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7. 已知 $ y $ 与 $ x $ 成反比例，且当 $ x = -\frac{3}{4} $ 时，$ y = \frac{4}{3} $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 当 $ x = -\frac{2}{3} $ 时，$ y $ 的值是多少？
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 当 $ x = -\frac{2}{3} $ 时，$ y $ 的值是多少？
答案
7. (1) $ y = - \frac{1}{x} $ (2) $ y = \frac{3}{2} $
解析
(1) 设$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $），将$ x = -\frac{3}{4} $，$ y = \frac{4}{3} $代入得：$ \frac{4}{3} = \frac{k}{-\frac{3}{4}} $，解得$ k = -1 $，所以$ y = -\frac{1}{x} $。
(2) 当$ x = -\frac{2}{3} $时，$ y = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} $。
(2) 当$ x = -\frac{2}{3} $时，$ y = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} $。
8. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中，当 $ x $ 的值由 $ 4 $ 增加到 $ 6 $ 时，$ y $ 的值减小 $ 3 $，求这个反比例函数的解析式.
答案
8. $ y = \frac{36}{x} $
解析
解：当$x = 4$时，$y=\frac{k}{4}$；当$x = 6$时，$y=\frac{k}{6}$。
由题意得$\frac{k}{4}-\frac{k}{6}=3$，
通分得$\frac{3k}{12}-\frac{2k}{12}=3$，
即$\frac{k}{12}=3$，
解得$k = 36$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{36}{x}$。
由题意得$\frac{k}{4}-\frac{k}{6}=3$，
通分得$\frac{3k}{12}-\frac{2k}{12}=3$，
即$\frac{k}{12}=3$，
解得$k = 36$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{36}{x}$。
9. 已知 $ y = y_1 + y_2 $，$ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例，并且当 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $ 时，$ y $ 的值都等于 $ 10 $. 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
答案
9. $ y = 2x + \frac{12}{x} $
解析
解：设$y_1 = kx$（$k ≠ 0$），$y_2 = \frac{m}{x}$（$m ≠ 0$），则$y = kx + \frac{m}{x}$。
当$x = 2$时，$y = 10$，可得$2k + \frac{m}{2} = 10$；当$x = 3$时，$y = 10$，可得$3k + \frac{m}{3} = 10$。
联立方程组$\begin{cases}2k + \frac{m}{2} = 10 \\ 3k + \frac{m}{3} = 10\end{cases}$，
将第一个方程两边同乘2得：$4k + m = 20$，
将第二个方程两边同乘3得：$9k + m = 30$，
两式相减：$5k = 10$，解得$k = 2$，
将$k = 2$代入$4k + m = 20$，得$8 + m = 20$，解得$m = 12$，
所以$y = 2x + \frac{12}{x}$。
当$x = 2$时，$y = 10$，可得$2k + \frac{m}{2} = 10$；当$x = 3$时，$y = 10$，可得$3k + \frac{m}{3} = 10$。
联立方程组$\begin{cases}2k + \frac{m}{2} = 10 \\ 3k + \frac{m}{3} = 10\end{cases}$，
将第一个方程两边同乘2得：$4k + m = 20$，
将第二个方程两边同乘3得：$9k + m = 30$，
两式相减：$5k = 10$，解得$k = 2$，
将$k = 2$代入$4k + m = 20$，得$8 + m = 20$，解得$m = 12$，
所以$y = 2x + \frac{12}{x}$。
10. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $. $ P $ 为 $ BC $ 边上的动点，$ DE ⊥ AP $ 于 $ E $. 若设 $ AP = x $，$ DE = y $，请确定 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系.
答案
10. $ y = \frac{48}{x} $
解析
解：连接DP。
在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 8$，$AB = CD = 6$，$AD// BC$。
$△ APD$的面积$S_{△ APD} = \frac{1}{2}AD · AB = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
又$S_{△ APD} = \frac{1}{2}AP · DE = \frac{1}{2}xy$，
所以$\frac{1}{2}xy = 24$，即$xy = 48$，
故$y = \frac{48}{x}$。
在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 8$，$AB = CD = 6$，$AD// BC$。
$△ APD$的面积$S_{△ APD} = \frac{1}{2}AD · AB = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
又$S_{△ APD} = \frac{1}{2}AP · DE = \frac{1}{2}xy$，
所以$\frac{1}{2}xy = 24$，即$xy = 48$，
故$y = \frac{48}{x}$。
11. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长是 $ 2 $，$ E $，$ F $ 分别在边 $ BC $，$ CD $ 上，且 $ E $，$ F $ 与 $ BC $，$ CD $ 两边的端点不重合，$ △ AEF $ 的面积是 $ 1 $，设 $ BE = x $，$ DF = y $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 判断在(1)中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数是什么函数；
(3) 写出此函数自变量 $ x $ 的取值范围.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 判断在(1)中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数是什么函数；
(3) 写出此函数自变量 $ x $ 的取值范围.
答案
11. (1) $ y = \frac{2}{x} $ (2) 反比例函数 (3) $ 1 ＜ x ＜ 2 $
解析
(1) 解：正方形 $ABCD$ 边长为 2，$BE = x$，$DF = y$，则 $EC = 2 - x$，$FC = 2 - y$。
$S_{△ AEF} = S_{正方形ABCD} - S_{△ ABE} - S_{△ ADF} - S_{△ ECF}$，
即 $1 = 2×2 - \frac{1}{2}×2×x - \frac{1}{2}×2×y - \frac{1}{2}(2 - x)(2 - y)$，
化简得 $1 = 4 - x - y - \frac{1}{2}(4 - 2x - 2y + xy)$，
$2 = 8 - 2x - 2y - 4 + 2x + 2y - xy$，
$xy = 2$，故 $y = \frac{2}{x}$。
(2) 反比例函数
(3) $1 ＜ x ＜ 2$
$S_{△ AEF} = S_{正方形ABCD} - S_{△ ABE} - S_{△ ADF} - S_{△ ECF}$，
即 $1 = 2×2 - \frac{1}{2}×2×x - \frac{1}{2}×2×y - \frac{1}{2}(2 - x)(2 - y)$，
化简得 $1 = 4 - x - y - \frac{1}{2}(4 - 2x - 2y + xy)$，
$2 = 8 - 2x - 2y - 4 + 2x + 2y - xy$，
$xy = 2$，故 $y = \frac{2}{x}$。
(2) 反比例函数
(3) $1 ＜ x ＜ 2$
