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15.如图，直线$y=\frac{2}{3}x+4$与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为
$(-\dfrac{3}{2},0)$
。答案
15. $(-\dfrac{3}{2},0)$
解析
【分析】
本题是最短路径与一次函数结合的综合题，解题思路如下：1. 先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标；2. 利用中点坐标公式求出点C、D的坐标；3. 求PC+PD最小值属于“将军饮马”模型，作点D关于动点所在直线（x轴）的对称点D'，连接CD'，CD'与x轴的交点即为所求点P，此时PC+PD=CD'，值最小；4. 求出直线CD'的解析式，再计算它与x轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$，令$y=0$，则$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，故$A(-6,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故$B(0,4)$。
2. 求C、D两点坐标：
因为C是AB中点，根据中点坐标公式，C的横坐标为$\frac{-6+0}{2}=-3$，纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，即$C(-3,2)$；
因为D是OB中点，O为坐标原点$(0,0)$，故D的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，即$D(0,2)$。
3. 作对称点转化最短路径：
作点D关于x轴的对称点$D'$，根据x轴对称的点坐标特征，得$D'(0,-2)$。连接$CD'$，与x轴交于点P，此时$PC+PD=PC+PD'=CD'$，根据两点之间线段最短，此时PC+PD值最小。
4. 求直线$CD'$的解析式及点P坐标：
设直线$CD'$的解析式为$y=kx+b$，将$C(-3,2)$、$D'(0,-2)$代入：
把$D'(0,-2)$代入得$b=-2$；
把$C(-3,2)$、$b=-2$代入得$2=-3k-2$，解得$k=-\frac{4}{3}$；
故直线$CD'$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x-2$。
令$y=0$，则$0=-\frac{4}{3}x-2$，解得$x=-\frac{3}{2}$，故点P的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
【答案】
$(-\dfrac{3}{2},0)$
【知识点】
将军饮马最短路径，一次函数解析式求解，中点坐标计算
【点评】
本题将一次函数与最短路径问题结合，核心是利用轴对称转化线段和，再通过一次函数与坐标轴的交点求解坐标，是几何与代数结合的典型题型，需要熟练掌握最短路径模型和一次函数相关计算。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径与一次函数结合的综合题，解题思路如下：1. 先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标；2. 利用中点坐标公式求出点C、D的坐标；3. 求PC+PD最小值属于“将军饮马”模型，作点D关于动点所在直线（x轴）的对称点D'，连接CD'，CD'与x轴的交点即为所求点P，此时PC+PD=CD'，值最小；4. 求出直线CD'的解析式，再计算它与x轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$，令$y=0$，则$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，故$A(-6,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故$B(0,4)$。
2. 求C、D两点坐标：
因为C是AB中点，根据中点坐标公式，C的横坐标为$\frac{-6+0}{2}=-3$，纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，即$C(-3,2)$；
因为D是OB中点，O为坐标原点$(0,0)$，故D的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，即$D(0,2)$。
3. 作对称点转化最短路径：
作点D关于x轴的对称点$D'$，根据x轴对称的点坐标特征，得$D'(0,-2)$。连接$CD'$，与x轴交于点P，此时$PC+PD=PC+PD'=CD'$，根据两点之间线段最短，此时PC+PD值最小。
4. 求直线$CD'$的解析式及点P坐标：
设直线$CD'$的解析式为$y=kx+b$，将$C(-3,2)$、$D'(0,-2)$代入：
把$D'(0,-2)$代入得$b=-2$；
把$C(-3,2)$、$b=-2$代入得$2=-3k-2$，解得$k=-\frac{4}{3}$；
故直线$CD'$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x-2$。
令$y=0$，则$0=-\frac{4}{3}x-2$，解得$x=-\frac{3}{2}$，故点P的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
【答案】
$(-\dfrac{3}{2},0)$
【知识点】
将军饮马最短路径，一次函数解析式求解，中点坐标计算
【点评】
本题将一次函数与最短路径问题结合，核心是利用轴对称转化线段和，再通过一次函数与坐标轴的交点求解坐标，是几何与代数结合的典型题型，需要熟练掌握最短路径模型和一次函数相关计算。
【难度系数】
0.6
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-x+2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$，$B$。
(1)若点$P$的坐标为$(m+1,-m+1)$，试判断点$P$是否在直线$y=-x+2$上。
(2)若点$P(2m+4,1)$在$△ AOB$的内部，求$m$的取值范围。
(1)若点$P$的坐标为$(m+1,-m+1)$，试判断点$P$是否在直线$y=-x+2$上。
(2)若点$P(2m+4,1)$在$△ AOB$的内部，求$m$的取值范围。
答案
16. (1)把$P(m+1,-m+1)$代入$y=-x+2$,得左边$=-m+1$,右边$=-(m+1)+2=-m+1$,$\therefore$左边$=$右边,$\therefore$点$P$在直线$y=-x+2$上 (2)把$y=1$代入$y=-x+2$,得$x=1$,由题意得$0＜2m+4＜1$,解得$-2＜m＜-\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
（1）判断点是否在直线上的通用方法是代入验证：将点的横坐标代入直线解析式，若计算得到的函数值与点的纵坐标相等，说明点在直线上，反之则不在。本题直接将点P的横坐标代入解析式，对比计算结果和点P的纵坐标即可判断。
（2）△AOB是直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形，内部的点满足横坐标大于0、纵坐标大于0，且在直线AB下方。已知点P纵坐标为1，先求出直线AB上y=1对应的x值，再根据点P的横坐标需在0和该x值之间，列不等式求解m的范围即可。
【解析】
(1) 把点$P(m+1,-m+1)$的横坐标代入直线解析式$y=-x+2$，
右边$=-(m+1)+2=-m+1$，
点P的纵坐标为$-m+1$，即左边$=-m+1$，
$\because$左边$=$右边，
$\therefore$点$P$在直线$y=-x+2$上。
(2) 把$y=1$代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
$\because$点$P(2m+4,1)$在$△ AOB$的内部，
$\therefore$点P的横坐标满足$0＜2m+4＜1$，
解不等式$2m+4＞0$，得$m＞-2$，
解不等式$2m+4＜1$，得$m＜-\dfrac{3}{2}$，
$\therefore m$的取值范围是$-2＜m＜-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 点$P$在直线$y=-x+2$上；
(2) $-2＜m＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次不等式组、一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，第一问考察代入验证点与函数图象位置关系的基础技能，第二问结合几何区域特征考察数形结合求解参数的能力，整体侧重基础，需要熟练掌握一次函数的基本性质和代入法的应用。
【难度系数】
0.8
（1）判断点是否在直线上的通用方法是代入验证：将点的横坐标代入直线解析式，若计算得到的函数值与点的纵坐标相等，说明点在直线上，反之则不在。本题直接将点P的横坐标代入解析式，对比计算结果和点P的纵坐标即可判断。
（2）△AOB是直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形，内部的点满足横坐标大于0、纵坐标大于0，且在直线AB下方。已知点P纵坐标为1，先求出直线AB上y=1对应的x值，再根据点P的横坐标需在0和该x值之间，列不等式求解m的范围即可。
【解析】
(1) 把点$P(m+1,-m+1)$的横坐标代入直线解析式$y=-x+2$，
右边$=-(m+1)+2=-m+1$，
点P的纵坐标为$-m+1$，即左边$=-m+1$，
$\because$左边$=$右边，
$\therefore$点$P$在直线$y=-x+2$上。
(2) 把$y=1$代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
$\because$点$P(2m+4,1)$在$△ AOB$的内部，
$\therefore$点P的横坐标满足$0＜2m+4＜1$，
解不等式$2m+4＞0$，得$m＞-2$，
解不等式$2m+4＜1$，得$m＜-\dfrac{3}{2}$，
$\therefore m$的取值范围是$-2＜m＜-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 点$P$在直线$y=-x+2$上；
(2) $-2＜m＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次不等式组、一次函数的性质
【点评】
本题属于一次函数基础题型，第一问考察代入验证点与函数图象位置关系的基础技能，第二问结合几何区域特征考察数形结合求解参数的能力，整体侧重基础，需要熟练掌握一次函数的基本性质和代入法的应用。
【难度系数】
0.8
17. 甲、乙两人分别从A,B两地同时出发，相向而行，如图所示，线段$y_1,y_2$分别表示甲、乙离B地的距离与所用时间的关系。
(1)根据图象知A,B两地间的路程为
(2)相遇时，两人离B地的距离为
(3)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式。
(1)根据图象知A,B两地间的路程为
$20$
km，甲的速度为$5$
km/h。(2)相遇时，两人离B地的距离为
$7.5$
km。(3)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式。
答案
17. (1)20 5 (2)7.5 (3)$y_1=-5x+20,y_2=3x$
解析
【分析】
首先明确图像的横、纵坐标含义：x表示两人行驶的时间（单位：h），y表示离B地的距离（单位：km）。
(1) 初始时刻x=0时，甲离B地的距离就是A、B两地的总路程；甲走完全程用时4h，根据速度=路程÷时间即可求出甲的速度。
(2) 两条线的交点P表示两人相遇，对应x=2.5h，此时计算甲剩余到B地的距离，或者先求出乙的速度再计算乙走的路程，都能得到相遇时离B地的距离。
(3) 求一次函数解析式用待定系数法：y₁是过(0,20)和(4,0)的一次函数，代入一般式y=kx+b求解；y₂是过原点的正比例函数，代入交点坐标即可求出比例系数。
【解析】
(1) 当x=0时，$y_1=20$，即初始时刻甲在A地，离B地20km，因此A、B两地间的路程为20km；
由图可知甲从A地到B地用时4h，因此甲的速度为：$20÷4=5\ \mathrm{km/h}$。
(2) 相遇时对应的时间x=2.5h，此时甲行驶的路程为$5×2.5=12.5\ \mathrm{km}$，因此离B地的距离为$20-12.5=7.5\ \mathrm{km}$。
(3) ①求$y_1$的函数表达式：
设$y_1=k_1x+b$（$k_1≠0$），将点$(0,20)$和$(4,0)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\4k_1+b=0\end{cases}$
把b=20代入第二个方程，得$4k_1+20=0$，解得$k_1=-5$，
因此$y_1=-5x+20$（$0≤ x≤4$）。
②求$y_2$的函数表达式：
由图可知$y_2$是过原点的正比例函数，设$y_2=k_2x$（$k_2≠0$），
相遇点$(2.5,7.5)$在$y_2$上，代入得$7.5=2.5k_2$，解得$k_2=3$，
因此$y_2=3x$（$x≥0$）。
【答案】
(1)20；5 (2)7.5 (3)$y_1=-5x+20$，$y_2=3x$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图像性质
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图像中横纵坐标的实际意义，理解端点、交点等特殊点对应的实际场景，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确图像的横、纵坐标含义：x表示两人行驶的时间（单位：h），y表示离B地的距离（单位：km）。
(1) 初始时刻x=0时，甲离B地的距离就是A、B两地的总路程；甲走完全程用时4h，根据速度=路程÷时间即可求出甲的速度。
(2) 两条线的交点P表示两人相遇，对应x=2.5h，此时计算甲剩余到B地的距离，或者先求出乙的速度再计算乙走的路程，都能得到相遇时离B地的距离。
(3) 求一次函数解析式用待定系数法：y₁是过(0,20)和(4,0)的一次函数，代入一般式y=kx+b求解；y₂是过原点的正比例函数，代入交点坐标即可求出比例系数。
【解析】
(1) 当x=0时，$y_1=20$，即初始时刻甲在A地，离B地20km，因此A、B两地间的路程为20km；
由图可知甲从A地到B地用时4h，因此甲的速度为：$20÷4=5\ \mathrm{km/h}$。
(2) 相遇时对应的时间x=2.5h，此时甲行驶的路程为$5×2.5=12.5\ \mathrm{km}$，因此离B地的距离为$20-12.5=7.5\ \mathrm{km}$。
(3) ①求$y_1$的函数表达式：
设$y_1=k_1x+b$（$k_1≠0$），将点$(0,20)$和$(4,0)$代入得：
$\begin{cases}b=20\\4k_1+b=0\end{cases}$
把b=20代入第二个方程，得$4k_1+20=0$，解得$k_1=-5$，
因此$y_1=-5x+20$（$0≤ x≤4$）。
②求$y_2$的函数表达式：
由图可知$y_2$是过原点的正比例函数，设$y_2=k_2x$（$k_2≠0$），
相遇点$(2.5,7.5)$在$y_2$上，代入得$7.5=2.5k_2$，解得$k_2=3$，
因此$y_2=3x$（$x≥0$）。
【答案】
(1)20；5 (2)7.5 (3)$y_1=-5x+20$，$y_2=3x$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图像性质
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图像中横纵坐标的实际意义，理解端点、交点等特殊点对应的实际场景，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7
