5. 如图，在$△ ABC$中，$BD$，$BE$三等分$∠ ABC$，$CD$，$CE$三等分$∠ ACB$。若$∠ A=α°$，则$∠ BEC$的度数为 °（用含$α$的式子表示）。

5. $(60+\frac{2}{3}α)$

【分析】
要计算∠BEC的度数，需先明确△BEC中两个底角∠EBC与∠ECB的和。首先根据三角形内角和定理，在△ABC中已知∠A=α°，可先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再结合角三等分的定义，可得∠EBC、∠ECB分别为∠ABC、∠ACB的$\frac{2}{3}$，进而求出∠EBC与∠ECB的和；最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = (180 - α)°$
∵BD、BE三等分$∠ ABC$，CD、CE三等分$∠ ACB$
∴$∠ EBC = \frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{2}{3}∠ ACB$
∴$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{2}{3}(180 - α)° = (120 - \frac{2}{3}α)°$
在△BEC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - (120 - \frac{2}{3}α)° = (60 + \frac{2}{3}α)°$
【答案】
$(60+\frac{2}{3}α)$
【知识点】
三角形内角和定理，角三等分的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础应用题，解题时运用整体代入的思想，将角的和作为整体计算简化了运算过程，需注意准确把握角三等分后所求角对应的分率。
【难度系数】
0.7

如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD和CB，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题.
（1）在图①中写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的等量关系：.
（2）如图②，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并与CD，AB分别交于点M，N.
①若∠D＝40°，∠B＝36°，求∠P的度数；
②探究∠P与∠D，∠B之间有何等量关系，并说明理由.

（图① 图②）
（1）∠A＋∠D＝∠B＋∠C 解析 在△OAD中，∠A＋∠D＋∠AOD＝180°.
在△OBC中，∠B＋∠C＋∠BOC＝180°.
因为∠AOD＝∠BOC，
所以∠A＋∠D＝∠B＋∠C.
（2）解 ①因为∠D＝40°，∠B＝36°，
由（1）的结论得∠DAB＋∠D＝∠B＋∠BCD，
所以∠DAB＋40°＝36°＋∠BCD.
所以∠BCD－∠DAB＝4°.
因为∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
所以∠DAB＝2∠DAP，∠BCD＝2∠DCP.
所以2∠DCP－2∠DAP＝4°.
所以∠DCP－∠DAP＝2°.
因为DC，AP交于点M，
由“8字型”结论得∠D＋∠DAP＝∠P＋∠DCP，
所以∠P＝∠D－（∠DCP－∠DAP）＝40°－2°＝38°.
②∠P＝$\frac{1}{2}$(∠D＋∠B).理由如下：
由（1）的结论得∠DAB＋∠D＝∠B＋∠BCD，
所以∠BCD－∠DAB＝∠D－∠B.
因为∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
所以∠DAB＝2∠DAP，∠BCD＝2∠DCP.
所以2∠DCP－2∠DAP＝∠D－∠B.
即∠DCP－∠DAP＝$\frac{1}{2}$(∠D－∠B).
因为DC，AP交于点M，
由“8字型”结论得∠D＋∠DAP＝∠P＋∠DCP，
所以∠P＝∠D－(∠DCP－∠DAP)＝∠D－$\frac{1}{2}$(∠D－∠B)＝$\frac{1}{2}$(∠D＋∠B).
即∠P＝$\frac{1}{2}$(∠D＋∠B).

解：
（1）在△OAD中，∠A + ∠D + ∠AOD = 180°，
在△OBC中，∠B + ∠C + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOD = ∠BOC，
∴ ∠A + ∠D = ∠B + ∠C。
（2）① 由（1）的“8字型”结论可得：∠DAB + ∠D = ∠B + ∠BCD，
将∠D=40°，∠B=36°代入，得∠DAB + 40° = 36° + ∠BCD，
整理得∠BCD - ∠DAB = 4°。
∵ AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴ ∠DAB = 2∠DAP，∠BCD = 2∠DCP，
代入得2∠DCP - 2∠DAP = 4°，
即∠DCP - ∠DAP = 2°。
∵ DC与AP交于点M，构成“8字型”，
由（1）的结论得∠D + ∠DAP = ∠P + ∠DCP，
∴ ∠P = ∠D - (∠DCP - ∠DAP) = 40° - 2° = 38°。
② 等量关系为$\boldsymbol{∠P = \frac{1}{2}(∠D + ∠B)}$，理由如下：
由（1）的“8字型”结论得∠DAB + ∠D = ∠B + ∠BCD，
整理得∠BCD - ∠DAB = ∠D - ∠B。
∵ AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴ ∠DAB = 2∠DAP，∠BCD = 2∠DCP，
代入得2∠DCP - 2∠DAP = ∠D - ∠B，
即∠DCP - ∠DAP = $\frac{1}{2}(∠D - ∠B)$。
∵ DC与AP交于点M，构成“8字型”，
∴ ∠D + ∠DAP = ∠P + ∠DCP，
变形得∠P = ∠D - (∠DCP - ∠DAP) = ∠D - $\frac{1}{2}(∠D - ∠B)$ = $\frac{1}{2}(∠D + ∠B)$，
即$∠P = \frac{1}{2}(∠D + ∠B)$。

【分析】
（1）观察图①的“8字型”结构，可分别对△AOD和△BOC应用三角形内角和定理，结合两个三角形的对顶角∠AOD、∠BOC相等，消去相等的角即可得到四个角的等量关系。
（2）①求∠P的度数时，先利用（1）的“8字型”结论求出∠BCD与∠DAB的差，再结合角平分线的定义得到∠DCP与∠DAP的差，最后再次利用△ADM和△PCM构成的“8字型”的角的关系，代入数值计算即可。
②探究∠P与∠D、∠B的普遍关系时，将①中的具体角度替换为一般量，沿用①的推导逻辑整理即可得到三者的等量关系。
【解析】
（1）在△OAD中，∠A + ∠D + ∠AOD = 180°，
在△OBC中，∠B + ∠C + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOD和∠BOC是对顶角，∠AOD = ∠BOC，
∴ 消去相等的角可得∠A + ∠D = ∠B + ∠C。
（2）① 由（1）的“8字型”结论可得：∠DAB + ∠D = ∠B + ∠BCD，
将∠D=40°，∠B=36°代入，得∠DAB + 40° = 36° + ∠BCD，
整理得∠BCD - ∠DAB = 4°。
∵ AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴ ∠DAB = 2∠DAP，∠BCD = 2∠DCP，
代入得2∠DCP - 2∠DAP = 4°，
即∠DCP - ∠DAP = 2°。
∵ DC与AP交于点M，构成“8字型”，
由（1）的结论得∠D + ∠DAP = ∠P + ∠DCP，
∴ ∠P = ∠D - (∠DCP - ∠DAP) = 40° - 2° = 38°。
② 等量关系为$\boldsymbol{∠P = \frac{1}{2}(∠D + ∠B)}$，理由如下：
由（1）的“8字型”结论得∠DAB + ∠D = ∠B + ∠BCD，
整理得∠BCD - ∠DAB = ∠D - ∠B。
∵ AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴ ∠DAB = 2∠DAP，∠BCD = 2∠DCP，
代入得2∠DCP - 2∠DAP = ∠D - ∠B，
即∠DCP - ∠DAP = $\frac{1}{2}(∠D - ∠B)$。
∵ DC与AP交于点M，构成“8字型”，
∴ ∠D + ∠DAP = ∠P + ∠DCP，
变形得∠P = ∠D - (∠DCP - ∠DAP) = ∠D - $\frac{1}{2}(∠D - ∠B)$ = $\frac{1}{2}(∠D + ∠B)$，
即$∠P = \frac{1}{2}(∠D + ∠B)$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠A + ∠D = ∠B + ∠C}$
（2）① $\boldsymbol{38°}$；② $\boldsymbol{∠P = \frac{1}{2}(∠D + ∠B)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题以“8字型”几何模型为载体，考查了三角形内角和、角平分线性质的综合运用，解题关键是熟练识别“8字型”结构，借助模型建立不同角之间的等量关系，可有效锻炼逻辑推理能力和几何模型运用能力。
【难度系数】
0.65