4.【发现与探索】
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.
【操作判断】
（1）如图，操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使点B，C，E在一条直线上.完成以上操作后把纸片展平，判断BD是△ABC的 （从“中线、角平分线、高线”中选填），∠AEC= .

【深入探究】
（2）操作三：过点D折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平.根据以上操作，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由.
【结论应用】
（3）已知∠BDC = 106°，∠ACB = 54°，则∠AHB= .

4. 解（1）角平分线 $90°$
（2）$∠ DBF=∠ BDF$.
理由：如图，设点 A 的对应点为点 P，因为过点 D 折叠$△ ABC$，使点 A 落在折痕 AE 上，得到折痕 DF，所以 DF 垂直平分 AP.
因为点 P 在 AE 上，所以 $DF⊥ AE$. 由（1）得 $BC⊥ AE$，所以 $DF// BC$. 所以$∠ BDF=∠ CBD$. 又 $∠ DBF = ∠ CBD$，所以 $∠ DBF=∠ BDF$.

（3）$110°$

【分析】
（1）结合折叠的性质分析：折叠前后对应角相等，操作一折叠后BC与BA共线，说明BD将∠ABC分为两个相等的角，即可判断BD的身份；操作二折叠后B、C、E共线，说明AE与BC垂直，即可得到∠AEC的度数。
（2）要判断两角是否相等，先由折叠性质得DF⊥AE，结合（1）中AE⊥BC可推出DF//BC，得到内错角∠BDF=∠CBD，再结合BD是角平分线的性质，即可推导两角的数量关系。
（3）先在△BDC中利用三角形内角和求出∠CBD的度数，再结合BD是角平分线得到∠EBH的度数，在Rt△BEH中求出∠BHE的度数，最后根据邻补角的性质计算∠AHB即可。
【解析】
（1）操作一折叠后BC与BA在同一直线上，由折叠性质得∠ABD=∠CBD，因此BD平分∠ABC，是△ABC的角平分线；操作二折叠后B、C、E共线，可得AE⊥BC，因此∠AEC=90°。
（2）$∠ DBF=∠ BDF$，理由如下：
设点A的对应点为点P，因为过点D折叠$△ ABC$，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP。
因为点P在AE上，所以 $DF⊥ AE$。由（1）得 $BC⊥ AE$，所以 $DF// BC$，所以$∠ BDF=∠ CBD$。又 $∠ DBF = ∠ CBD$，所以 $∠ DBF=∠ BDF$。

（3）在$△ BDC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ CBD=180°-∠ BDC-∠ ACB=180°-106°-54°=20°$。
因为BD是$∠ ABC$的角平分线，所以$∠ EBH=∠ CBD=20°$。
又因为$AE⊥ BC$，所以$∠ BEH=90°$，在$Rt△ BEH$中，$∠ BHE=90°-20°=70°$。
因为$∠ AHB$与$∠ BHE$互为邻补角，所以$∠ AHB=180°-70°=110°$。
【答案】
（1）角平分线 $90°$
（2）$∠ DBF=∠ BDF$，理由见解析

（3）$110°$
【知识点】
折叠的性质，三角形的角平分线与高线，平行线的判定与性质
【点评】
本题以三角形折叠操作为背景，将动手操作与几何推理结合，考查了折叠的性质、三角形相关线段的定义、平行线的性质及三角形内角和定理的应用，解题关键是把折叠操作转化为对应的几何等量关系。
【难度系数】
0.7

某数学兴趣小组对“三角形内角平分线（或外角平分线）的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，若$∠ A=66°$，则$∠ BPC=$；
（2）如图②，$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，若$∠ A=α$，则$∠ E=$（用含$α$的式子表示）；
（3）如图③，$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，请写出$∠ Q$与$∠ A$之间的数量关系，并说明理由.

（1）$123°$ 解析 因为$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，
所以$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$. 所以$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.
因为$∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°$，
所以$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) =180° - (\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB) =180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2}(180°-∠ A) = 180° -90° + \frac{1}{2}∠ A =90°+\frac{1}{2}×66°=123°$.
（2）$\frac{1}{2}α$ 解析 因为$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，所以$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$.
因为$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，$∠ EBD$是$△ BCE$的外角，
所以$∠ ABD = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ EBD=∠ ECB+∠ E$.
所以$∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB$.
即$\frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB = ∠ E + ∠ ECB$.
所以$∠ E=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}α$.
（3）解 $∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$. 理由如下：
因为$∠ CBM$与$∠ BCN$是$△ ABC$的外角，
所以 $∠ CBM = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$.
因为$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，
所以$∠ QBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)$，
$∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$.
因为$∠ QBC+∠ QCB+∠ Q=180°$，
所以$∠ Q = 180° - ∠ QBC - ∠ QCB =180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC+∠ ACB)=180° - \frac{1}{2}∠ A -90°=90°-\frac{1}{2}∠ A$.

（1）$\boldsymbol{123°}$
（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}α}$
（3）$\boldsymbol{∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A}$

【分析】
（1）已知∠A的度数，要求两个内角平分线的夹角∠BPC，可先通过角平分线定义得到∠PBC、∠PCB分别为∠ABC、∠ACB的一半，再结合三角形内角和定理，将∠ABC+∠ACB用180°-∠A替换，代入计算即可得到结果；
（2）要求∠E与∠A的数量关系，可先利用角平分线定义得到∠ECB、∠EBD和对应角的关系，再结合三角形外角的性质分别表示出∠ABD和∠EBD，消去公共的∠ECB项，即可推导出∠E和∠A的关系；
（3）要推导∠Q和∠A的关系，先根据三角形外角性质表示出两个外角∠CBM、∠BCN，再结合角平分线定义得到∠QBC、∠QCB的表达式，最后代入△QBC的内角和公式化简，即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
在△BPC中，$∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°$，
∴$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$，
又
∵在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，且$∠ A=66°$，
∴$∠ BPC = 180° - \frac{1}{2}(180° - 66°) = 123°$；
（2）
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABD$，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴$∠ ABD = ∠ A + ∠ ACB$，
∵∠EBD是△BCE的外角，
∴$∠ EBD = ∠ E + ∠ ECB$，
∴$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) = ∠ E + \frac{1}{2}∠ ACB$，
化简得$∠ E = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}α$；
（3）$∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵∠CBM、∠BCN是△ABC的外角，
∴$∠ CBM = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCN = ∠ A + ∠ ABC$，
∵BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，
∴$∠ QBC = \frac{1}{2}∠ CBM = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)$，
$∠ QCB = \frac{1}{2}∠ BCN = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$，
在△QBC中，$∠ Q + ∠ QBC + ∠ QCB = 180°$，
∴$∠ Q = 180° - (∠ QBC + ∠ QCB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC)$，
又
∵在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ A = 180°$，
∴$∠ Q = 180° - \frac{1}{2}(∠ A + 180°) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{123°}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{2}α}$；（3）$\boldsymbol{∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角平分线夹角的规律探究类题目，综合考查了三角形内角和、外角性质与角平分线定义的应用，推导得到的三个结论是三角形中常用的二级结论，熟练掌握可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7