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7.某方程$\frac{x - \blacksquare}{3}=x + 3$，其中一个数字被污渍盖住了，已知该方程的解为$x=-7$，那么$\blacksquare$处的数字应该是（
A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
D
）A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$5$
答案
7.D
解析
【分析】
已知方程的解求方程中被盖住的常数，核心思路是利用方程解的性质：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们可以把已知的解$x=-7$代入原方程，此时被盖住的数字就变成了唯一的未知数，只需要解这个关于被盖数字的一元一次方程，就能求出结果。
【解析】
设被污渍盖住的数字为$a$。
将$x=-7$代入原方程$\frac{x - a}{3}=x + 3$，可得：
$\frac{-7 - a}{3} = -7 + 3$
先计算方程右侧：$-7+3=-4$，方程化简为：
$\frac{-7 - a}{3} = -4$
去分母，方程两边同时乘以3：
$-7 - a = -12$
移项得：
$-a = -12 + 7$
合并同类项：
$-a = -5$
系数化为1：
$a=5$
因此被盖住的数字是5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是掌握方程解的含义，将求未知常数的问题转化为解一元一次方程的常规问题，只要熟练掌握去分母、移项、系数化为1等解方程的基本步骤，即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
已知方程的解求方程中被盖住的常数，核心思路是利用方程解的性质：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们可以把已知的解$x=-7$代入原方程，此时被盖住的数字就变成了唯一的未知数，只需要解这个关于被盖数字的一元一次方程，就能求出结果。
【解析】
设被污渍盖住的数字为$a$。
将$x=-7$代入原方程$\frac{x - a}{3}=x + 3$，可得：
$\frac{-7 - a}{3} = -7 + 3$
先计算方程右侧：$-7+3=-4$，方程化简为：
$\frac{-7 - a}{3} = -4$
去分母，方程两边同时乘以3：
$-7 - a = -12$
移项得：
$-a = -12 + 7$
合并同类项：
$-a = -5$
系数化为1：
$a=5$
因此被盖住的数字是5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是掌握方程解的含义，将求未知常数的问题转化为解一元一次方程的常规问题，只要熟练掌握去分母、移项、系数化为1等解方程的基本步骤，即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 新考向·新定义问题 在有理数范围内定义运算“☆”：$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$，如：$1☆(-3)=1+\frac{-3-1}{2}=-1$。若$2☆x=x☆(-1)$成立，则$x$的值是（
A.$-1$
B.$5$
C.$0$
D.$2$
B
）A.$-1$
B.$5$
C.$0$
D.$2$
答案
8.B
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合一元一次方程的题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解新运算“☆”的规则$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$，找到对应a、b的值；第二步分别将等式左右两边的$2☆x$和$x☆(-1)$按照规则转化为普通代数式，得到关于x的一元一次方程；第三步按照解一元一次方程的步骤求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算规则$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$：
左边$2☆x$中，$a=2$，$b=x$，代入得：$2☆x=2+\frac{x-1}{2}$
右边$x☆(-1)$中，$a=x$，$b=-1$，代入得：$x☆(-1)=x+\frac{-1-1}{2}=x-1$
根据题意$2☆x=x☆(-1)$，可列方程：
$2+\frac{x-1}{2}=x-1$
去分母，方程两边同时乘2得：
$4 + x - 1 = 2x - 2$
合并同类项得：
$x + 3 = 2x - 2$
移项得：
$2x - x = 3 + 2$
解得：$x=5$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是将新运算规则正确转化为常规的代数运算，再结合一元一次方程的解法求解，主要考察学生的知识迁移能力和一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算结合一元一次方程的题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解新运算“☆”的规则$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$，找到对应a、b的值；第二步分别将等式左右两边的$2☆x$和$x☆(-1)$按照规则转化为普通代数式，得到关于x的一元一次方程；第三步按照解一元一次方程的步骤求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算规则$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$：
左边$2☆x$中，$a=2$，$b=x$，代入得：$2☆x=2+\frac{x-1}{2}$
右边$x☆(-1)$中，$a=x$，$b=-1$，代入得：$x☆(-1)=x+\frac{-1-1}{2}=x-1$
根据题意$2☆x=x☆(-1)$，可列方程：
$2+\frac{x-1}{2}=x-1$
去分母，方程两边同时乘2得：
$4 + x - 1 = 2x - 2$
合并同类项得：
$x + 3 = 2x - 2$
移项得：
$2x - x = 3 + 2$
解得：$x=5$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是将新运算规则正确转化为常规的代数运算，再结合一元一次方程的解法求解，主要考察学生的知识迁移能力和一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
9.如图，A，B为数轴上的两点，O为原点，点A，B表示的数分别是$\frac{x}{2}$，$\frac{x+2}{3}$。若B，O两点之间的距离等于A，B两点之间的距离，则x的值是
$-8$
。答案
9.$-8$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴上点的位置，可知数轴上右侧的数大于左侧的数，两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。我们可以先分别表示出A、B两点间的距离和B、O两点间的距离，再根据“B，O两点之间的距离等于A，B两点之间的距离”这一等量关系列出一元一次方程，最后按照去分母解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
根据数轴上点的位置可得：
A、B两点间的距离为：$\frac{x+2}{3} - \frac{x}{2}$
B、O两点间的距离为：$0 - \frac{x+2}{3}$
由题意列方程得：
$\frac{x+2}{3} - \frac{x}{2} = 0 - \frac{x+2}{3}$
去分母，两边同时乘以6（2和3的最小公倍数）得：
$2(x+2) - 3x = -2(x+2)$
去括号得：
$2x + 4 - 3x = -2x - 4$
移项、合并同类项得：
$x = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
数轴上两点间距离；解一元一次方程
【点评】
本题将数轴的性质与一元一次方程的应用相结合，解题的核心是准确根据数轴上点的位置关系表示出两点间的距离，求解方程时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴上点的位置，可知数轴上右侧的数大于左侧的数，两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。我们可以先分别表示出A、B两点间的距离和B、O两点间的距离，再根据“B，O两点之间的距离等于A，B两点之间的距离”这一等量关系列出一元一次方程，最后按照去分母解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
根据数轴上点的位置可得：
A、B两点间的距离为：$\frac{x+2}{3} - \frac{x}{2}$
B、O两点间的距离为：$0 - \frac{x+2}{3}$
由题意列方程得：
$\frac{x+2}{3} - \frac{x}{2} = 0 - \frac{x+2}{3}$
去分母，两边同时乘以6（2和3的最小公倍数）得：
$2(x+2) - 3x = -2(x+2)$
去括号得：
$2x + 4 - 3x = -2x - 4$
移项、合并同类项得：
$x = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
数轴上两点间距离；解一元一次方程
【点评】
本题将数轴的性质与一元一次方程的应用相结合，解题的核心是准确根据数轴上点的位置关系表示出两点间的距离，求解方程时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 解下列方程：
(1) $\frac{1-2x}{4} -1 = $
$ \frac{x-2}{20} - \frac{3x+1}{5}$
(2) $\frac{2x-1}{3} = $
$ \frac{0.3x+0.5}{0.2}$
(1) $\frac{1-2x}{4} -1 = $
$ \frac{x-2}{20} - \frac{3x+1}{5}$(2) $\frac{2x-1}{3} = $
$ \frac{0.3x+0.5}{0.2}$答案
10.解:(1)去分母,得$5(1-2x)-20=x-2-4(3x+1)$.去括号,得$5-10x-20=x-2-12x-4$.移项,得$12x-x-10x=-2-4-5+20$.合并同类项,得$x=9$.
(2)方程整理,得$\frac{2x-1}{3}-3=\frac{3x+5}{2}$.去分母,得$2(2x-1)-18=3(3x+5)$.去括号,得$4x-2-18=9x+15$.移项、合并同类项,得$-5x=35$.方程的两边都除以$-5$,得$x=-7$.
(2)方程整理,得$\frac{2x-1}{3}-3=\frac{3x+5}{2}$.去分母,得$2(2x-1)-18=3(3x+5)$.去括号,得$4x-2-18=9x+15$.移项、合并同类项,得$-5x=35$.方程的两边都除以$-5$,得$x=-7$.
解析
【分析】
解这两个一元一次方程需按照标准求解步骤逐步化简：
(1) 第一个方程的分母为4、20、5，最小公倍数是20，去分母时要注意方程的每一项都乘20，不能漏乘左边的常数项-1；之后依次进行去括号（括号前是负号时括号内各项要变号）、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1即可得到解。
(2) 第二个方程右边分母是小数，先利用分数的基本性质，将右边分数的分子分母同时乘10把小数化为整数，再按照去分母、去括号、移项合并、系数化为1的步骤求解，注意小数化整数时仅调整该分数的分子分母，不要给方程其他项乘10。
【解析】
(1) 去分母，得$5(1-2x)-20=x-2-4(3x+1)$
去括号，得$5-10x-20=x-2-12x-4$
移项，得$12x-x-10x=-2-4-5+20$
合并同类项，得$x=9$
(2) 方程整理，得$\frac{2x-1}{3}-3=\frac{3x+5}{2}$
去分母，得$2(2x-1)-18=3(3x+5)$
去括号，得$4x-2-18=9x+15$
移项、合并同类项，得$-5x=35$
方程的两边都除以$-5$，得$x=-7$
【答案】
(1)$x=9$；(2)$x=-7$
【知识点】
去分母解一元一次方程，分数的基本性质，一元一次方程求解步骤
【点评】
本题重点考查含分母的一元一次方程的解法，常见易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项、去括号时符号处理错误、小数分母化整数时错乘方程其他项，熟练掌握标准求解步骤、细心计算即可做对。
【难度系数】
0.7
解这两个一元一次方程需按照标准求解步骤逐步化简：
(1) 第一个方程的分母为4、20、5，最小公倍数是20，去分母时要注意方程的每一项都乘20，不能漏乘左边的常数项-1；之后依次进行去括号（括号前是负号时括号内各项要变号）、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1即可得到解。
(2) 第二个方程右边分母是小数，先利用分数的基本性质，将右边分数的分子分母同时乘10把小数化为整数，再按照去分母、去括号、移项合并、系数化为1的步骤求解，注意小数化整数时仅调整该分数的分子分母，不要给方程其他项乘10。
【解析】
(1) 去分母，得$5(1-2x)-20=x-2-4(3x+1)$
去括号，得$5-10x-20=x-2-12x-4$
移项，得$12x-x-10x=-2-4-5+20$
合并同类项，得$x=9$
(2) 方程整理，得$\frac{2x-1}{3}-3=\frac{3x+5}{2}$
去分母，得$2(2x-1)-18=3(3x+5)$
去括号，得$4x-2-18=9x+15$
移项、合并同类项，得$-5x=35$
方程的两边都除以$-5$，得$x=-7$
【答案】
(1)$x=9$；(2)$x=-7$
【知识点】
去分母解一元一次方程，分数的基本性质，一元一次方程求解步骤
【点评】
本题重点考查含分母的一元一次方程的解法，常见易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项、去括号时符号处理错误、小数分母化整数时错乘方程其他项，熟练掌握标准求解步骤、细心计算即可做对。
【难度系数】
0.7
11.七年级甲、乙两个班共有学生100人，其中参加数学活动小组的有42人.已知甲班有$\frac{1}{3}$的学生参加数学活动小组，乙班有$\frac{1}{2}$的学生参加数学活动小组，则甲、乙两个班的学生人数分别是多少？
答案
11.解:设甲班有学生$x$人,则乙班有学生$(100-x)$人.根据题意,得$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}(100-x)=42$,解得$x=48$.$\therefore 100-x=52$.答:甲班有学生48人,乙班有学生52人.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题首先要找准等量关系：甲班参加数学活动小组的人数+乙班参加数学活动小组的人数=参加活动的总人数42人。我们可以先设甲班人数为未知数，根据两班总人数100人表示出乙班人数，再根据上述等量关系列方程，最后按照去分母解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设甲班有学生$x$人，则乙班有学生$(100-x)$人。
根据题意列方程得：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}(100-x)=42$
去分母，方程两边同时乘6得：
$2x + 3(100-x) = 252$
去括号得：
$2x + 300 - 3x = 252$
移项、合并同类项得：
$-x = -48$
系数化为1得：
$x=48$
则乙班人数为$100-x=100-48=52$（人）
【答案】
甲班有学生48人，乙班有学生52人。
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用
2.去分母解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到总参与人数的等量关系列方程，解方程时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题首先要找准等量关系：甲班参加数学活动小组的人数+乙班参加数学活动小组的人数=参加活动的总人数42人。我们可以先设甲班人数为未知数，根据两班总人数100人表示出乙班人数，再根据上述等量关系列方程，最后按照去分母解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设甲班有学生$x$人，则乙班有学生$(100-x)$人。
根据题意列方程得：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}(100-x)=42$
去分母，方程两边同时乘6得：
$2x + 3(100-x) = 252$
去括号得：
$2x + 300 - 3x = 252$
移项、合并同类项得：
$-x = -48$
系数化为1得：
$x=48$
则乙班人数为$100-x=100-48=52$（人）
【答案】
甲班有学生48人，乙班有学生52人。
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用
2.去分母解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到总参与人数的等量关系列方程，解方程时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 新考向·阅读理解 我们规定:若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$,则称该方程为“和解方程”.例如:方程$2x=-4$的解为$x=-2$,而$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$为“和解方程”.请根据上述规定解答下列问题:
(1)已知关于x的一元一次方程$3x=m$是“和解方程”,求$m$的值.
(2)已知关于x的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$中$n$为整数,请判断该方程是否为“和解方程”,并说明理由.
(1)已知关于x的一元一次方程$3x=m$是“和解方程”,求$m$的值.
(2)已知关于x的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$中$n$为整数,请判断该方程是否为“和解方程”,并说明理由.
答案
12.解:(1)解方程$3x=m$,得$x=\frac{m}{3}$.$\because$关于$x$的一元一次方程$3x=m$是“和解方程”,$\therefore \frac{m}{3}=m+3$,解得$m=-\frac{9}{2}$.
(2)该方程不是“和解方程”.理由如下:解方程$-2x=\frac{n-1}{2}$,得$x=\frac{1-n}{4}$.若关于$x$的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$是“和解方程”,则$\frac{1-n}{4}=-2+\frac{n-1}{2}$,解得$n=\frac{11}{3}$.$\because n$为整数,$\therefore n=\frac{11}{3}$不符合题意.$\therefore$关于$x$的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$不是“和解方程”.
(2)该方程不是“和解方程”.理由如下:解方程$-2x=\frac{n-1}{2}$,得$x=\frac{1-n}{4}$.若关于$x$的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$是“和解方程”,则$\frac{1-n}{4}=-2+\frac{n-1}{2}$,解得$n=\frac{11}{3}$.$\because n$为整数,$\therefore n=\frac{11}{3}$不符合题意.$\therefore$关于$x$的一元一次方程$-2x=\frac{n-1}{2}$不是“和解方程”.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“和解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则该方程为“和解方程”。（1）问解题思路：先求出方程$3x=m$的常规解，再根据“和解方程”的定义，令这个解等于$m+3$，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；（2）问解题思路：先求出方程$-2x=\frac{n-1}{2}$的常规解，假设该方程是“和解方程”，根据定义令解等于$-2+\frac{n-1}{2}$，列出关于n的方程求解，再结合n为整数的条件判断所求n是否符合要求，进而判断方程是否为“和解方程”。
【解析】
(1) 解方程$3x=m$，系数化为1得$x=\frac{m}{3}$。
$\because$ 关于x的一元一次方程$3x=m$是“和解方程”，根据定义可得：
$\frac{m}{3}=m+3$
去分母得：$m=3m+9$
移项、合并同类项得：$-2m=9$
系数化为1得：$m=-\frac{9}{2}$
(2) 该方程不是“和解方程”，理由如下：
解方程$-2x=\frac{n-1}{2}$，系数化为1得$x=\frac{1-n}{4}$。
假设该方程是“和解方程”，根据定义可得：
$\frac{1-n}{4}=-2+\frac{n-1}{2}$
去分母得：$1-n=-8+2(n-1)$
去括号得：$1-n=-8+2n-2$
移项、合并同类项得：$-3n=-11$
系数化为1得：$n=\frac{11}{3}$
$\because$ 题中规定n为整数，$\frac{11}{3}$不是整数，不符合条件，因此该方程不是“和解方程”。
【答案】
(1)$m=-\frac{9}{2}$；(2)该方程不是“和解方程”，理由见解析。
【知识点】
1.新定义问题 2.解一元一次方程 3.方程解的应用
【点评】
本题以新定义“和解方程”为背景，考查一元一次方程的解法及应用，解题关键是读懂新定义的规则，将新定义转化为常规的等量关系列方程求解，第二问需要注意结合n为整数的条件对结果进行验证，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“和解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则该方程为“和解方程”。（1）问解题思路：先求出方程$3x=m$的常规解，再根据“和解方程”的定义，令这个解等于$m+3$，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；（2）问解题思路：先求出方程$-2x=\frac{n-1}{2}$的常规解，假设该方程是“和解方程”，根据定义令解等于$-2+\frac{n-1}{2}$，列出关于n的方程求解，再结合n为整数的条件判断所求n是否符合要求，进而判断方程是否为“和解方程”。
【解析】
(1) 解方程$3x=m$，系数化为1得$x=\frac{m}{3}$。
$\because$ 关于x的一元一次方程$3x=m$是“和解方程”，根据定义可得：
$\frac{m}{3}=m+3$
去分母得：$m=3m+9$
移项、合并同类项得：$-2m=9$
系数化为1得：$m=-\frac{9}{2}$
(2) 该方程不是“和解方程”，理由如下：
解方程$-2x=\frac{n-1}{2}$，系数化为1得$x=\frac{1-n}{4}$。
假设该方程是“和解方程”，根据定义可得：
$\frac{1-n}{4}=-2+\frac{n-1}{2}$
去分母得：$1-n=-8+2(n-1)$
去括号得：$1-n=-8+2n-2$
移项、合并同类项得：$-3n=-11$
系数化为1得：$n=\frac{11}{3}$
$\because$ 题中规定n为整数，$\frac{11}{3}$不是整数，不符合条件，因此该方程不是“和解方程”。
【答案】
(1)$m=-\frac{9}{2}$；(2)该方程不是“和解方程”，理由见解析。
【知识点】
1.新定义问题 2.解一元一次方程 3.方程解的应用
【点评】
本题以新定义“和解方程”为背景，考查一元一次方程的解法及应用，解题关键是读懂新定义的规则，将新定义转化为常规的等量关系列方程求解，第二问需要注意结合n为整数的条件对结果进行验证，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
