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知识点 进位制
1. 定义：
2. 相关概念：
（1）约定逢十进一就是
（2）一个数可以表示成各数位上的数字与基数的
例 利用二进制计算：$27+17$.
解 $27+17=(16+8+2+1)+(16+1)=(1× 2^4 +1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1 +1× 2^0)+(1× 2^4 +0× 2^3 +0× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0)=(11011)_2 + (10001)_2=(101100)_2=1× 2^5 +0× 2^4 +1× 2^3 +1× 2^2 +0× 2^1 +0× 2^0=44$.
规律总结
我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的数是二进制数（只由数字0或1组成），它们可以互相转换.
例如：$(101)_2=1× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0=4+0+1=5$；
$9=8+1=1× 2^3 +0× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0=(1001)_2$.
1. 定义：
进位制
是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.2. 相关概念：
（1）约定逢十进一就是
十进制
，逢二进一就是二进制
.也就是说，“逢几进一”就是几进制
，几进制的基数就是几.（2）一个数可以表示成各数位上的数字与基数的
幂的乘积
之和的形式.例 利用二进制计算：$27+17$.
解 $27+17=(16+8+2+1)+(16+1)=(1× 2^4 +1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1 +1× 2^0)+(1× 2^4 +0× 2^3 +0× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0)=(11011)_2 + (10001)_2=(101100)_2=1× 2^5 +0× 2^4 +1× 2^3 +1× 2^2 +0× 2^1 +0× 2^0=44$.
规律总结
我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的数是二进制数（只由数字0或1组成），它们可以互相转换.
例如：$(101)_2=1× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0=4+0+1=5$；
$9=8+1=1× 2^3 +0× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0=(1001)_2$.
答案
1. 进位制
2. (1) 十进制 二进制 几进制
(2) 幂的乘积
2. (1) 十进制 二进制 几进制
(2) 幂的乘积
解析
【分析】
本题考查进位制的基础概念，解题时可结合课本定义和题目给出的示例推导答案：1. 第一空直接对应进位制的定义描述，回忆记数系统的名称即可填写；2. （1）根据“逢几进一就是几进制”的基本规则，逢十对应十进制、逢二对应二进制，直接推导即可；（2）结合题目给出的二进制数展开示例，如$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0$，可发现数的展开形式是各数位数字与基数的幂相乘后求和，据此填写即可。
【解析】
1. 根据进位制的定义，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，因此第一空填“进位制”。
2. （1）按照进位制的命名规则，“逢几进一”就是几进制，因此逢十进一是十进制，逢二进一是二进制，对应空依次填“十进制”“二进制”“几进制”。
（2）观察进制转换的示例，任意进制的数都可以写成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，因此本空填“幂的乘积”。
【答案】
1. 进位制
2. (1) 十进制；二进制；几进制
(2) 幂的乘积
【知识点】
进位制的定义；常见进位制；进位制展开规则
【点评】
本题是进位制的基础概念考查题，内容偏重识记，掌握基础定义和规律即可快速作答，是学习进制转换相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查进位制的基础概念，解题时可结合课本定义和题目给出的示例推导答案：1. 第一空直接对应进位制的定义描述，回忆记数系统的名称即可填写；2. （1）根据“逢几进一就是几进制”的基本规则，逢十对应十进制、逢二对应二进制，直接推导即可；（2）结合题目给出的二进制数展开示例，如$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0$，可发现数的展开形式是各数位数字与基数的幂相乘后求和，据此填写即可。
【解析】
1. 根据进位制的定义，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，因此第一空填“进位制”。
2. （1）按照进位制的命名规则，“逢几进一”就是几进制，因此逢十进一是十进制，逢二进一是二进制，对应空依次填“十进制”“二进制”“几进制”。
（2）观察进制转换的示例，任意进制的数都可以写成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，因此本空填“幂的乘积”。
【答案】
1. 进位制
2. (1) 十进制；二进制；几进制
(2) 幂的乘积
【知识点】
进位制的定义；常见进位制；进位制展开规则
【点评】
本题是进位制的基础概念考查题，内容偏重识记，掌握基础定义和规律即可快速作答，是学习进制转换相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
1. 如果$(1011)_2$表示二进制数，将它转换成十进制数是$1×2^{3}+0×2^{2}+1×2^{1}+1×2^{0}=11$，那么将$(10111)_2$转换成十进制数是（
A.23
B.15
C.18
D.31
A
）A.23
B.15
C.18
D.31
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每一位数字从左到右依次乘以2的（位数-1）次方、（位数-2）次方……2⁰，再将所有结果相加即可得到对应的十进制数。首先确定(10111)₂的总位数，依次拆分每一位对应的乘方项，再按规则计算求和，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则：
$(10111)_2$
$=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$=1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 1×1$
$=16 + 0 + 4 + 2 + 1$
$=23$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题是新定义类基础运算题，核心是理解题目给出的进制转换规则，结合已学的乘方、加法运算即可求解，主要考查对新规则的理解应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每一位数字从左到右依次乘以2的（位数-1）次方、（位数-2）次方……2⁰，再将所有结果相加即可得到对应的十进制数。首先确定(10111)₂的总位数，依次拆分每一位对应的乘方项，再按规则计算求和，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则：
$(10111)_2$
$=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$=1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 1×1$
$=16 + 0 + 4 + 2 + 1$
$=23$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
进制转换，乘方运算，有理数加法
【点评】
本题是新定义类基础运算题，核心是理解题目给出的进制转换规则，结合已学的乘方、加法运算即可求解，主要考查对新规则的理解应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
2. 将$(100011)_2$转换成十进制数和将十进制数43转换成二进制数的结果分别为 （
A.70，$(101011)_2$
B.70，$(110010)_2$
C.35，$(101011)_2$
D.35，$(110010)_2$
C
）A.70，$(101011)_2$
B.70，$(110010)_2$
C.35，$(101011)_2$
D.35，$(110010)_2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题需要分别完成二进制转十进制、十进制转二进制两次运算来得出结果：①二进制转十进制采用按权展开法，从右到左给二进制的每一位对应标上2的n次幂（n从0开始），将每一位的数字乘以对应幂次后求和即可得到十进制数；②十进制转二进制采用除2取余法，将十进制数反复除以2记录每次的余数，直到商为0，最后把所有余数倒序排列就得到对应的二进制数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算$(100011)_2$对应的十进制数：
按权展开计算：
$\begin{aligned}(100011)_2&=1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=32+0+0+0+2+1\\&=35\end{aligned}$
2. 计算十进制数43对应的二进制数：
用除2取余法计算：
43÷2=21，余数1；
21÷2=10，余数1；
10÷2=5，余数0；
5÷2=2，余数1；
2÷2=1，余数0；
1÷2=0，余数1；
将余数逆序排列得：$101011$，即$(101011)_2$。
综上，两个结果为35、$(101011)_2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
进制转换、按权展开法、除2取余法
【点评】
本题属于数制转换的基础常规题，核心考查两种进制互转的基本运算规则，熟练掌握方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
本题需要分别完成二进制转十进制、十进制转二进制两次运算来得出结果：①二进制转十进制采用按权展开法，从右到左给二进制的每一位对应标上2的n次幂（n从0开始），将每一位的数字乘以对应幂次后求和即可得到十进制数；②十进制转二进制采用除2取余法，将十进制数反复除以2记录每次的余数，直到商为0，最后把所有余数倒序排列就得到对应的二进制数，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 计算$(100011)_2$对应的十进制数：
按权展开计算：
$\begin{aligned}(100011)_2&=1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=32+0+0+0+2+1\\&=35\end{aligned}$
2. 计算十进制数43对应的二进制数：
用除2取余法计算：
43÷2=21，余数1；
21÷2=10，余数1；
10÷2=5，余数0；
5÷2=2，余数1；
2÷2=1，余数0；
1÷2=0，余数1；
将余数逆序排列得：$101011$，即$(101011)_2$。
综上，两个结果为35、$(101011)_2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
进制转换、按权展开法、除2取余法
【点评】
本题属于数制转换的基础常规题，核心考查两种进制互转的基本运算规则，熟练掌握方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
