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1. 如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是(
A.∠A=∠B
B.∠A=∠D
C.∠C=∠D
D.∠AOB=∠DOC
B
)。A.∠A=∠B
B.∠A=∠D
C.∠C=∠D
D.∠AOB=∠DOC
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形可得AD与BC交于点O，因此∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等。根据相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，我们只需要再添加一组对应角相等，即可证明两个三角形相似，接下来逐一分析选项找到符合对应角相等的条件即可。
【解析】
∵直线AD与BC相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需再添加一组对应角相等就能证明△AOB∽△DOC。
对各选项分析如下：
A. ∠A=∠B是△AOB内部的两个角，无法得到两个三角形的对应角相等，不能判定相似，不符合要求；
B. ∠A=∠D，结合已有的∠AOB=∠DOC，满足两角分别相等，可判定△AOB∽△DOC，符合要求；
C. ∠C=∠D是△DOC内部的两个角，无法得到两个三角形的对应角相等，不能判定相似，不符合要求；
D. ∠AOB=∠DOC是已成立的对顶角，不需要额外添加，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定的应用，解题的关键是先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，再结合判定定理筛选合适的添加条件，做题时要注意两个相似三角形的对应角不要混淆。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得AD与BC交于点O，因此∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等。根据相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，我们只需要再添加一组对应角相等，即可证明两个三角形相似，接下来逐一分析选项找到符合对应角相等的条件即可。
【解析】
∵直线AD与BC相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需再添加一组对应角相等就能证明△AOB∽△DOC。
对各选项分析如下：
A. ∠A=∠B是△AOB内部的两个角，无法得到两个三角形的对应角相等，不能判定相似，不符合要求；
B. ∠A=∠D，结合已有的∠AOB=∠DOC，满足两角分别相等，可判定△AOB∽△DOC，符合要求；
C. ∠C=∠D是△DOC内部的两个角，无法得到两个三角形的对应角相等，不能判定相似，不符合要求；
D. ∠AOB=∠DOC是已成立的对顶角，不需要额外添加，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定的应用，解题的关键是先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，再结合判定定理筛选合适的添加条件，做题时要注意两个相似三角形的对应角不要混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高。下列说法一定正确的是（
A.$AD=CD$
B.$∠ B=∠ ACD$
C.$△ ADC ∽ △ BDA$
D.$∠ BAD+∠ ACD=90°$
C
）。A.$AD=CD$
B.$∠ B=∠ ACD$
C.$△ ADC ∽ △ BDA$
D.$∠ BAD+∠ ACD=90°$
答案
2.C
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。我们可以先推导图中相等的角：根据同角的余角相等，可得∠B+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，因此推出∠BAD=∠C，∠B=∠CAD。再逐一验证每个选项：
1. 选项A：AD=CD只有当∠C=45°时成立，题目无此条件，排除；
2. 选项B：∠ACD就是∠C，∠B和∠C互余，不一定相等，排除；
3. 选项C：找两个三角形的对应角，∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠B，两角对应相等可判定相似，符合条件；
4. 选项D：∠BAD=∠ACD，二者之和为2∠ACD，只有∠C=45°时才等于90°，无此条件，排除。
【解析】
已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，因此∠ADB=∠ADC=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠B + ∠C = 90°，
又
∵ ∠ADB=90°，
∴ ∠B + ∠BAD = 90°，
同理∠ADC=90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
根据同角的余角相等，可得：∠BAD=∠C，∠B=∠CAD。
逐一分析选项：
A. 只有当∠C=45°时，△ADC为等腰直角三角形，AD=CD，题目未给出△ABC是等腰直角三角形，故该结论不一定成立，A错误；
B. ∠ACD即∠C，∠B与∠C互余，仅当∠B=∠C=45°时二者相等，无此条件，B错误；
C. 在△ADC和△BDA中：
∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠B，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BDA，C正确；
D. 由前面推导得∠BAD=∠ACD，因此∠BAD+∠ACD=2∠ACD，仅当∠ACD=45°时和为90°，无此条件，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是基础类考题，解题关键是利用直角三角形两锐角互余的性质推导相等的角，再结合相似三角形的判定定理判断结论是否成立，熟练掌握角的互余关系和相似判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.7
首先明确题目已知条件：△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。我们可以先推导图中相等的角：根据同角的余角相等，可得∠B+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，因此推出∠BAD=∠C，∠B=∠CAD。再逐一验证每个选项：
1. 选项A：AD=CD只有当∠C=45°时成立，题目无此条件，排除；
2. 选项B：∠ACD就是∠C，∠B和∠C互余，不一定相等，排除；
3. 选项C：找两个三角形的对应角，∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠B，两角对应相等可判定相似，符合条件；
4. 选项D：∠BAD=∠ACD，二者之和为2∠ACD，只有∠C=45°时才等于90°，无此条件，排除。
【解析】
已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，因此∠ADB=∠ADC=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠B + ∠C = 90°，
又
∵ ∠ADB=90°，
∴ ∠B + ∠BAD = 90°，
同理∠ADC=90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
根据同角的余角相等，可得：∠BAD=∠C，∠B=∠CAD。
逐一分析选项：
A. 只有当∠C=45°时，△ADC为等腰直角三角形，AD=CD，题目未给出△ABC是等腰直角三角形，故该结论不一定成立，A错误；
B. ∠ACD即∠C，∠B与∠C互余，仅当∠B=∠C=45°时二者相等，无此条件，B错误；
C. 在△ADC和△BDA中：
∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠B，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BDA，C正确；
D. 由前面推导得∠BAD=∠ACD，因此∠BAD+∠ACD=2∠ACD，仅当∠ACD=45°时和为90°，无此条件，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是基础类考题，解题关键是利用直角三角形两锐角互余的性质推导相等的角，再结合相似三角形的判定定理判断结论是否成立，熟练掌握角的互余关系和相似判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在三角形纸片ABC中,∠A=76°,∠B=34°,将三角形纸片ABC按如图所示的方式裁剪。下列四种裁剪方式中,剪下的三角形(阴影部分)与△ABC相似的有(
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
B
)。A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案
3.B
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，首先利用三角形内角和定理算出△ABC的三个内角度数，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐个分析4种裁剪方式下阴影三角形的内角，看是否有两个内角与△ABC的内角对应相等即可。
【解析】
首先计算△ABC的第三个内角：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$，即△ABC的三个内角分别为$76°$、$34°$、$70°$。
逐个分析裁剪方式：
1. 图①：阴影三角形与△ABC共享$∠ B=34°$，且阴影三角形中标注的角为$76°$，与△ABC的$∠ A$相等，满足两角对应相等，故阴影三角形与△ABC相似。
2. 图②：阴影三角形与△ABC共享$∠ B=34°$，阴影中标注的$∠ BCD=34°$，即阴影三角形有两个$34°$的角，和△ABC的内角不对应相等，故不相似。
3. 图③：阴影三角形与△ABC共享$∠ C=70°$，且阴影中标注的角为$34°$，与△ABC的$∠ B$相等，满足两角对应相等，故阴影三角形与△ABC相似。
4. 图④：阴影三角形与△ABC共享$∠ C=70°$，阴影中标注的$∠ CED=70°$，即阴影三角形有两个$70°$的角，和△ABC的内角不对应相等，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与△ABC相似。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合三角形内角和计算角度后逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，首先利用三角形内角和定理算出△ABC的三个内角度数，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐个分析4种裁剪方式下阴影三角形的内角，看是否有两个内角与△ABC的内角对应相等即可。
【解析】
首先计算△ABC的第三个内角：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$，即△ABC的三个内角分别为$76°$、$34°$、$70°$。
逐个分析裁剪方式：
1. 图①：阴影三角形与△ABC共享$∠ B=34°$，且阴影三角形中标注的角为$76°$，与△ABC的$∠ A$相等，满足两角对应相等，故阴影三角形与△ABC相似。
2. 图②：阴影三角形与△ABC共享$∠ B=34°$，阴影中标注的$∠ BCD=34°$，即阴影三角形有两个$34°$的角，和△ABC的内角不对应相等，故不相似。
3. 图③：阴影三角形与△ABC共享$∠ C=70°$，且阴影中标注的角为$34°$，与△ABC的$∠ B$相等，满足两角对应相等，故阴影三角形与△ABC相似。
4. 图④：阴影三角形与△ABC共享$∠ C=70°$，阴影中标注的$∠ CED=70°$，即阴影三角形有两个$70°$的角，和△ABC的内角不对应相等，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与△ABC相似。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合三角形内角和计算角度后逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD 是$△ ABC$ 的角平分线，$AD=BD$。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DAC$；
(2)已知 $BD=6$，$DC=4$，求 $AC$ 的长。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DAC$；
(2)已知 $BD=6$，$DC=4$，求 $AC$ 的长。
答案
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠B=∠CAD。
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC。
(2)解:
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$。
∵BD=6,DC=4，
∴BC=BD+DC=6+4=10，
∴$\frac{10}{AC}=\frac{AC}{4}$,解得 $AC=2\sqrt{10}$。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠B=∠CAD。
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC。
(2)解:
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$。
∵BD=6,DC=4，
∴BC=BD+DC=6+4=10，
∴$\frac{10}{AC}=\frac{AC}{4}$,解得 $AC=2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABC∽△DAC，可通过两角分别相等的相似判定定理推导：首先根据角平分线定义得到∠BAD=∠CAD，再结合AD=BD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAD=∠B，等量代换可得∠B=∠CAD，加上公共角∠C=∠C，即可完成相似证明。
（2）借助（1）的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质列比例式，先计算BC的总长度，代入比例式后解方程即可求出AC的长，注意线段长度为正，需舍去负解。
【解析】
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠B=∠CAD。
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC。
(2)解:
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$。
∵BD=6,DC=4，
∴BC=BD+DC=6+4=10，
代入得$\frac{10}{AC}=\frac{AC}{4}$，整理得$AC^2=40$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础常考题，解题核心是先通过角的等量转换证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解边长，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABC∽△DAC，可通过两角分别相等的相似判定定理推导：首先根据角平分线定义得到∠BAD=∠CAD，再结合AD=BD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAD=∠B，等量代换可得∠B=∠CAD，加上公共角∠C=∠C，即可完成相似证明。
（2）借助（1）的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质列比例式，先计算BC的总长度，代入比例式后解方程即可求出AC的长，注意线段长度为正，需舍去负解。
【解析】
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠B=∠CAD。
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC。
(2)解:
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$。
∵BD=6,DC=4，
∴BC=BD+DC=6+4=10，
代入得$\frac{10}{AC}=\frac{AC}{4}$，整理得$AC^2=40$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础常考题，解题核心是先通过角的等量转换证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解边长，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
1. 已知一个三角形的两个内角分别是$40°$和$60°$，另一个三角形的两个内角分别是$40°$和$80°$，则这两个三角形(
A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.不能确定是否相似
C
)。A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.不能确定是否相似
答案
1.C
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。因此我们需要先利用三角形内角和为180°，分别算出两个三角形的第三个内角，再比对两个三角形的内角是否存在两组对应相等的角，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算第一个三角形的第三个内角
根据三角形内角和为180°，第一个三角形的第三个内角为：
$180° - 40° - 60° = 80°$
因此第一个三角形的三个内角分别为$40°$、$60°$、$80°$。
第二步：计算第二个三角形的第三个内角
同理，第二个三角形的第三个内角为：
$180° - 40° - 80° = 60°$
因此第二个三角形的三个内角分别为$40°$、$60°$、$80°$。
第三步：根据相似三角形判定定理判断
两个三角形的内角均为$40°$、$60°$、$80°$，存在至少两组对应相等的角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此这两个三角形一定相似。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对基础定理的应用能力，解题的关键是先通过三角形内角和定理求出两个三角形的全部内角度数，再结合相似三角形的判定条件对比判断即可。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。因此我们需要先利用三角形内角和为180°，分别算出两个三角形的第三个内角，再比对两个三角形的内角是否存在两组对应相等的角，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算第一个三角形的第三个内角
根据三角形内角和为180°，第一个三角形的第三个内角为：
$180° - 40° - 60° = 80°$
因此第一个三角形的三个内角分别为$40°$、$60°$、$80°$。
第二步：计算第二个三角形的第三个内角
同理，第二个三角形的第三个内角为：
$180° - 40° - 80° = 60°$
因此第二个三角形的三个内角分别为$40°$、$60°$、$80°$。
第三步：根据相似三角形判定定理判断
两个三角形的内角均为$40°$、$60°$、$80°$，存在至少两组对应相等的角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此这两个三角形一定相似。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对基础定理的应用能力，解题的关键是先通过三角形内角和定理求出两个三角形的全部内角度数，再结合相似三角形的判定条件对比判断即可。
【难度系数】
0.8
