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9. 化简分式$\dfrac{a^2 - ab}{a^2 - 2ab + b^2}$的结果为________。
答案
$\frac{a}{a-b}$
解析
【分析】
要化简这个分式，需遵循分式化简的基本思路：第一步先对分子和分母分别进行因式分解，第二步找到分子分母的公因式并约去，最终得到最简分式。首先观察分子$a^2 - ab$，两项都含有公因式$a$，可提取公因式分解；再观察分母$a^2 - 2ab + b^2$，符合完全平方差公式的形式，可用公式法分解。分解完成后约去公因式即可得到结果，注意隐含$a≠ b$的条件，保证原分式有意义。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2 - ab = a(a - b)$
分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
代入原式可得：
$\dfrac{a^2 - ab}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{a(a - b)}{(a - b)^2}$
根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$a - b$（此时$a≠ b$，原分式有意义），化简得：
$\dfrac{a(a - b)}{(a - b)^2} = \dfrac{a}{a - b}$
【答案】
$\dfrac{a}{a - b}$
【知识点】
因式分解；分式约分；完全平方公式
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法）以及分式约分的规则，化简时要注意约去所有公因式，同时要满足分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
要化简这个分式，需遵循分式化简的基本思路：第一步先对分子和分母分别进行因式分解，第二步找到分子分母的公因式并约去，最终得到最简分式。首先观察分子$a^2 - ab$，两项都含有公因式$a$，可提取公因式分解；再观察分母$a^2 - 2ab + b^2$，符合完全平方差公式的形式，可用公式法分解。分解完成后约去公因式即可得到结果，注意隐含$a≠ b$的条件，保证原分式有意义。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2 - ab = a(a - b)$
分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
代入原式可得：
$\dfrac{a^2 - ab}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{a(a - b)}{(a - b)^2}$
根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$a - b$（此时$a≠ b$，原分式有意义），化简得：
$\dfrac{a(a - b)}{(a - b)^2} = \dfrac{a}{a - b}$
【答案】
$\dfrac{a}{a - b}$
【知识点】
因式分解；分式约分；完全平方公式
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法）以及分式约分的规则，化简时要注意约去所有公因式，同时要满足分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
10. 整数$m(m≠0)$为$\underline{\hspace{5cm}}$时，式子$\dfrac{3}{m-1}$为整数。
答案
$2或4或-2$
解析
【分析】
要使式子$\dfrac{3}{m-1}$为整数，首先分母$m-1$必须是分子3的整数约数（包括正约数和负约数），同时需满足题目给出的$m≠0$的限制条件。解题时先列出3的所有整数约数，再分别令$m-1$等于各约数求解m，最后筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
若$\dfrac{3}{m-1}$为整数，则$m-1$是3的整数因数，3的整数因数有$\pm1$、$\pm3$，分情况计算：
1. 当$m-1=1$时，解得$m=2$，满足$m≠0$，符合要求；
2. 当$m-1=-1$时，解得$m=0$，不符合$m≠0$的要求，舍去；
3. 当$m-1=3$时，解得$m=4$，满足$m≠0$，符合要求；
4. 当$m-1=-3$时，解得$m=-2$，满足$m≠0$，符合要求。
【答案】
$2或4或-2$
【知识点】
分式值为整数的条件、整数的约数、一元一次方程求解
【点评】
本题考查分式相关的整数求值问题，解题时要注意全面考虑正、负两类约数，同时不要忽略题目给出的限制条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
要使式子$\dfrac{3}{m-1}$为整数，首先分母$m-1$必须是分子3的整数约数（包括正约数和负约数），同时需满足题目给出的$m≠0$的限制条件。解题时先列出3的所有整数约数，再分别令$m-1$等于各约数求解m，最后筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
若$\dfrac{3}{m-1}$为整数，则$m-1$是3的整数因数，3的整数因数有$\pm1$、$\pm3$，分情况计算：
1. 当$m-1=1$时，解得$m=2$，满足$m≠0$，符合要求；
2. 当$m-1=-1$时，解得$m=0$，不符合$m≠0$的要求，舍去；
3. 当$m-1=3$时，解得$m=4$，满足$m≠0$，符合要求；
4. 当$m-1=-3$时，解得$m=-2$，满足$m≠0$，符合要求。
【答案】
$2或4或-2$
【知识点】
分式值为整数的条件、整数的约数、一元一次方程求解
【点评】
本题考查分式相关的整数求值问题，解题时要注意全面考虑正、负两类约数，同时不要忽略题目给出的限制条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
二、选择题。
1. 将分式$\frac{2x^2}{2x+y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的2倍，分式的值（
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.扩大为原来的4倍
1. 将分式$\frac{2x^2}{2x+y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的2倍，分式的值（
B
）A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.扩大为原来的4倍
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照题目要求，把原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变量扩大后的新分式，再对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
解：将x和y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得新分式：
分子：$2×(2x)^2 = 2×4x^2 = 8x^2$
分母：$2×(2x) + 2y = 4x + 2y = 2(2x+y)$
所以新分式为：$\frac{8x^2}{2(2x+y)} = \frac{4x^2}{2x+y}$
原分式为$\frac{2x^2}{2x+y}$，对比可得$\frac{4x^2}{2x+y} = 2×\frac{2x^2}{2x+y}$，即新分式的值是原分式的2倍。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、代数式代入、分式约分
【点评】
这道题是分式相关的基础常考题，核心考查变量变化后代入化简的能力，解题时要注意所有的x、y都要同步替换，计算乘方时不要漏算系数的乘方，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先按照题目要求，把原分式中的x替换为2x、y替换为2y，得到变量扩大后的新分式，再对新分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
解：将x和y都扩大为原来的2倍，即把原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入得新分式：
分子：$2×(2x)^2 = 2×4x^2 = 8x^2$
分母：$2×(2x) + 2y = 4x + 2y = 2(2x+y)$
所以新分式为：$\frac{8x^2}{2(2x+y)} = \frac{4x^2}{2x+y}$
原分式为$\frac{2x^2}{2x+y}$，对比可得$\frac{4x^2}{2x+y} = 2×\frac{2x^2}{2x+y}$，即新分式的值是原分式的2倍。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、代数式代入、分式约分
【点评】
这道题是分式相关的基础常考题，核心考查变量变化后代入化简的能力，解题时要注意所有的x、y都要同步替换，计算乘方时不要漏算系数的乘方，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 对于$A=\dfrac{1+c}{2+c}$，下列判断正确的是 （
A.当$c=-2$时，$A=\dfrac{1}{2}$
B.当$c=0$时，$A≠\dfrac{1}{2}$
C.当$c＜-2$时，$A＞\dfrac{1}{2}$
D.当$c＜0$时，$A＜\dfrac{1}{2}$
C
）A.当$c=-2$时，$A=\dfrac{1}{2}$
B.当$c=0$时，$A≠\dfrac{1}{2}$
C.当$c＜-2$时，$A＞\dfrac{1}{2}$
D.当$c＜0$时，$A＜\dfrac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时可按照“先排查分式无意义的错误选项，再验证定值选项，最后用作差法分析大小比较类选项”的思路推进：①首先牢记分式有意义的前提是分母不为0，先判断涉及分母为0的选项是否正确；②对于给定c值求A的选项，直接代入计算验证即可；③对于比较A和1/2大小的选项，通过作差法将A减去1/2，通分化简后根据c的取值范围判断差的正负，即可确定A和1/2的大小关系，逐个排查所有选项就能得到正确结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：当$c=-2$时，分式分母$2+c=0$，分式无意义，不存在取值，故A错误；
2. 选项B：当$c=0$时，代入得$A=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}$，故B错误；
3. 为分析C、D选项，我们用作差法比较$A$和$\frac{1}{2}$的大小：
$A-\frac{1}{2}=\frac{1+c}{2+c}-\frac{1}{2}=\frac{2(1+c)-(2+c)}{2(2+c)}=\frac{c}{2(2+c)}$
4. 选项C：当$c＜-2$时，分子$c＜0$，分母$2+c＜0$，因此分母$2(2+c)＜0$，差为$\frac{负数}{负数}=正数$，即$A-\frac{1}{2}＞0$，可得$A＞\frac{1}{2}$，故C正确；
5. 选项D：当$c＜0$时，分两种情况：若$c＜-2$，由上述推导得$A＞\frac{1}{2}$；若$-2＜c＜0$，此时分子$c＜0$，分母$2(2+c)＞0$，差为负数，$A＜\frac{1}{2}$，因此$c＜0$时A的大小不确定，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；分式求值；作差法比较大小
【点评】
本题侧重考查分式性质的基础应用，易错点是容易忽略分式分母不能为0的前提，分析参数范围类的大小比较问题时，要注意分区间讨论，避免以偏概全判断出错。
【难度系数】
0.7
解题时可按照“先排查分式无意义的错误选项，再验证定值选项，最后用作差法分析大小比较类选项”的思路推进：①首先牢记分式有意义的前提是分母不为0，先判断涉及分母为0的选项是否正确；②对于给定c值求A的选项，直接代入计算验证即可；③对于比较A和1/2大小的选项，通过作差法将A减去1/2，通分化简后根据c的取值范围判断差的正负，即可确定A和1/2的大小关系，逐个排查所有选项就能得到正确结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：当$c=-2$时，分式分母$2+c=0$，分式无意义，不存在取值，故A错误；
2. 选项B：当$c=0$时，代入得$A=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}$，故B错误；
3. 为分析C、D选项，我们用作差法比较$A$和$\frac{1}{2}$的大小：
$A-\frac{1}{2}=\frac{1+c}{2+c}-\frac{1}{2}=\frac{2(1+c)-(2+c)}{2(2+c)}=\frac{c}{2(2+c)}$
4. 选项C：当$c＜-2$时，分子$c＜0$，分母$2+c＜0$，因此分母$2(2+c)＜0$，差为$\frac{负数}{负数}=正数$，即$A-\frac{1}{2}＞0$，可得$A＞\frac{1}{2}$，故C正确；
5. 选项D：当$c＜0$时，分两种情况：若$c＜-2$，由上述推导得$A＞\frac{1}{2}$；若$-2＜c＜0$，此时分子$c＜0$，分母$2(2+c)＞0$，差为负数，$A＜\frac{1}{2}$，因此$c＜0$时A的大小不确定，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；分式求值；作差法比较大小
【点评】
本题侧重考查分式性质的基础应用，易错点是容易忽略分式分母不能为0的前提，分析参数范围类的大小比较问题时，要注意分区间讨论，避免以偏概全判断出错。
【难度系数】
0.7
3. 下列结论中,正确的是 (
A.$x$ 为任何实数时,分式$\dfrac{2x-1}{x^2}$总有意义
B.当$x=\pm2$时,分式$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}$的值为$0$
C.$\dfrac{x}{2m(2x-y)}$和$\dfrac{y^2}{6m(y-2x)}$的最简公分母是$6m(2x-y)(y-2x)$
D.将分式$\dfrac{2x+y}{y-2x}$中的$x,y$的值都变为原来的$10$倍,分式的值不变
D
)A.$x$ 为任何实数时,分式$\dfrac{2x-1}{x^2}$总有意义
B.当$x=\pm2$时,分式$\dfrac{x^2-4}{x^2-5x+6}$的值为$0$
C.$\dfrac{x}{2m(2x-y)}$和$\dfrac{y^2}{6m(y-2x)}$的最简公分母是$6m(2x-y)(y-2x)$
D.将分式$\dfrac{2x+y}{y-2x}$中的$x,y$的值都变为原来的$10$倍,分式的值不变
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式的相关基础概念，解题时需逐个分析每个选项对应的知识点：①判断分式有意义需保证分母不为0；②分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0；③找最简公分母时需先对互为相反数的因式进行统一变形，避免重复；④分式的基本性质是分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变。按照上述知识点逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项正误：
A选项：分式$\dfrac{2x-1}{x^2}$的分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，此时分式无意义，故A错误。
B选项：分式值为0需满足分子为0且分母不为0。分子$x^2-4=0$时，$x=\pm2$；分母$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，当$x=2$时，分母为0，分式无意义，因此只有$x=-2$时分式值为0，故B错误。
C选项：注意$y-2x=-(2x-y)$，两个分式的分母分别为$2m(2x-y)$和$6m(y-2x)$，因此最简公分母为$6m(2x-y)$，不需要重复乘$(y-2x)$，故C错误。
D选项：将$x,y$都变为原来的10倍，代入分式得：
$\dfrac{2×10x + 10y}{10y - 2×10x}=\dfrac{10(2x+y)}{10(y-2x)}=\dfrac{2x+y}{y-2x}$，和原分式值相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式基础概念的综合考查题，易错点在于容易忽略分式值为0时分母不为0的要求，以及找最简公分母时对互为相反数的因式处理不当，熟练掌握核心概念就能快速判断正误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的相关基础概念，解题时需逐个分析每个选项对应的知识点：①判断分式有意义需保证分母不为0；②分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0；③找最简公分母时需先对互为相反数的因式进行统一变形，避免重复；④分式的基本性质是分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式值不变。按照上述知识点逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项正误：
A选项：分式$\dfrac{2x-1}{x^2}$的分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，此时分式无意义，故A错误。
B选项：分式值为0需满足分子为0且分母不为0。分子$x^2-4=0$时，$x=\pm2$；分母$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，当$x=2$时，分母为0，分式无意义，因此只有$x=-2$时分式值为0，故B错误。
C选项：注意$y-2x=-(2x-y)$，两个分式的分母分别为$2m(2x-y)$和$6m(y-2x)$，因此最简公分母为$6m(2x-y)$，不需要重复乘$(y-2x)$，故C错误。
D选项：将$x,y$都变为原来的10倍，代入分式得：
$\dfrac{2×10x + 10y}{10y - 2×10x}=\dfrac{10(2x+y)}{10(y-2x)}=\dfrac{2x+y}{y-2x}$，和原分式值相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式基础概念的综合考查题，易错点在于容易忽略分式值为0时分母不为0的要求，以及找最简公分母时对互为相反数的因式处理不当，熟练掌握核心概念就能快速判断正误。
【难度系数】
0.7
4. 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8 km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9 h。甲、乙两港之间的距离为（
A.$\frac{160}{3}$ km
B.15 km
C.$\frac{25}{2}$ km
D.20 km
D
）A.$\frac{160}{3}$ km
B.15 km
C.$\frac{25}{2}$ km
D.20 km
答案
D
解析
【分析】
解题分两个核心步骤：第一步，先求原来的水流速度。甲乙两港距离固定，路程相同时，行驶时间和速度成反比，结合已知的逆水、顺水时间比，可得到逆水速度与顺水速度的比例，再结合流水行船的速度公式（顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度），就能算出原水流速度。第二步，求两港距离。暴雨时水流速度变为原来的2倍，往返总时间为9h，即顺水行驶时间+逆水行驶时间=9h，根据“时间=路程÷速度”列方程，即可求出两港距离。
【解析】
解：设原来的水流速度为$v\ \mathrm{km/h}$，甲、乙两港之间的距离为$s\ \mathrm{km}$。
1. 计算原水流速度
路程相同时，时间与速度成反比，已知逆水、顺水航行时间比为$2:1$，因此逆水速度:顺水速度$=1:2$。
根据流水行船速度公式可得：逆水速度为$8-v$，顺水速度为$8+v$，列比例式：
$\frac{8 - v}{8 + v}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$2(8 - v)=8 + v$
展开整理得：$3v=8$，解得$v=\frac{8}{3}\ \mathrm{km/h}$
2. 计算两港距离
暴雨时水流速度为$2v=\frac{16}{3}\ \mathrm{km/h}$，此时：
顺水速度：$8+2v=8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}\ \mathrm{km/h}$
逆水速度：$8-2v=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}\ \mathrm{km/h}$
根据往返总时间为9h列方程：
$\frac{s}{\frac{40}{3}}+\frac{s}{\frac{8}{3}}=9$
化简得：$\frac{3s}{40}+\frac{15s}{40}=9$
解得：$s=20\ \mathrm{km}$
【答案】D
【知识点】
流水行船问题；行程问题等量关系；比例的应用
【点评】
本题属于行程类综合题，解题关键是抓住路程不变的特点，先通过时间比推导速度比求出原水流速度，再结合变化后的水流速度列方程求解，计算时要注意水流速度变化后顺水、逆水速度的准确推导。
【难度系数】
0.6
解题分两个核心步骤：第一步，先求原来的水流速度。甲乙两港距离固定，路程相同时，行驶时间和速度成反比，结合已知的逆水、顺水时间比，可得到逆水速度与顺水速度的比例，再结合流水行船的速度公式（顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度），就能算出原水流速度。第二步，求两港距离。暴雨时水流速度变为原来的2倍，往返总时间为9h，即顺水行驶时间+逆水行驶时间=9h，根据“时间=路程÷速度”列方程，即可求出两港距离。
【解析】
解：设原来的水流速度为$v\ \mathrm{km/h}$，甲、乙两港之间的距离为$s\ \mathrm{km}$。
1. 计算原水流速度
路程相同时，时间与速度成反比，已知逆水、顺水航行时间比为$2:1$，因此逆水速度:顺水速度$=1:2$。
根据流水行船速度公式可得：逆水速度为$8-v$，顺水速度为$8+v$，列比例式：
$\frac{8 - v}{8 + v}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$2(8 - v)=8 + v$
展开整理得：$3v=8$，解得$v=\frac{8}{3}\ \mathrm{km/h}$
2. 计算两港距离
暴雨时水流速度为$2v=\frac{16}{3}\ \mathrm{km/h}$，此时：
顺水速度：$8+2v=8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}\ \mathrm{km/h}$
逆水速度：$8-2v=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}\ \mathrm{km/h}$
根据往返总时间为9h列方程：
$\frac{s}{\frac{40}{3}}+\frac{s}{\frac{8}{3}}=9$
化简得：$\frac{3s}{40}+\frac{15s}{40}=9$
解得：$s=20\ \mathrm{km}$
【答案】D
【知识点】
流水行船问题；行程问题等量关系；比例的应用
【点评】
本题属于行程类综合题，解题关键是抓住路程不变的特点，先通过时间比推导速度比求出原水流速度，再结合变化后的水流速度列方程求解，计算时要注意水流速度变化后顺水、逆水速度的准确推导。
【难度系数】
0.6
5. 一个三角形的面积是$a^2 - ab - 2b^2$，它的一边长是$a + b$，则该边上的高是 （
A.$\dfrac{a}{2} - b$
B.$a - 2b$
C.$2a + 4b$
D.$2a - 4b$
D
）A.$\dfrac{a}{2} - b$
B.$a - 2b$
C.$2a + 4b$
D.$2a - 4b$
答案
D
解析
【分析】要计算三角形已知边上的高，首先联想到三角形面积公式，将公式变形可得：高=2×三角形面积÷对应底边长。观察已知的面积是二次多项式，底边长是一次二项式，因此先对面积多项式因式分解，找到与底相同的因式，约分后即可快速求出高的表达式，无需进行复杂的多项式除法运算。
【解析】根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 该边上的高$，可推导得：
$\mathrm{该边上的高} = \frac{2S}{\mathrm{底边长}}$
首先对面积表达式$a^2 - ab - 2b^2$用十字相乘法因式分解：
$a^2 - ab - 2b^2 = (a - 2b)(a + b)$
将$S=a^2 - ab - 2b^2$，底边长$=a+b$代入高的计算公式：
$\mathrm{高}=\frac{2(a - 2b)(a + b)}{a + b}$
由于$a+b$是三角形的边长，因此$a+b ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$a+b$，得：
$\mathrm{高}=2(a - 2b)=2a - 4b$
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】三角形面积公式，因式分解，整式运算
【点评】本题将几何面积计算和代数因式分解相结合，解题核心是熟练掌握三角形面积公式的变形，同时能对二次三项式快速因式分解，通过约分简化计算，考查学生对基础知识的综合应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 该边上的高$，可推导得：
$\mathrm{该边上的高} = \frac{2S}{\mathrm{底边长}}$
首先对面积表达式$a^2 - ab - 2b^2$用十字相乘法因式分解：
$a^2 - ab - 2b^2 = (a - 2b)(a + b)$
将$S=a^2 - ab - 2b^2$，底边长$=a+b$代入高的计算公式：
$\mathrm{高}=\frac{2(a - 2b)(a + b)}{a + b}$
由于$a+b$是三角形的边长，因此$a+b ≠ 0$，可约去分子分母的公因式$a+b$，得：
$\mathrm{高}=2(a - 2b)=2a - 4b$
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】三角形面积公式，因式分解，整式运算
【点评】本题将几何面积计算和代数因式分解相结合，解题核心是熟练掌握三角形面积公式的变形，同时能对二次三项式快速因式分解，通过约分简化计算，考查学生对基础知识的综合应用能力。
【难度系数】0.7
三、计算题。
1. $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+2}{x+1}$
1. $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+2}{x+1}$
答案
$2$
解析
【分析】
这是同分母分式的加法运算题，解题思路清晰：首先观察到两个分式的分母均为$x+1$，属于同分母分式相加；接着根据同分母分式的加减法则，保持分母不变，将两个分子相加；最后对相加后的分子合并同类项，再约分得到最简结果即可。
【解析】
解：根据同分母分式加减法法则（分母不变，分子相加减）计算：
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+(x+2)}{x+1}$
合并分子同类项得：
$=\dfrac{2x+2}{x+1}$
对分子提取公因式2：
$=\dfrac{2(x+1)}{x+1}$
当$x≠-1$时分母不为0，约分化简得：
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，合并同类项
【点评】
本题是分式运算的基础题，主要考察同分母分式的运算规则和约分方法，掌握基础运算规则后很容易得出正确结果。
【难度系数】
0.9
这是同分母分式的加法运算题，解题思路清晰：首先观察到两个分式的分母均为$x+1$，属于同分母分式相加；接着根据同分母分式的加减法则，保持分母不变，将两个分子相加；最后对相加后的分子合并同类项，再约分得到最简结果即可。
【解析】
解：根据同分母分式加减法法则（分母不变，分子相加减）计算：
$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{x+(x+2)}{x+1}$
合并分子同类项得：
$=\dfrac{2x+2}{x+1}$
对分子提取公因式2：
$=\dfrac{2(x+1)}{x+1}$
当$x≠-1$时分母不为0，约分化简得：
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，合并同类项
【点评】
本题是分式运算的基础题，主要考察同分母分式的运算规则和约分方法，掌握基础运算规则后很容易得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. $\dfrac{a^2}{a-1} - a + 1.$
3. $( \dfrac{3}{a+2} - 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a+2}.$
3. $( \dfrac{3}{a+2} - 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a+2}.$
答案
2. $\frac{2a-1}{a-1}.$
3. $-\frac{1}{a-1}.$
3. $-\frac{1}{a-1}.$
解析
【分析】
第2题是分式与整式的加减运算，解题思路：先将整式部分$-a+1$变形为整体$-(a-1)$，再和分式$\frac{a^2}{a-1}$通分，转化为同分母分式的减法，最后对分子化简即可。
第3题是分式的混合运算，解题思路：遵循先括号内后括号外的运算顺序，先将括号内的1转化为分母为$a+2$的分式，通分计算括号内的结果；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母的多项式因式分解后约分，注意处理$1-a$和$a-1$的符号关系。
【解析】
2. 计算$\dfrac{a^2}{a-1} - a + 1$：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a^2}{a-1} - (a - 1)\\&=\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - a^2 + 2a - 1}{a-1}\\&=\dfrac{2a - 1}{a-1}\end{aligned}$
3. 计算$( \dfrac{3}{a+2} - 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a+2}$：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{3}{a+2} - \dfrac{a+2}{a+2} ) × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{3 - (a+2)}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{1 - a}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{-(a-1)}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=-\dfrac{1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
2. $\dfrac{2a-1}{a-1}$；3. $-\dfrac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的混合运算，通分与约分，完全平方公式
【点评】
这两道题是分式运算的常规题型，重点考察分式运算的基本规则，计算时需注意将整式视为整体通分，除法转乘法时要正确改写为乘倒数，涉及互为相反数的多项式时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
第2题是分式与整式的加减运算，解题思路：先将整式部分$-a+1$变形为整体$-(a-1)$，再和分式$\frac{a^2}{a-1}$通分，转化为同分母分式的减法，最后对分子化简即可。
第3题是分式的混合运算，解题思路：遵循先括号内后括号外的运算顺序，先将括号内的1转化为分母为$a+2$的分式，通分计算括号内的结果；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母的多项式因式分解后约分，注意处理$1-a$和$a-1$的符号关系。
【解析】
2. 计算$\dfrac{a^2}{a-1} - a + 1$：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a^2}{a-1} - (a - 1)\\&=\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - a^2 + 2a - 1}{a-1}\\&=\dfrac{2a - 1}{a-1}\end{aligned}$
3. 计算$( \dfrac{3}{a+2} - 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a+2}$：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{3}{a+2} - \dfrac{a+2}{a+2} ) × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{3 - (a+2)}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{1 - a}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\dfrac{-(a-1)}{a+2} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2}\\&=-\dfrac{1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
2. $\dfrac{2a-1}{a-1}$；3. $-\dfrac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的混合运算，通分与约分，完全平方公式
【点评】
这两道题是分式运算的常规题型，重点考察分式运算的基本规则，计算时需注意将整式视为整体通分，除法转乘法时要正确改写为乘倒数，涉及互为相反数的多项式时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
