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9.【问题探究】
(1)如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点。若AC=9 cm,CB=6 cm,则线段MN的长为
【方法迁移】
(2)已知点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点。若AC=a cm,CB=b cm,则线段MN的长为
【学以致用】
(3)小亮同学对本校七年级(1)班参加延时服务情况进行统计,其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍,参加延时服务的男生是全班男生人数的$\frac{2}{3}$,参加延时服务的男、女生共有m人。请求出该班共有学生多少人(用含m的式子表示)。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点。若AC=9 cm,CB=6 cm,则线段MN的长为
7.5
cm。【方法迁移】
(2)已知点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点。若AC=a cm,CB=b cm,则线段MN的长为
$\frac{a+b}{2}$
cm。【学以致用】
(3)小亮同学对本校七年级(1)班参加延时服务情况进行统计,其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍,参加延时服务的男生是全班男生人数的$\frac{2}{3}$,参加延时服务的男、女生共有m人。请求出该班共有学生多少人(用含m的式子表示)。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
9.解:(1)因为点 M,N 分别是 AC,BC 的中点，
$AC=9\ \mathrm{cm},CB=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=4.5(\mathrm{cm}),CN=\frac{1}{2}BC=3(\mathrm{cm})$，
所以 $MN=MC+CN=4.5+3=7.5(\mathrm{cm})$。
故答案为 7.5。
(2)因为点 M,N 分别是 AC,BC 的中点，
$AC=a\ \mathrm{cm},CB=b\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm},CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}\ \mathrm{cm}$，
故答案为$\frac{a+b}{2}$。
(3)如图所示：
线段 AB 的长度表示参加延时服务的女生；
线段 BC 的长度表示未参加延时服务的女生；
线段 CD 的长度表示参加延时服务的男生人数；
线段 DE 的长度表示未参加延时服务的男生人数。
设 $BC=x,CE=y$,则 $2x+\frac{2}{3}y=m$，
所以 $3x+y=\frac{3}{2}m$ 人，
即该班共有学生$\frac{3}{2}m$ 人。
解析
【分析】
(1) 解题首先利用线段中点的性质：中点将线段分为等长的两段，长度为原线段的一半。已知M、N分别是AC、BC的中点，先分别求出MC、CN的长度，再根据MN是MC与CN的和，相加即可得到结果。
(2) 本问是第一问的字母推广，思路与第一问完全一致，将具体数值替换为字母a、b，同样先借助中点性质表示MC、CN，再求和整理即可得到MN的表达式。
(3) 本问是线段建模的实际应用，先根据题目中男女生参加、未参加延时服务的数量关系，用不同线段对应各部分人数，设未参加的女生人数、全班男生人数为未知数，结合参加总人数为m列等式，整理变形后就能得到全班总人数的表达式。
【解析】
(1) 因为点M、N分别是AC、BC的中点，$AC=9\ \mathrm{cm},CB=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5(\mathrm{cm}),CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
所以 $MN=MC+CN=4.5+3=7.5(\mathrm{cm})$。
(2) 因为点M、N分别是AC、BC的中点，$AC=a\ \mathrm{cm},CB=b\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm},CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 用线段建模表示各部分人数：
线段AB的长度表示参加延时服务的女生；
线段BC的长度表示未参加延时服务的女生；
线段CD的长度表示参加延时服务的男生人数；
线段DE的长度表示未参加延时服务的男生人数。
设未参加延时服务的女生人数为$x$，全班男生人数为$y$，
由题意得：参加延时服务的女生人数为$2x$，参加延时服务的男生人数为$\frac{2}{3}y$，则$2x+\frac{2}{3}y=m$，
等式两边同时乘$\frac{3}{2}$得：$3x+y=\frac{3}{2}m$，
全班总人数为女生总人数$3x$加男生总人数$y$，即总人数为$3x+y$，因此该班共有学生$\frac{3}{2}m$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.5}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a+b}{2}}$
(3) 该班共有学生$\boldsymbol{\frac{3}{2}m}$人，建模用图：
（课后反思为开放性内容，可结合自身学习情况填写）
【知识点】
线段中点定义；线段和差运算；数形结合应用
【点评】
本题设置由浅入深，从基础的线段长度计算，到字母表示线段的规律推导，再到利用线段建模解决实际问题，既考察了线段的核心基础知识，也锻炼了知识迁移能力和数形结合解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先利用线段中点的性质：中点将线段分为等长的两段，长度为原线段的一半。已知M、N分别是AC、BC的中点，先分别求出MC、CN的长度，再根据MN是MC与CN的和，相加即可得到结果。
(2) 本问是第一问的字母推广，思路与第一问完全一致，将具体数值替换为字母a、b，同样先借助中点性质表示MC、CN，再求和整理即可得到MN的表达式。
(3) 本问是线段建模的实际应用，先根据题目中男女生参加、未参加延时服务的数量关系，用不同线段对应各部分人数，设未参加的女生人数、全班男生人数为未知数，结合参加总人数为m列等式，整理变形后就能得到全班总人数的表达式。
【解析】
(1) 因为点M、N分别是AC、BC的中点，$AC=9\ \mathrm{cm},CB=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5(\mathrm{cm}),CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
所以 $MN=MC+CN=4.5+3=7.5(\mathrm{cm})$。
(2) 因为点M、N分别是AC、BC的中点，$AC=a\ \mathrm{cm},CB=b\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm},CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 用线段建模表示各部分人数：
线段AB的长度表示参加延时服务的女生；
线段BC的长度表示未参加延时服务的女生；
线段CD的长度表示参加延时服务的男生人数；
线段DE的长度表示未参加延时服务的男生人数。
设未参加延时服务的女生人数为$x$，全班男生人数为$y$，
由题意得：参加延时服务的女生人数为$2x$，参加延时服务的男生人数为$\frac{2}{3}y$，则$2x+\frac{2}{3}y=m$，
等式两边同时乘$\frac{3}{2}$得：$3x+y=\frac{3}{2}m$，
全班总人数为女生总人数$3x$加男生总人数$y$，即总人数为$3x+y$，因此该班共有学生$\frac{3}{2}m$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.5}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a+b}{2}}$
(3) 该班共有学生$\boldsymbol{\frac{3}{2}m}$人，建模用图：
（课后反思为开放性内容，可结合自身学习情况填写）
【知识点】
线段中点定义；线段和差运算；数形结合应用
【点评】
本题设置由浅入深，从基础的线段长度计算，到字母表示线段的规律推导，再到利用线段建模解决实际问题，既考察了线段的核心基础知识，也锻炼了知识迁移能力和数形结合解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
