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3. 在日常生活中，我们用十进制来表示数，如 $3516 = 3×10^3 + 5×10^2 + 1×10^1 + 6×10^0$. 而计算机使用二进制，只需要0和1两个数字就可以表示数. 将二进制数110101转换成十进制数是
53
.答案
3. 53
解析
【分析】
解题时可以类比题目给出的十进制数的表示方法，二进制转十进制的核心规则是：将二进制每一位上的数字乘以2的对应次幂，次幂的计数从最右侧的个位开始，从0依次往左递增，最后把所有乘积相加就能得到对应的十进制数。首先先确定二进制数110101每一位对应的次幂，再分步计算求和即可。
【解析】
根据十进制数的表示规律，二进制数转十进制数时，每一位数字乘对应2的幂次再相加：
二进制数110101从右往左的位次（从0开始计数）对应计算如下：
第0位（最右侧）：$\boldsymbol{1×2^0 = 1×1 = 1}$
第1位：$\boldsymbol{0×2^1 = 0×2 = 0}$
第2位：$\boldsymbol{1×2^2 = 1×4 = 4}$
第3位：$\boldsymbol{0×2^3 = 0×8 = 0}$
第4位：$\boldsymbol{1×2^4 = 1×16 = 16}$
第5位（最左侧）：$\boldsymbol{1×2^5 = 1×32 = 32}$
将所有计算结果相加可得：$32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53$
【答案】
53
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础应用型题目，重点考查对新知识的类比迁移能力，只要读懂题目给出的进制表示规则，仔细计算幂次和求和即可得分，计算时要注意避免数错对应位的幂次。
【难度系数】
0.8
解题时可以类比题目给出的十进制数的表示方法，二进制转十进制的核心规则是：将二进制每一位上的数字乘以2的对应次幂，次幂的计数从最右侧的个位开始，从0依次往左递增，最后把所有乘积相加就能得到对应的十进制数。首先先确定二进制数110101每一位对应的次幂，再分步计算求和即可。
【解析】
根据十进制数的表示规律，二进制数转十进制数时，每一位数字乘对应2的幂次再相加：
二进制数110101从右往左的位次（从0开始计数）对应计算如下：
第0位（最右侧）：$\boldsymbol{1×2^0 = 1×1 = 1}$
第1位：$\boldsymbol{0×2^1 = 0×2 = 0}$
第2位：$\boldsymbol{1×2^2 = 1×4 = 4}$
第3位：$\boldsymbol{0×2^3 = 0×8 = 0}$
第4位：$\boldsymbol{1×2^4 = 1×16 = 16}$
第5位（最左侧）：$\boldsymbol{1×2^5 = 1×32 = 32}$
将所有计算结果相加可得：$32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53$
【答案】
53
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础应用型题目，重点考查对新知识的类比迁移能力，只要读懂题目给出的进制表示规则，仔细计算幂次和求和即可得分，计算时要注意避免数错对应位的幂次。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$(111)_2 + (10101)_2.$
答案
4. 解 原式$=(1×2^2+1×2^1+1×2^0)+(1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0)=7+21=28=16+8+4=1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0=(11100)_2.$
解析
【分析】
本题是二进制加法运算，解题思路如下：首先我们可以借助熟悉的十进制作为中转，先根据二进制转十进制的规则：二进制数从右往左，第k位（k从0开始计数）的数字乘2的k次方，将所有位的计算结果相加就能得到对应的十进制数，把两个二进制数都转化为十进制后求和，再将得到的十进制和按照“拆成2的整数次幂的和，对应次幂存在则该位写1，不存在写0”的规则转化回二进制即可得到结果。
【解析】
第一步：将两个二进制数转化为十进制数
$(111)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$
$(10101)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21$
第二步：计算十进制数的和
$7 + 21 = 28$
第三步：将十进制的28转化为二进制数
把28拆分为2的整数次幂的和：$28 = 16 + 8 + 4 = 1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0$
对应写出二进制数为$(11100)_2$
【答案】
$(11100)_2$
【知识点】
进制互化；乘方运算；二进制加法
【点评】
本题属于基础的进制运算题，核心考查进制转换的规则，除了通过十进制中转的方法外，也可以用二进制“逢二进一”的规则直接做加法验证结果，掌握进制转换规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题是二进制加法运算，解题思路如下：首先我们可以借助熟悉的十进制作为中转，先根据二进制转十进制的规则：二进制数从右往左，第k位（k从0开始计数）的数字乘2的k次方，将所有位的计算结果相加就能得到对应的十进制数，把两个二进制数都转化为十进制后求和，再将得到的十进制和按照“拆成2的整数次幂的和，对应次幂存在则该位写1，不存在写0”的规则转化回二进制即可得到结果。
【解析】
第一步：将两个二进制数转化为十进制数
$(111)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$
$(10101)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21$
第二步：计算十进制数的和
$7 + 21 = 28$
第三步：将十进制的28转化为二进制数
把28拆分为2的整数次幂的和：$28 = 16 + 8 + 4 = 1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0$
对应写出二进制数为$(11100)_2$
【答案】
$(11100)_2$
【知识点】
进制互化；乘方运算；二进制加法
【点评】
本题属于基础的进制运算题，核心考查进制转换的规则，除了通过十进制中转的方法外，也可以用二进制“逢二进一”的规则直接做加法验证结果，掌握进制转换规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
5. 如果二进制数 1110 记为$(1110)_2$，那么$(1110)_2$通过式子 $1×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +0×2^0$ 可以转换为十进制数 14.
请你仿照上面的转换方法解答.
(1)将$(11101)_2$转换为十进制数；
(2)将十进制数 18 转换为二进制数.
请你仿照上面的转换方法解答.
(1)将$(11101)_2$转换为十进制数；
(2)将十进制数 18 转换为二进制数.
答案
5. 解 (1) $(11 101)_2=1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=16+8+4+0+1=29.$
(2) $18=16+2=1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0=(10010)_2.$
(2) $18=16+2=1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0=(10010)_2.$
解析
【分析】
（1）二进制转十进制可直接仿照题目给出的转换规则：将二进制数的每一位数字，从左到右依次乘以2的对应次幂（最高位的次幂为总位数减1，从左到右次幂逐次减1，最右位次幂为0），再将所有乘积求和即可。先确定$(11101)_2$共5位，最高位对应$2^4$，按规则展开计算即可。
（2）十进制转二进制是上述转换的逆过程：先找到不超过该十进制数的最大2的幂次，逐步用原数减去该幂次，每一个2的幂次如果被用到，对应数位记为1，没用到记为0，最后按幂次从高到低排列记录的数字，就是对应的二进制数。
【解析】
(1) 按转换规则展开计算：
$\begin{aligned}(11101)_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=16 + 8 + 4 + 0 + 1\\&=29\end{aligned}$
(2) 先拆分18为2的幂次的和：
$18=16+2=1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0$
按幂次从高到低取对应系数，得到二进制数为$(10010)_2$
【答案】
(1) $\boxed{29}$
(2) $\boxed{(10010)_2}$
【知识点】
进制转换，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新规则应用类基础题，重点考察对给定换算规则的理解和迁移运用能力，运算难度较低，掌握转换规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）二进制转十进制可直接仿照题目给出的转换规则：将二进制数的每一位数字，从左到右依次乘以2的对应次幂（最高位的次幂为总位数减1，从左到右次幂逐次减1，最右位次幂为0），再将所有乘积求和即可。先确定$(11101)_2$共5位，最高位对应$2^4$，按规则展开计算即可。
（2）十进制转二进制是上述转换的逆过程：先找到不超过该十进制数的最大2的幂次，逐步用原数减去该幂次，每一个2的幂次如果被用到，对应数位记为1，没用到记为0，最后按幂次从高到低排列记录的数字，就是对应的二进制数。
【解析】
(1) 按转换规则展开计算：
$\begin{aligned}(11101)_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=16 + 8 + 4 + 0 + 1\\&=29\end{aligned}$
(2) 先拆分18为2的幂次的和：
$18=16+2=1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0$
按幂次从高到低取对应系数，得到二进制数为$(10010)_2$
【答案】
(1) $\boxed{29}$
(2) $\boxed{(10010)_2}$
【知识点】
进制转换，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新规则应用类基础题，重点考察对给定换算规则的理解和迁移运用能力，运算难度较低，掌握转换规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
