5.如图,小明进行了如下操作:
(1)作射线AM;
(2)在射线AM上依次截取$AC=CD=a$;
(3)在线段DA上截取$DB=b$;
(4)分别找到线段AC,BD的中点E,F。
有下列说法:①$AD=2a$;②$AB=a+b$;
③$BC=a-b$;④$EF=\dfrac{3}{2}a-\dfrac{1}{2}b$。其中正确的是(填序号)。

5.①③④

【分析】
解题时先根据题目给出的线段截取条件明确各线段的长度关系，再逐个验证4个说法是否正确：先通过线段和差判断①②③，涉及中点的结论利用“中点将线段分为长度相等的两段”的性质计算线段长度后判断即可。
【解析】
1. 验证①：由操作(2)可知$AC=CD=a$，因此$AD=AC+CD=a+a=2a$，故①正确；
2. 验证②：由图可知点B在线段AD上，$DB=b$，因此$AB=AD-DB=2a-b$，不等于$a+b$，故②错误；
3. 验证③：$CD=a$，$DB=b$，因此$BC=CD-DB=a-b$，故③正确；
4. 验证④：因为E是AC中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$；因为F是BD中点，所以$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b$。因此$EF=EC+BC+BF=\frac{1}{2}a+(a-b)+\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b$，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质
【点评】
本题考查线段的和差运算及中点性质的应用，解题的关键是理清各线段的位置和数量关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.7

6.【阅读材料】
用尺规作图作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：
已知：线段a，如图①。
求作：线段AB，使得线段AB=a。
解：作图步骤如下：
①作射线AM；
②用圆规在射线AM上截取AB=a，如图②。
所以线段AB为所求作的线段。
【解决问题】
已知：线段b，如图③。
(1)请你仿照小明的作法，在图②中的射线AM上作线段BD，使得BD=b(不要求写作法和结论，保留作图痕迹，用签字笔加粗)。
(2)在(1)的条件下，取线段AD的中点E，若AB=4，BD=2，求线段BE的长。

6.(1)略。
(2)解:因为 E 为线段 AD 的中点，
所以 $AE=\frac{1}{2}AD$。
分两种情况：
如图①,点 D 在线段 AB 的延长线上。
因为 $AB=4,BD=2$，
所以 $AD=AB+BD=6$。
所以 $AE=3$。
所以 $BE=AB-AE=1$。

如图②,点 D 在线段 AB 上。
因为 $AB=4,BD=2$，
所以 $AD=AB-BD=2$。
所以 $AE=1$。
所以 $BE=AB-AE=3$。
综上所述,BE 的长为 1 或 3。

【分析】
(1) 作图思路：仿照截取AB=a的方法，先用圆规量取线段b的长度，再以点B为端点，在射线AM上截取长度等于b的线段即可，注意D点位置有两种可能（在B的左侧或右侧）。
(2) 解题思路：题目未明确点D相对于线段AB的位置，因此需要分两种情况讨论：①点D在线段AB的延长线上；②点D在线段AB上。先根据线段的和差关系求出AD的长度，再结合线段中点的性质求出AE的长度，最后通过线段的和差计算BE的长度。
【解析】
(1) 作图略，保留作图痕迹即可。
(2) 因为E为线段AD的中点，所以 $AE=\frac{1}{2}AD$，分两种情况讨论：
① 如图①，点D在线段AB的延长线上：
因为 $AB=4,BD=2$，所以 $AD=AB+BD=4+2=6$，
所以 $AE=\frac{1}{2}AD=3$，
所以 $BE=AB-AE=4-3=1$。

② 如图②，点D在线段AB上：
因为 $AB=4,BD=2$，所以 $AD=AB-BD=4-2=2$，
所以 $AE=\frac{1}{2}AD=1$，
所以 $BE=AB-AE=4-1=3$。
综上所述，BE的长为1或3。
【答案】
(1) 略。
(2) BE的长为1或3。

【知识点】
尺规作图作线段、线段中点的性质、线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段的相关运算，解题的关键是明确当点的位置不唯一时，要分类讨论避免漏解，同时需熟练掌握线段中点的性质和线段和差的计算方法。
【难度系数】
0.7

7. 一条直线上有A，B，C三点，已知AB=5 cm，BC=3 cm，若点M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN的长为。

7.4 cm 或 1 cm

【分析】
本题考查直线上三点的位置关系与线段运算，解题思路如下：首先明确直线上三点的位置不唯一，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。再结合线段中点的性质，分别计算两种情况下MN的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：点C在线段AB上
∵M是AB的中点，AB=5cm
∴$MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×5 = 2.5\mathrm{cm}$
∵N是BC的中点，BC=3cm
∴$NB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×3 = 1.5\mathrm{cm}$
此时$MN = MB - NB = 2.5 - 1.5 = 1\mathrm{cm}$
情况2：点C在线段AB的延长线上
同理可得$MB=2.5\mathrm{cm}$，$NB=1.5\mathrm{cm}$
此时$MN = MB + NB = 2.5 + 1.5 = 4\mathrm{cm}$
综上，线段MN的长为4cm或1cm。
【答案】
4 cm 或 1 cm
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种可能，只计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到直线上多点的线段计算问题，要先考虑所有可能的位置关系，再分类求解。
【难度系数】
0.6

8.如图，点A，B，C是三个居住人口数量相同的住宅小区的大门位置，且A，B，C三点共线，已知AB＝120 m，BC＝200 m，点E，F分别是AB，BC的中点，为了方便三个小区的居民出行，公交公司计划在E点或F点设一公交停靠站点，为使从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和最小，你认为公交车停靠点的位置应设在哪里？为什么？

8.解:因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点，
$AB=120\ \mathrm{m},BC=200\ \mathrm{m}$，
所以 $AE=BE=60\ \mathrm{m},BF=CF=100\ \mathrm{m}$。
当公交公司在 E 点设一公交停靠站点,则从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和为：
$AE+BE+CE=AB+BC+BE$
$=120+200+60$
$=380(\mathrm{m})$。
当公交公司在 F 点设一公交停靠站点,则从三个小区大门步行到公交停靠点的路程长之和为：
$AF+BF+CF=AB+BF+BC$
$=120+100+200$
$=420(\mathrm{m})$。
因为 $380＜420$,所以公交车停靠点的位置应该是点 E 处。

【分析】
解题时可按照以下思路逐步推导：首先，根据E、F分别是AB、BC的中点，结合已知的AB、BC长度，利用线段中点的性质算出各小段线段的长度；其次，分别计算公交站设在E点、F点时，三个小区大门到站点的路程总和；最后比较两个总和的大小，路程和更小的位置就是最优停靠点。
【解析】
因为E，F分别是AB，BC的中点，$AB=120\ \mathrm{m},BC=200\ \mathrm{m}$，
所以 $AE=BE=\frac{1}{2}AB=60\ \mathrm{m},BF=CF=\frac{1}{2}BC=100\ \mathrm{m}$。
当公交停靠站点设在E点时，三个小区到站点的路程总和为：
$AE+BE+CE=AB+(BE+BC)=120+60+200=380(\mathrm{m})$。
当公交停靠站点设在F点时，三个小区到站点的路程总和为：
$AF+BF+CF=(AB+BF)+BC=120+100+200=420(\mathrm{m})$。
因为 $380＜420$，所以停靠点设在E点时总路程更小。
【答案】
公交车停靠点的位置应设在E点。
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活出行场景考查线段的基础运算，解题逻辑清晰，只需分别计算两种方案的总路程再比较大小即可得到结果，能够锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.8