $y=ax^2+bx+3$ 的图象过点(-1,0),对称轴是直线 $x=1$，
∴$y=ax^2+bx+3$ 的图象与 x 轴的另一个交点为(3,0)，
∴方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解为 $x_1=-1$，$x_2=3$，
∴方程 $ax^2+bx=-3$ 的解为 $x_1=-1,x_2=3$。
(2)
∵$y=ax^2+bx+3$ 的图象过点(-1,0),(3,0)，
∴$\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$。
∵方程 $ax^2+bx+c=k$ 总有两个不相等的实数根，
∴$y=-x^2+2x+3$ 的图象与直线 $y=k$ 总有两个交点，
∴$k＜4$。
∴$y=ax^2+bx+3$ 的图象与 x 轴的另一个交点为(3,0)，
∴方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解为 $x_1=-1$，$x_2=3$，
∴方程 $ax^2+bx=-3$ 的解为 $x_1=-1,x_2=3$。
(2)
∵$y=ax^2+bx+3$ 的图象过点(-1,0),(3,0)，
∴$\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$。
∵方程 $ax^2+bx+c=k$ 总有两个不相等的实数根，
∴$y=-x^2+2x+3$ 的图象与直线 $y=k$ 总有两个交点，
∴$k＜4$。
解析
【分析】
(1) 首先将待求方程$ax^2+bx=-3$变形为$ax^2+bx+3=0$，可知该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与x轴交点的横坐标。已知图象过点$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，可求出与x轴的另一个交点坐标，即可得到方程的解。
(2) 方程$ax^2+bx+3=k$总有两个不相等的实数根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与直线$y=k$总有两个不同的交点。先利用已知的两个与x轴的交点坐标代入解析式，求出$a$、$b$的值，将二次函数化为顶点式得到最大值，结合开口向下的性质，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
根据二次函数图象的对称性，设与x轴的另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即图象与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
因此方程$ax^2+bx+3=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
将方程$ax^2+bx=-3$移项得$ax^2+bx+3=0$，故该方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
(2) 把点$(-1,0)$、$(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+3=0\\9a+3b+3=0\end{cases}$
解这个方程组：由第一个方程得$b=a+3$，代入第二个方程得$9a+3(a+3)+3=0$，即$12a+12=0$，解得$a=-1$，则$b=-1+3=2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，化为顶点式为$y=-(x-1)^2+4$，可知该抛物线开口向下，顶点纵坐标为4，即函数的最大值为4。
方程$ax^2+bx+3=k$总有两个不相等的实数根，即$y=-x^2+2x+3$与直线$y=k$总有两个不同的交点，因此$k$要小于函数的最大值，即$k＜4$。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=3$；
(2) $k＜4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象性质
【点评】
本题将二次函数图象与一元二次方程结合考查，解题的核心是理解方程的根与函数图象交点横坐标的对应关系，熟练运用二次函数的对称性和顶点式可快速简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 首先将待求方程$ax^2+bx=-3$变形为$ax^2+bx+3=0$，可知该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与x轴交点的横坐标。已知图象过点$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，可求出与x轴的另一个交点坐标，即可得到方程的解。
(2) 方程$ax^2+bx+3=k$总有两个不相等的实数根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与直线$y=k$总有两个不同的交点。先利用已知的两个与x轴的交点坐标代入解析式，求出$a$、$b$的值，将二次函数化为顶点式得到最大值，结合开口向下的性质，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
根据二次函数图象的对称性，设与x轴的另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即图象与x轴的另一个交点为$(3,0)$。
因此方程$ax^2+bx+3=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
将方程$ax^2+bx=-3$移项得$ax^2+bx+3=0$，故该方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
(2) 把点$(-1,0)$、$(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$，得方程组：
$\begin{cases}a-b+3=0\\9a+3b+3=0\end{cases}$
解这个方程组：由第一个方程得$b=a+3$，代入第二个方程得$9a+3(a+3)+3=0$，即$12a+12=0$，解得$a=-1$，则$b=-1+3=2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，化为顶点式为$y=-(x-1)^2+4$，可知该抛物线开口向下，顶点纵坐标为4，即函数的最大值为4。
方程$ax^2+bx+3=k$总有两个不相等的实数根，即$y=-x^2+2x+3$与直线$y=k$总有两个不同的交点，因此$k$要小于函数的最大值，即$k＜4$。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=3$；
(2) $k＜4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象性质
【点评】
本题将二次函数图象与一元二次方程结合考查，解题的核心是理解方程的根与函数图象交点横坐标的对应关系，熟练运用二次函数的对称性和顶点式可快速简化计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知抛物线$y=-x^2+mx+3$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)。
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)当$y＞0$时,写出x的取值范围；
(3)设点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当$PA+PC$的值最小时,求点P的坐标。
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)当$y＞0$时,写出x的取值范围；
(3)设点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当$PA+PC$的值最小时,求点P的坐标。
答案
8.解:(1)将(3,0)代入 $y=-x^2+mx+3$,得
$-3^2+3m+3=0$,解得 $m=2$，
∴抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)。
(2)令$-x^2+2x+3=0$,解得 $x_1=-1,x_2=3$。
∵B(3,0)，
∴A(-1,0)。
由图象知,当$-1＜x＜3$时,抛物线位于 x 轴上方，
∴当 $y＞0$ 时,x 的取值范围为$-1＜x＜3$。
(3)由抛物线的对称性知,点 A 与点 B 关于直线 l 对称，
∴$PA+PC=PB+PC≥ BC$，
∴当 P,C,B 三点共线时,$PA+PC$ 取最小值，如图所示。
在 $y=-x^2+2x+3$ 中,令 $x=0$,则 $y=3$，
∴C(0,3)。
设直线 BC 对应的函数表达式为 $y=mx+n$。
将(3,0),(0,3)代入,得$\begin{cases}3m+n=0,\\n=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=3,\end{cases}$
∴直线 BC 对应的函数表达式为 $y=-x+3$。
∵抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
∴将 $x=1$ 代入 $y=-x+3$,得 $y=-1+3=2$，
∴点 P 的坐标为(1,2)。
解析
【分析】
(1) 已知点B在抛物线上，将B点坐标代入抛物线解析式即可求出m的值，再将二次函数一般式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
(2) y＞0对应抛物线在x轴上方的部分，先求解二次函数对应一元二次方程的根，得到抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，结合抛物线开口向下的特征，即可确定y＞0时x的取值范围；
(3) 本题属于轴对称最短路径问题，根据抛物线对称性，点A与点B关于对称轴对称，因此PA=PB，PA+PC的最小值可转化为PB+PC的最小值，当B、P、C三点共线时PB+PC最小，因此先求直线BC的解析式，再求直线BC与抛物线对称轴的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入$y=-x^2+mx+3$，得：
$-3^2+3m+3=0$，解得$m=2$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，
∴点A坐标为$(-1,0)$，
∵抛物线开口向下，当图像在x轴上方时y＞0，
∴y＞0时x的取值范围是$-1＜x＜3$。
(3) 由抛物线对称性可知，点A与点B关于对称轴对称，因此$PA=PB$，
∴$PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PA+PC$取最小值，如图所示：
在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，
∴点C坐标为$(0,3)$，
设直线BC的解析式为$y=mx+n$，将B(3,0)、C(0,3)代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=-x+3$，
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，将$x=1$代入$y=-x+3$得$y=-1+3=2$，
∴点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，抛物线的顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $x$的取值范围为$-1＜x＜3$；
(3) 点P的坐标为$(1,2)$，图示：
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，最短路径问题
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，涵盖了二次函数解析式求解、函数与不等式的对应关系、轴对称最短路径的构造，侧重对基础方法和常规解题思路的考查，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点B在抛物线上，将B点坐标代入抛物线解析式即可求出m的值，再将二次函数一般式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
(2) y＞0对应抛物线在x轴上方的部分，先求解二次函数对应一元二次方程的根，得到抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，结合抛物线开口向下的特征，即可确定y＞0时x的取值范围；
(3) 本题属于轴对称最短路径问题，根据抛物线对称性，点A与点B关于对称轴对称，因此PA=PB，PA+PC的最小值可转化为PB+PC的最小值，当B、P、C三点共线时PB+PC最小，因此先求直线BC的解析式，再求直线BC与抛物线对称轴的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入$y=-x^2+mx+3$，得：
$-3^2+3m+3=0$，解得$m=2$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，
∴点A坐标为$(-1,0)$，
∵抛物线开口向下，当图像在x轴上方时y＞0，
∴y＞0时x的取值范围是$-1＜x＜3$。
(3) 由抛物线对称性可知，点A与点B关于对称轴对称，因此$PA=PB$，
∴$PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PA+PC$取最小值，如图所示：
在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，
∴点C坐标为$(0,3)$，
设直线BC的解析式为$y=mx+n$，将B(3,0)、C(0,3)代入得：
$\begin{cases}3m+n=0\\n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=-x+3$，
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，将$x=1$代入$y=-x+3$得$y=-1+3=2$，
∴点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，抛物线的顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $x$的取值范围为$-1＜x＜3$；
(3) 点P的坐标为$(1,2)$，图示：
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，最短路径问题
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，涵盖了二次函数解析式求解、函数与不等式的对应关系、轴对称最短路径的构造，侧重对基础方法和常规解题思路的考查，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
