1. 若一种服装的销售利润$y$(万元)与销售数量$x$(万件)之间的函数解析式为$y=-2x^2+4x+5$，则销售利润最大为（ ）
A. 5万元
B. 7万元
C. 8万元
D. 6万元

B

2. (教材 P50 探究2 变式)某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么销售单价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大.

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3.（新考向·传统文化）(2024·内江)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒贵20元,某商家用5000元购进的猪肉粽的盒数与用3000元购进的豆沙粽的盒数相同.在销售中,该商家发现,当猪肉粽每盒的售价为52元时,可售出180盒;当每盒的售价提高1元时,少售出10盒.
(1) 求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒的售价为$ x $元$(52≤ x≤70)$,$ y $(单位:元)表示该商家销售猪肉粽的利润,求$ y $关于$ x $的函数解析式并求出$ y $的最大值.

解: （1）设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a - 20)$元。 根据题意，得$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a - 20}，$ 方程两边同乘$a(a - 20)$得：$5000(a - 20)=3000a，$ 展开得：$5000a-100000 = 3000a，$ 移项得：$5000a-3000a=100000，$ 合并同类项得：$2000a = 100000，$ 解得$a = 50。$ 经检验，当$a = 50$时，$a(a - 20)=50\times(50 - 20)=1500\neq0，$所以$a = 50$是所列方程的解。 此时$a - 20=30。$ 所以猪肉粽每盒的进价为$50$元，豆沙粽每盒的进价为$30$元。 （2）由题意，得当猪肉粽每盒的售价为$x$元$(52\leqslant x\leqslant70)$时，每天可售出$[180 - 10(x - 52)]$盒。 $y=(x - 50)[180 - 10(x - 52)]=(x - 50)(-10x + 700)=-10x^{2}+1200x - 35000=-10(x - 60)^{2}+1000。$ 因为$-10\lt0，$$52\leqslant x\leqslant70，$所以当$x = 60$时，$y$取最大值，最大值为$1000。$ 所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x^{2}+1200x - 35000(52\leqslant x\leqslant70)，$且$y$的最大值为$1000。$

4. (教材P52习题22.3第8题变式)某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每张床位每天的收费提高2元，则相应地减少了10张床位的租出.如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是 （ ）
A. 14元
B. 15元
C. 16元
D. 18元

C

5. 某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售，尽快减少库存，该服装店决定采取适当的降价措施. 经市场调查发现，一件衣服每降价1元，该服装店平均每天可多售出2件. 当每件衣服降价______元时，该服装店每天盈利最多.

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6. 某创新公司生产营销 A,B 两种产品,根据市场调研发现如下信息:
信息 1:平均每月销售 A 种产品 4 吨,每吨盈利 4 万元.如果每吨 A 产品降价 0.1 万元,那么公司平均每月可多销售 0.2 吨.设每月销售 A 种产品所获利润为 $ y_1 $ 万元,所售产品数量为 $ x_1 $ 吨.
信息 2:销售 B 种产品所获利润 $ y_2 $(万元)与所售产品数量 $ x_2 $(吨)之间存在正比例函数关系 $ y_2 = 3x_2 $.
(1) 求销售 A 种产品的最大利润.
(2) 该公司准备生产营销 A,B 两种产品共 10 吨,且 A 种产品的数量不少于 B 种产品数量的 $ \frac{2}{3} $.当生产营销 A,B 两种产品各多少吨时,销售 A,B 两种产品所获利润之和最大?

解: （1）由题意，可得$y_{1}=[4-\frac{0.1}{0.2}(x_{1}-4)]x_{1}=-\frac{1}{2}(x_{1}-6)^{2}+18，$ 因为二次项系数$-\frac{1}{2}\lt0，$所以当$x_{1}=6$时，$y_{1}$取得最大值$18。$所以销售$A$种产品的最大利润为$18$万元。 （2）设生产营销$A$种产品$m$吨，则生产营销$B$种产品$(10 - m)$吨。 因为$A$种产品的数量不少于$B$种产品数量的$\frac{2}{3}，$所以$m\geqslant\frac{2}{3}(10 - m)，$ 去括号得$m\geqslant\frac{20}{3}-\frac{2}{3}m，$ 移项得$m+\frac{2}{3}m\geqslant\frac{20}{3}，$ 合并同类项得$\frac{5}{3}m\geqslant\frac{20}{3}，$ 解得$m\geqslant4。$ 由题意，得$10 - m\gt0，$解得$m\lt10。$所以$4\leqslant m\lt10。$ 设销售$A，$$B$两种产品所获利润之和为$W$元。 由题意，可得$W=-\frac{1}{2}(m - 6)^{2}+18+3(10 - m)=-\frac{1}{2}(m - 3)^{2}+\frac{69}{2}。$ 因为二次项系数$-\frac{1}{2}\lt0，$所以当$m = 4$时，销售$A，$$B$两种产品所获利润之和最大，此时$10 - m = 6。$ 所以当生产营销$A$种产品$4$吨，$B$种产品$6$吨时，销售$A，$$B$两种产品所获利润之和最大。