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4. 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
(1)m的相反数:
(2)底面积是$π a$,高是$4b^2$的圆柱体的体积:
(3)$m$ kg含糖量为$25\%$的糖水中糖的重量:
(4)某商品进价为每件$a$元,商店将价格提高$20\%$作零售价销售,在销售旺季过后,商店又以$b(0 ＜ b ＜ 10)$折的价格开展促销活动,则这时该商品每件的售价:
(1)m的相反数:
$-m$
.在这个单项式中,它的系数是$-1$
,次数是$1$
.(2)底面积是$π a$,高是$4b^2$的圆柱体的体积:
$4π ab^2$
.在这个单项式中,它的系数是$4π$
,次数是$3$
.(3)$m$ kg含糖量为$25\%$的糖水中糖的重量:
$0.25m$
.在这个单项式中,它的系数是$0.25$
,次数是$1$
.(4)某商品进价为每件$a$元,商店将价格提高$20\%$作零售价销售,在销售旺季过后,商店又以$b(0 ＜ b ＜ 10)$折的价格开展促销活动,则这时该商品每件的售价:
$0.12ab$
.在这个单项式中,它的系数是$0.12$
,次数是$2$
.答案
4.(1) $-m$ (2)$4π ab^2$ (3)$0.25m$ (4)$0.12ab$(指出系数和次数略)
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心要点：一是先结合题目描述的数量关系列出对应的单项式；二是牢记单项式的相关定义：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。每一问按“列代数式→确定系数→计算次数”的步骤求解即可。
【解析】
(1) m的相反数为$-m$；该单项式的数字因数是$-1$，故系数为$-1$；仅含字母m，m的指数为1，故次数为1。
(2) 圆柱体积=底面积×高，代入数据得体积为$πa × 4b^2 = 4πab^2$；该单项式的数字因数是$4π$，故系数为$4π$；字母a的指数为1，字母b的指数为2，总次数为$1+2=3$。
(3) 糖的重量=糖水总质量×含糖率，代入数据得糖的重量为$25\%m=0.25m$；该单项式的数字因数是$0.25$，故系数为$0.25$；仅含字母m，m的指数为1，故次数为1。
(4) 首先计算提价20%后的零售价：$a×(1+20\%)=1.2a$；打b折销售即售价为零售价乘$0.1b$，因此最终售价为$1.2a×0.1b=0.12ab$；该单项式的数字因数是$0.12$，故系数为$0.12$；字母a的指数为1，字母b的指数为1，总次数为$1+1=2$。
【答案】
(1) $-m$，$-1$，$1$
(2) $4πab^2$，$4π$，$3$
(3) $0.25m$，$0.25$，$1$
(4) $0.12ab$，$0.12$，$2$
【知识点】
1. 单项式的系数与次数
2. 列代数式
3. 数量关系应用
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题时要注意π属于常数，需计入系数部分，不要误将π当作字母计算次数；同时处理打折问题时要明确几折对应的是原价的零点几倍，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心要点：一是先结合题目描述的数量关系列出对应的单项式；二是牢记单项式的相关定义：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。每一问按“列代数式→确定系数→计算次数”的步骤求解即可。
【解析】
(1) m的相反数为$-m$；该单项式的数字因数是$-1$，故系数为$-1$；仅含字母m，m的指数为1，故次数为1。
(2) 圆柱体积=底面积×高，代入数据得体积为$πa × 4b^2 = 4πab^2$；该单项式的数字因数是$4π$，故系数为$4π$；字母a的指数为1，字母b的指数为2，总次数为$1+2=3$。
(3) 糖的重量=糖水总质量×含糖率，代入数据得糖的重量为$25\%m=0.25m$；该单项式的数字因数是$0.25$，故系数为$0.25$；仅含字母m，m的指数为1，故次数为1。
(4) 首先计算提价20%后的零售价：$a×(1+20\%)=1.2a$；打b折销售即售价为零售价乘$0.1b$，因此最终售价为$1.2a×0.1b=0.12ab$；该单项式的数字因数是$0.12$，故系数为$0.12$；字母a的指数为1，字母b的指数为1，总次数为$1+1=2$。
【答案】
(1) $-m$，$-1$，$1$
(2) $4πab^2$，$4π$，$3$
(3) $0.25m$，$0.25$，$1$
(4) $0.12ab$，$0.12$，$2$
【知识点】
1. 单项式的系数与次数
2. 列代数式
3. 数量关系应用
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题时要注意π属于常数，需计入系数部分，不要误将π当作字母计算次数；同时处理打折问题时要明确几折对应的是原价的零点几倍，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 观察下列关于$ x $的单项式：
$ xy^2 $，$ -3x^2y^3 $，$ 5x^3y^4 $，$ -7x^4y^5 $，…
（1）直接写出第5个单项式：
（2）第$ n $个单项式为
（3）第20个单项式的系数和次数分别是多少？
（4）求系数的绝对值为255的单项式的系数和次数分别是多少？
$ xy^2 $，$ -3x^2y^3 $，$ 5x^3y^4 $，$ -7x^4y^5 $，…
（1）直接写出第5个单项式：
$9x^5y^6$
.（2）第$ n $个单项式为
$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$
.（3）第20个单项式的系数和次数分别是多少？
（4）求系数的绝对值为255的单项式的系数和次数分别是多少？
答案
5. (1)$9x^5y^6$ (2)$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$ (3)系数和次数分别为 -39,41. (4)系数和次数分别为 - 255,257.
解析
【分析】
解决这类单项式规律题，我们可以把单项式拆分为符号、系数绝对值、x的次数、y的次数四个部分，分别找每部分随序号n变化的规律，再组合得到通用表达式，最后代入对应序号就能解决所有小问。先列已知项的各部分特征对比：序号1对应正号、系数1、x次数1、y次数2；序号2对应负号、系数3、x次数2、y次数3……以此类推可快速发现规律。
【解析】
我们分别推导各部分的变化规律（n为正整数）：
1. 符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为$(-1)^{n+1}$；
2. 系数绝对值：是连续的奇数，可表示为$2n-1$；
3. x的次数：和序号一致，为$n$；
4. y的次数：比序号大1，为$n+1$。
(1) 代入$n=5$：符号为正，系数绝对值$2×5-1=9$，x次数为5，y次数为$5+1=6$，得第5个单项式。
(2) 把四部分规律组合，即可得到第n个单项式的表达式。
(3) 代入$n=20$：系数为$(-1)^{20+1}×(2×20-1)=-39$，次数为所有字母指数和$20+(20+1)=41$。
(4) 先令$2n-1=255$，解得$n=128$，再代入计算：系数为$(-1)^{128+1}×255=-255$，次数为$128+(128+1)=257$。
【答案】
(1)$9x^5y^6$
(2)$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$
(3)系数为-39，次数为41
(4)系数为-255，次数为257
【知识点】
单项式的系数与次数，规律探究，整式的概念
【点评】
本题是整式章节的典型拓展题，核心考查拆分分析规律的能力，将复杂的单项式拆分为多个独立部分分别找规律，能大幅降低解题难度，对归纳推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律题，我们可以把单项式拆分为符号、系数绝对值、x的次数、y的次数四个部分，分别找每部分随序号n变化的规律，再组合得到通用表达式，最后代入对应序号就能解决所有小问。先列已知项的各部分特征对比：序号1对应正号、系数1、x次数1、y次数2；序号2对应负号、系数3、x次数2、y次数3……以此类推可快速发现规律。
【解析】
我们分别推导各部分的变化规律（n为正整数）：
1. 符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为$(-1)^{n+1}$；
2. 系数绝对值：是连续的奇数，可表示为$2n-1$；
3. x的次数：和序号一致，为$n$；
4. y的次数：比序号大1，为$n+1$。
(1) 代入$n=5$：符号为正，系数绝对值$2×5-1=9$，x次数为5，y次数为$5+1=6$，得第5个单项式。
(2) 把四部分规律组合，即可得到第n个单项式的表达式。
(3) 代入$n=20$：系数为$(-1)^{20+1}×(2×20-1)=-39$，次数为所有字母指数和$20+(20+1)=41$。
(4) 先令$2n-1=255$，解得$n=128$，再代入计算：系数为$(-1)^{128+1}×255=-255$，次数为$128+(128+1)=257$。
【答案】
(1)$9x^5y^6$
(2)$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$
(3)系数为-39，次数为41
(4)系数为-255，次数为257
【知识点】
单项式的系数与次数，规律探究，整式的概念
【点评】
本题是整式章节的典型拓展题，核心考查拆分分析规律的能力，将复杂的单项式拆分为多个独立部分分别找规律，能大幅降低解题难度，对归纳推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
1. 多项式
叫作多项式；在多项式中，叫作多项式的项，的项叫常数项. 比如多项式$2x^3y^4z + 8x^6 -7$的项有，其中常数项为.
归纳:多项式的项包括它前面的符号;多
项式没有系数,但多项式的每一项都有系数,每一项的系数包括它前面的符号.
2. 多项式的次数
多项式里，叫多项式的次数. 比如$2x^3y^4z +8x^6 -7$的次数为.
归纳:多项式的次数不是各项次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数;多项式的最高次项不一定是唯一的. 比如多项式$2x^3y^4z +8x^8 +3x -4y -7$中,$2x^3y^4z$与$8x^8$都是最高次项.
3. 整式:统称为整式.
叫作多项式；在多项式中，叫作多项式的项，的项叫常数项. 比如多项式$2x^3y^4z + 8x^6 -7$的项有，其中常数项为.
归纳:多项式的项包括它前面的符号;多
项式没有系数,但多项式的每一项都有系数,每一项的系数包括它前面的符号.
2. 多项式的次数
多项式里，叫多项式的次数. 比如$2x^3y^4z +8x^6 -7$的次数为.
归纳:多项式的次数不是各项次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数;多项式的最高次项不一定是唯一的. 比如多项式$2x^3y^4z +8x^8 +3x -4y -7$中,$2x^3y^4z$与$8x^8$都是最高次项.
3. 整式:统称为整式.
答案
解：
几个单项式的和
每个单项式
不含字母
$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$
$-7$
次数最高的项的次数
$8$
单项式与多项式
几个单项式的和
每个单项式
不含字母
$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$
$-7$
次数最高的项的次数
$8$
单项式与多项式
解析
【分析】
本题主要考察整式相关的基础概念，解题思路如下：1. 首先回忆教材中多项式、多项式的项、常数项的定义，填写对应概念空，再拆分给出的多项式，注意每一项要包含它前面的符号，找出所有项和常数项；2. 回忆多项式次数的定义，计算多项式中每一项的次数，取最高值即为多项式的次数，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，注意指数为1的字母不要漏算；3. 回忆整式的分类定义直接填写即可。
【解析】
1. 按照多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式；在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫常数项。
拆分多项式$2x^3y^4z + 8x^6 -7$，每一项带符号分别为$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$，其中不含字母的是$-7$，即常数项为$-7$。
2. 按照多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数叫多项式的次数。
计算$2x^3y^4z$的次数为$3+4+1=8$，$8x^6$的次数为$6$，最高次数为$8$，因此该多项式的次数为$8$。
3. 按照整式的定义：单项式与多项式统称为整式。
【答案】
几个单项式的和；每个单项式；不含字母；$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$；$-7$；次数最高的项的次数；$8$；单项式与多项式
【知识点】
多项式的相关概念；多项式的次数；整式的定义
【点评】
本题是整式模块的基础概念题，重点考察对核心定义的记忆与细节把控，比如多项式的项要包含前面的符号、计算单项式次数时不要遗漏指数为1的字母等，掌握这些基础概念是后续学习整式加减运算的前提。
【难度系数】
0.85
本题主要考察整式相关的基础概念，解题思路如下：1. 首先回忆教材中多项式、多项式的项、常数项的定义，填写对应概念空，再拆分给出的多项式，注意每一项要包含它前面的符号，找出所有项和常数项；2. 回忆多项式次数的定义，计算多项式中每一项的次数，取最高值即为多项式的次数，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，注意指数为1的字母不要漏算；3. 回忆整式的分类定义直接填写即可。
【解析】
1. 按照多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式；在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫常数项。
拆分多项式$2x^3y^4z + 8x^6 -7$，每一项带符号分别为$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$，其中不含字母的是$-7$，即常数项为$-7$。
2. 按照多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数叫多项式的次数。
计算$2x^3y^4z$的次数为$3+4+1=8$，$8x^6$的次数为$6$，最高次数为$8$，因此该多项式的次数为$8$。
3. 按照整式的定义：单项式与多项式统称为整式。
【答案】
几个单项式的和；每个单项式；不含字母；$2x^3y^4z$、$8x^6$、$-7$；$-7$；次数最高的项的次数；$8$；单项式与多项式
【知识点】
多项式的相关概念；多项式的次数；整式的定义
【点评】
本题是整式模块的基础概念题，重点考察对核心定义的记忆与细节把控，比如多项式的项要包含前面的符号、计算单项式次数时不要遗漏指数为1的字母等，掌握这些基础概念是后续学习整式加减运算的前提。
【难度系数】
0.85
