1. 若点$(3,4)$是反比例函数$y=\frac{m^{2}+2m - 1}{x}$图象上的一点，则函数图象必经过点()

A.$(2,6)$
B.$(2,-6)$
C.$(4,-3)$
D.$(3,-4)$

1. A

因为点$(3,4)$在反比例函数$y = \frac{m^{2}+2m - 1}{x}$的图象上，所以将$x = 3$，$y = 4$代入函数可得：$4=\frac{m^{2}+2m - 1}{3}$，解得$m^{2}+2m - 1=12$，即该反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
分别计算各选项：
选项A：当$x = 2$时，$y=\frac{12}{2}=6$，所以点$(2,6)$在函数图象上。
选项B：当$x = 2$时，$y = 6≠ - 6$，所以点$(2,-6)$不在函数图象上。
选项C：当$x = 4$时，$y=\frac{12}{4}=3≠ - 3$，所以点$(4,-3)$不在函数图象上。
选项D：当$x = 3$时，$y=\frac{12}{3}=4≠ - 4$，所以点$(3,-4)$不在函数图象上。
A

2. 已知反比例函数$y=\frac{k - 2}{x}$的图象位于第一、三象限，则$k$的取值范围是()

A.$k＞2$
B.$k≥2$
C.$k≤2$
D.$k＜2$

2. A

对于反比例函数$y = \frac{m}{x}$（$m$为常数且$m ≠ 0$），当$m ＞ 0$时，函数图象位于第一、三象限。
在函数$y = \frac{k - 2}{x}$中，$m = k - 2$，因为其图象位于第一、三象限，所以$k - 2 ＞ 0$，解得$k ＞ 2$。
A

3. 关于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，下列结论正确的是()

A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小
D.若图象经过点$(a,a + 2)$，则$a = 1$

3. C

4. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为$(-3,y_{1})$，$(-2,3)$，$(1,y_{2})$，$(2,y_{3})$，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系为()

A.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

4. C

设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$。
因为点$(-2, 3)$在该函数图象上，所以$3 = \frac{k}{-2}$，解得$k = -6$，函数解析式为$y = -\frac{6}{x}$。
当$x = -3$时，$y_1 = -\frac{6}{-3} = 2$；
当$x = 1$时，$y_2 = -\frac{6}{1} = -6$；
当$x = 2$时，$y_3 = -\frac{6}{2} = -3$。
因为$-6 ＜ -3 ＜ 2$，所以$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
C

5. 如图，直线$y = 2x$与双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个交点坐标为$(2,4)$，则它们的另一个交点坐标为。

5. $(-2,-4)$

因为直线$y = 2x$与双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个交点坐标为$(2,4)$，将$(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4 = \frac{k}{2}$，解得$k = 8$，所以双曲线方程为$y=\frac{8}{x}$。联立方程组$\begin{cases}y = 2x \\ y=\frac{8}{x} \end{cases}$，将$y = 2x$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2x=\frac{8}{x}$，即$2x^2 = 8$，$x^2 = 4$，解得$x = 2$或$x=-2$。当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$，所以另一个交点坐标为$(-2,-4)$。

6. 已知反比例函数$y=(a - 1)x^{a^{2}+a - 7}$。在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，求反比例函数的解析式。

6. $y=-\frac{4}{x}$

因为函数是反比例函数，所以指数满足$a^{2}+a - 7=-1$，即$a^{2}+a - 6=0$，因式分解得$(a + 3)(a - 2)=0$，解得$a=-3$或$a=2$。
又因为在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，所以比例系数$a - 1＜0$，即$a＜1$。
当$a=-3$时，$a - 1=-4＜0$，符合条件；当$a=2$时，$a - 1=1＞0$，不符合条件，舍去。
所以$a=-3$，反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。