7. 如图，点$A$的坐标是$(2,0)$，$△ ABO$是等边三角形，点$B$在第一象限。若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$B$，求$k$的值。

7. $k=\sqrt{3}$

解：过点$B$作$BC ⊥ OA$于点$C$。
因为点$A$的坐标是$(2,0)$，所以$OA = 2$。
由于$△ ABO$是等边三角形，所以$OB = OA = 2$，$∠ BOA = 60°$。
在$Rt△ BOC$中，$OC = OB · \cos 60° = 2×\frac{1}{2} = 1$，$BC = OB · \sin 60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
因此，点$B$的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
因为反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$B$，所以$\sqrt{3} = \frac{k}{1}$，解得$k = \sqrt{3}$。
故$k$的值为$\sqrt{3}$。

8. 如图，正比例函数$y = - 2x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于$A(m,2)$，$B$两点。
(1)求反比例函数的解析式及点$B$的坐标；
(2)结合图象直接写出当$-2x＞\frac{k}{x}$时，$x$的取值范围。

8. (1)$y=-\frac{2}{x},B(1,-2)$ (2)$x＜-1$或$0＜x＜1$

(1)解：因为点$A(m,2)$在正比例函数$y = - 2x$上，所以$2=-2m$，解得$m=-1$，则$A(-1,2)$。
又因为点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$，故反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
联立$\begin{cases}y=-2x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$，可得$-2x=-\frac{2}{x}$，即$2x=\frac{2}{x}$，$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，所以点$B$的坐标为$(1,-2)$。
(2)$x＜-1$或$0＜x＜1$

9. 如图，直线$y = kx(k＜0)$与双曲线$y=-\frac{2}{x}$相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点，求$3x_{1}y_{2}-8x_{2}y_{1}$的值。

9. $-10$

解：联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y = kx \\ y = -\dfrac{2}{x}\end{cases}$，
得$kx = -\dfrac{2}{x}$，即$kx^2 + 2 = 0$，$x^2 = -\dfrac{2}{k}$，
解得$x = \pm \sqrt{-\dfrac{2}{k}}$，
设$x_1 = \sqrt{-\dfrac{2}{k}}$，则$y_1 = kx_1 = k\sqrt{-\dfrac{2}{k}}$，
$x_2 = -\sqrt{-\dfrac{2}{k}}$，则$y_2 = kx_2 = -k\sqrt{-\dfrac{2}{k}}$，
因为$A(x_1,y_1)$在双曲线$y = -\dfrac{2}{x}$上，所以$x_1y_1 = -2$，
同理$x_2y_2 = -2$，
又因为直线$y = kx$与双曲线$y = -\dfrac{2}{x}$的交点关于原点对称，所以$x_2 = -x_1$，$y_2 = -y_1$，
则$3x_1y_2 - 8x_2y_1 = 3x_1(-y_1) - 8(-x_1)y_1 = -3x_1y_1 + 8x_1y_1 = 5x_1y_1$，
因为$x_1y_1 = -2$，所以$5x_1y_1 = 5×(-2) = -10$。
$-10$