7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时点$Q$从点$C$出发,沿$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(当点$Q$运动到点$B$时,点$P,Q$同时停止运动).在运动过程中,四边形$PABQ$的面积最小为 ( )
A. $19\ \mathrm{cm}^2$
B. $16\ \mathrm{cm}^2$
C. $15\ \mathrm{cm}^2$
D. $12\ \mathrm{cm}^2$

C

8. (教材P52习题22.3第7题变式)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B处时,四个点同时停止运动.在运动过程中,当运动时间为________s时,四边形EFGH的面积最小,最小是________$\mathrm{cm}^2$.

3
; 18

9. 如图,把一张长10 cm、宽8 cm的长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1) 要使无盖长方体盒子的底面积为$48\ \mathrm{cm}^2$,求剪去的正方形的边长.
(2) 折成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗?若有,求出最大侧面积;若没有,请说明理由.

解：（1）设剪去的正方形的边长为$x cm。$依题意，得$(10 - 2x)(8 - 2x) = 48，$ 展开式子得$80 - 20x - 16x + 4x^2 = 48，$ 整理得$x^2 - 9x + 8 = 0，$ 因式分解得$(x - 1)(x - 8) = 0，$ 解得$x_1 = 8$（不合题意，舍去，因为$8\times2＞10$和$8\times2＞8，$剪去的正方形边长过大），$x_2 = 1。$ 所以剪去的正方形的边长为$1cm。$ （2）有。设剪去的正方形的边长为$x cm，$长方体盒子的侧面积为$y cm^2，$ 则$y$关于$x$的函数解析式为$y = 2(10 - 2x)x + 2(8 - 2x)x = 20x - 4x^2 + 16x - 4x^2 = -8x^2 + 36x = -8(x - \frac{9}{4})^2 + \frac{81}{2}(0 ＜ x ＜ 4)。$ 因为$0 ＜ x ＜ 4，$所以当$x = \frac{9}{4}$时，$y$最大，为$\frac{81}{2}。$ 所以当剪去的正方形的边长为$\frac{9}{4}cm$时，长方体盒子的侧面积最大，为$\frac{81}{2}cm^2。$

10. (2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图)，花园里种满牡丹和芍药，篱笆共120米.
(1) 设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积.
(2) 在花园面积最大的条件下，往A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株.已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹.

第10题

解：（1）设垂直于墙的边长为$x$米，围成的矩形面积为$S$平方米，则平行于墙的边长为$(120 - 3x)$米。 根据题意，得$S = x(120 - 3x) = -3x^2 + 120x = -3(x^2 - 40x) = -3(x^2 - 40x + 400 - 400) = -3((x - 20)^2 - 400) = -3(x - 20)^2 + 1200。$ 因为$-3 ＜ 0，$所以当$x = 20$时，$S$取最大值$1200。$ 此时$120 - 3x = 120 - 3×20 = 60。$ 所以垂直于墙的边长为$20$米，平行于墙的边长为$60$米，花园面积最大为$1200$平方米。 （2）设购买$m$株牡丹，则购买$1200×2 - m = (2400 - m)$株芍药。 因为学校计划购买费用不超过$5$万元，$5$万元$ = 50000$元， 所以$25m + 15(2400 - m) \leq 50000，$ 展开得$25m + 36000 - 15m \leq 50000，$ 移项合并得$10m \leq 50000 - 36000，$ 即$10m \leq 14000，$ 解得$m \leq 1400。$ 所以最多可以购买$1400$株牡丹。