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4. 我们可以用构图的方法研究一些几何问题.
【基本图形】
（1）如图1,已知正方形$ABCD$,$E$是$CD$延长线上一点,连接$AE$,作$AF=AE$,交$BC$于点$F$.求证$∠ EAF=90°$.
【方法迁移】
（2）如图2,已知$∠ AOB$,点$P$在$∠ AOB$的内部,求作正方形$PQMN$,使点$Q$,$N$分别在$OA$,$OB$上,点$M$在$∠ AOB$的内部(含边).
要求:① 用直尺和圆规作图;② 保留作图的痕迹,写出必要的文字说明;③ 作出所有满足条件的图形.
【问题解决】
（3）在（2）的条件下,若$∠ AOB=45°$,$OP=\sqrt{10}$,点$P$到$OB$的距离为$1$,直接写出所作正方形的边长.
【基本图形】
（1）如图1,已知正方形$ABCD$,$E$是$CD$延长线上一点,连接$AE$,作$AF=AE$,交$BC$于点$F$.求证$∠ EAF=90°$.
【方法迁移】
（2）如图2,已知$∠ AOB$,点$P$在$∠ AOB$的内部,求作正方形$PQMN$,使点$Q$,$N$分别在$OA$,$OB$上,点$M$在$∠ AOB$的内部(含边).
要求:① 用直尺和圆规作图;② 保留作图的痕迹,写出必要的文字说明;③ 作出所有满足条件的图形.
【问题解决】
（3）在（2）的条件下,若$∠ AOB=45°$,$OP=\sqrt{10}$,点$P$到$OB$的距离为$1$,直接写出所作正方形的边长.
答案
(1) 证明略. (2) 画图略. (3) 正方形边长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
（1）要证∠EAF=90°，结合正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠ADE=∠BAD=90°，已知AF=AE，可通过HL证明Rt△ABF≌Rt△ADE，得到角的等量关系，推导∠EAF与∠BAD相等即可得证。
（2）作满足条件的正方形可采用位似作图的思路：先构造一个两顶点分别在OA、OB上的小正方形，再以O为位似中心作该正方形的位似图形，使图形经过点P，共存在2种符合要求的正方形。
（3）通过建立平面直角坐标系确定点P的坐标，结合∠AOB=45°的条件，分两种情况讨论正方形的位置，利用勾股定理和正方形邻边垂直且相等的性质求解边长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADE=∠BAD=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AF=AE\\ AB=AD\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，即∠EAF=∠BAD=90°，得证。
（2）作图步骤：
①在OA上取一点$Q_1$，过$Q_1$作$Q_1N_1⊥ OB$于$N_1$；
②以$Q_1N_1$为边作正方形$Q_1N_1M_1P_1$，使正方形在∠AOB内部；
③作射线$OP_1$，过P作$PQ// P_1Q_1$交OA于Q，作$PN// P_1N_1$交OB于N；
④分别过Q作OA的垂线、过N作OB的垂线，两垂线交于点M，四边形PQMN即为所求，用同样方法可作出另一位置的满足条件的正方形。
（3）解：以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵P到OB的距离为1，
∴P的纵坐标为1，
∵$OP=\sqrt{10}$，由勾股定理得P的横坐标为$\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=3$，即$P(3,1)$，
∵∠AOB=45°，
∴OA的解析式为$y=x$，
设正方形边长为a，结合P是正方形顶点，N在OB、Q在OA的条件，分两种情况计算：
第一种情况解得$a=\sqrt{2}$，第二种情况解得$a=\sqrt{10}$，均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 作图见解析；(3) $\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题从基础证明到尺规作图再到几何计算逐层递进，综合考查了几何核心知识点的应用，要求学生能灵活运用全等、位似、坐标法等方法解决几何问题，对综合能力要求较高。
【难度系数】
0.3
（1）要证∠EAF=90°，结合正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠ADE=∠BAD=90°，已知AF=AE，可通过HL证明Rt△ABF≌Rt△ADE，得到角的等量关系，推导∠EAF与∠BAD相等即可得证。
（2）作满足条件的正方形可采用位似作图的思路：先构造一个两顶点分别在OA、OB上的小正方形，再以O为位似中心作该正方形的位似图形，使图形经过点P，共存在2种符合要求的正方形。
（3）通过建立平面直角坐标系确定点P的坐标，结合∠AOB=45°的条件，分两种情况讨论正方形的位置，利用勾股定理和正方形邻边垂直且相等的性质求解边长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADE=∠BAD=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AF=AE\\ AB=AD\end{array} $
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，即∠EAF=∠BAD=90°，得证。
（2）作图步骤：
①在OA上取一点$Q_1$，过$Q_1$作$Q_1N_1⊥ OB$于$N_1$；
②以$Q_1N_1$为边作正方形$Q_1N_1M_1P_1$，使正方形在∠AOB内部；
③作射线$OP_1$，过P作$PQ// P_1Q_1$交OA于Q，作$PN// P_1N_1$交OB于N；
④分别过Q作OA的垂线、过N作OB的垂线，两垂线交于点M，四边形PQMN即为所求，用同样方法可作出另一位置的满足条件的正方形。
（3）解：以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵P到OB的距离为1，
∴P的纵坐标为1，
∵$OP=\sqrt{10}$，由勾股定理得P的横坐标为$\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=3$，即$P(3,1)$，
∵∠AOB=45°，
∴OA的解析式为$y=x$，
设正方形边长为a，结合P是正方形顶点，N在OB、Q在OA的条件，分两种情况计算：
第一种情况解得$a=\sqrt{2}$，第二种情况解得$a=\sqrt{10}$，均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 作图见解析；(3) $\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题从基础证明到尺规作图再到几何计算逐层递进，综合考查了几何核心知识点的应用，要求学生能灵活运用全等、位似、坐标法等方法解决几何问题，对综合能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1. 某市对某段长4 000米的河段进行绿化改造.为尽快完成工期,施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化$x$米,则所列方程是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$\frac{4000}{x}-\frac{4000}{x+10}=2$
解析
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题思路如下：①首先回忆工程问题核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率；②找题中等量关系：“提前2天完成”说明原计划施工时间减去实际施工时间等于2天；③分别表示原计划和实际的施工时间，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知河段总长度为4000米，原计划每天绿化$x$米：
1. 计算原计划施工时间：根据工作时间公式，原计划时间为$\frac{4000}{x}$天；
2. 计算实际施工时间：实际每天比原计划多绿化10米，即实际每天绿化$(x+10)$米，因此实际时间为$\frac{4000}{x+10}$天；
3. 根据“提前2天完成”的时间差列方程：原计划时间 - 实际时间 = 2天，代入得$\frac{4000}{x}-\frac{4000}{x+10}=2$。
【答案】
$\frac{4000}{x}-\frac{4000}{x+10}=2$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 列分式方程
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，核心是找准时间差的等量关系，只要能正确区分原计划和实际的工作效率，分别表示出两者的工作时间就能顺利列方程，侧重考察对题干等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类的分式方程应用题，解题思路如下：①首先回忆工程问题核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率；②找题中等量关系：“提前2天完成”说明原计划施工时间减去实际施工时间等于2天；③分别表示原计划和实际的施工时间，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知河段总长度为4000米，原计划每天绿化$x$米：
1. 计算原计划施工时间：根据工作时间公式，原计划时间为$\frac{4000}{x}$天；
2. 计算实际施工时间：实际每天比原计划多绿化10米，即实际每天绿化$(x+10)$米，因此实际时间为$\frac{4000}{x+10}$天；
3. 根据“提前2天完成”的时间差列方程：原计划时间 - 实际时间 = 2天，代入得$\frac{4000}{x}-\frac{4000}{x+10}=2$。
【答案】
$\frac{4000}{x}-\frac{4000}{x+10}=2$
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 列分式方程
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，核心是找准时间差的等量关系，只要能正确区分原计划和实际的工作效率，分别表示出两者的工作时间就能顺利列方程，侧重考察对题干等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知 $ a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2} $，且 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，则 $ a - \frac{1}{a} = \underline{\hspace{5em}} $。
答案
$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题已知a与$\frac{1}{a}$的和，要求a与$\frac{1}{a}$的差，可利用完全平方公式的变形求解：首先将已知的$a+\frac{1}{a}$两边平方，求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；再将所求的$a-\frac{1}{a}$平方，代入$a^2+\frac{1}{a^2}$的值得到平方结果；最后结合$0＜a＜1$的范围判断$a-\frac{1}{a}$的符号，开平方即可得到最终结果。
【解析】
解：已知 $a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$，将等式两边同时平方，得：
$(a + \frac{1}{a})^2 = (\frac{5}{2})^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4}$
化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4}$
移项计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{17}{4}$
再计算$(a - \frac{1}{a})^2$，展开得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
将$a^2 + \frac{1}{a^2}=\frac{17}{4}$代入，得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = \frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$
因为$0 ＜ a ＜ 1$，所以$a ＜ \frac{1}{a}$，即$a - \frac{1}{a} ＜ 0$，因此：
$a - \frac{1}{a} = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是利用完全平方公式的变形建立已知式和待求式的联系，解题时需特别注意结合字母的取值范围判断开方后的符号，避免直接取算术平方根导致错误。
【难度系数】
0.6
本题已知a与$\frac{1}{a}$的和，要求a与$\frac{1}{a}$的差，可利用完全平方公式的变形求解：首先将已知的$a+\frac{1}{a}$两边平方，求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；再将所求的$a-\frac{1}{a}$平方，代入$a^2+\frac{1}{a^2}$的值得到平方结果；最后结合$0＜a＜1$的范围判断$a-\frac{1}{a}$的符号，开平方即可得到最终结果。
【解析】
解：已知 $a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$，将等式两边同时平方，得：
$(a + \frac{1}{a})^2 = (\frac{5}{2})^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4}$
化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4}$
移项计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{17}{4}$
再计算$(a - \frac{1}{a})^2$，展开得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
将$a^2 + \frac{1}{a^2}=\frac{17}{4}$代入，得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = \frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$
因为$0 ＜ a ＜ 1$，所以$a ＜ \frac{1}{a}$，即$a - \frac{1}{a} ＜ 0$，因此：
$a - \frac{1}{a} = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是利用完全平方公式的变形建立已知式和待求式的联系，解题时需特别注意结合字母的取值范围判断开方后的符号，避免直接取算术平方根导致错误。
【难度系数】
0.6
3. 观察下列算式:
① $1×\frac{2}{2^2 - 1}=\frac{2}{3×1}$,② $\frac{4}{3}×\frac{3}{3^2 - 1}=\frac{3}{3×2}$,③ $\frac{5}{3}×\frac{4}{4^2 - 1}=\frac{4}{3×3}$,④ $2×\frac{5}{5^2 - 1}=\frac{5}{3×4}$,$···$
按照以上规律,写出第$n$个算式________(用含正整数$n$的算式表示)
① $1×\frac{2}{2^2 - 1}=\frac{2}{3×1}$,② $\frac{4}{3}×\frac{3}{3^2 - 1}=\frac{3}{3×2}$,③ $\frac{5}{3}×\frac{4}{4^2 - 1}=\frac{4}{3×3}$,④ $2×\frac{5}{5^2 - 1}=\frac{5}{3×4}$,$···$
按照以上规律,写出第$n$个算式________(用含正整数$n$的算式表示)
答案
$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2-1}=\frac{n+1}{3n}$
解析
【分析】
解决这类算式规律探究题，可先将每个算式按结构拆分为左边第一个乘数、左边第二个乘数、右边的运算结果三个部分，再将每部分和对应的序号n（n=1、2、3、4……）逐一比对，找出每部分随n变化的统一表达式，最后将表达式组合后代入前几个n的值验证是否符合已知算式即可。
【解析】
我们对应序号n=1、2、3、4逐一分析各部分的规律：
1. 左边第一个乘数：
当n=1时为$1=\frac{1+2}{3}$，n=2时为$\frac{4}{3}=\frac{2+2}{3}$，n=3时为$\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}$，n=4时为$2=\frac{6}{3}=\frac{4+2}{3}$，因此第n个算式左边第一个乘数为$\frac{n+2}{3}$。
2. 左边第二个乘数：
观察分子：n=1时为2=1+1，n=2时为3=2+1，n=3时为4=3+1，n=4时为5=4+1，因此分子为$n+1$；
观察分母：均为对应分子的平方减1，因此分母为$(n+1)^2 -1$，即左边第二个乘数为$\frac{n+1}{(n+1)^2 -1}$。
3. 右边的结果：
观察分子：和左边第二个乘数的分子一致，为$n+1$；
观察分母：n=1时为$3×1$，n=2时为$3×2$，n=3时为$3×3$，n=4时为$3×4$，因此分母为$3n$，即右边结果为$\frac{n+1}{3n}$。
将三部分组合，验证n=1、2时均符合已知算式，即可得到第n个算式。
【答案】
$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2-1}=\frac{n+1}{3n}$
【知识点】
规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，解题核心是拆分算式结构后逐部分对应序号找共性规律，得出规律后要注意代入前几个序号验证，避免出现规律匹配错误。
【难度系数】
0.7
解决这类算式规律探究题，可先将每个算式按结构拆分为左边第一个乘数、左边第二个乘数、右边的运算结果三个部分，再将每部分和对应的序号n（n=1、2、3、4……）逐一比对，找出每部分随n变化的统一表达式，最后将表达式组合后代入前几个n的值验证是否符合已知算式即可。
【解析】
我们对应序号n=1、2、3、4逐一分析各部分的规律：
1. 左边第一个乘数：
当n=1时为$1=\frac{1+2}{3}$，n=2时为$\frac{4}{3}=\frac{2+2}{3}$，n=3时为$\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}$，n=4时为$2=\frac{6}{3}=\frac{4+2}{3}$，因此第n个算式左边第一个乘数为$\frac{n+2}{3}$。
2. 左边第二个乘数：
观察分子：n=1时为2=1+1，n=2时为3=2+1，n=3时为4=3+1，n=4时为5=4+1，因此分子为$n+1$；
观察分母：均为对应分子的平方减1，因此分母为$(n+1)^2 -1$，即左边第二个乘数为$\frac{n+1}{(n+1)^2 -1}$。
3. 右边的结果：
观察分子：和左边第二个乘数的分子一致，为$n+1$；
观察分母：n=1时为$3×1$，n=2时为$3×2$，n=3时为$3×3$，n=4时为$3×4$，因此分母为$3n$，即右边结果为$\frac{n+1}{3n}$。
将三部分组合，验证n=1、2时均符合已知算式，即可得到第n个算式。
【答案】
$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2-1}=\frac{n+1}{3n}$
【知识点】
规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，解题核心是拆分算式结构后逐部分对应序号找共性规律，得出规律后要注意代入前几个序号验证，避免出现规律匹配错误。
【难度系数】
0.7
4. 分式$\frac{1}{3x^2},\frac{5}{6xy^2}$的最简公分母是$\underline{2·3x^2y^2}$。
答案
$6x^2y^2$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按照固定思路分步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数，第二步找所有出现过的字母的最高次幂，最后将最小公倍数和各字母最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。本题中两个分式的分母分别为$3x^2$和$6xy^2$，按上述步骤逐一计算即可得出结果。
【解析】
1. 明确两个分式的分母：分别为$3x^2$和$6xy^2$；
2. 计算分母系数的最小公倍数：3和6的最小公倍数是6；
3. 确定各字母的最高次幂：
字母$x$在两个分母中的次数为2和1，最高次幂为$x^2$；
字母$y$在两个分母中的次数为0（第一个分母不含$y$，相当于$y^0$）和2，最高次幂为$y^2$；
4. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母最高次幂相乘，即$6× x^2× y^2=6x^2y^2$。
【答案】
$\boxed{6x^2y^2}$
【知识点】
最简公分母的求法；最小公倍数计算；字母最高次幂选取
【点评】
本题是分式相关的基础题型，考查最简公分母的确定方法，该知识点是后续分式通分、分式加减运算的核心基础，熟练掌握“先求系数最小公倍数，再取各字母最高次幂”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要确定两个分式的最简公分母，可按照固定思路分步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数，第二步找所有出现过的字母的最高次幂，最后将最小公倍数和各字母最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。本题中两个分式的分母分别为$3x^2$和$6xy^2$，按上述步骤逐一计算即可得出结果。
【解析】
1. 明确两个分式的分母：分别为$3x^2$和$6xy^2$；
2. 计算分母系数的最小公倍数：3和6的最小公倍数是6；
3. 确定各字母的最高次幂：
字母$x$在两个分母中的次数为2和1，最高次幂为$x^2$；
字母$y$在两个分母中的次数为0（第一个分母不含$y$，相当于$y^0$）和2，最高次幂为$y^2$；
4. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母最高次幂相乘，即$6× x^2× y^2=6x^2y^2$。
【答案】
$\boxed{6x^2y^2}$
【知识点】
最简公分母的求法；最小公倍数计算；字母最高次幂选取
【点评】
本题是分式相关的基础题型，考查最简公分母的确定方法，该知识点是后续分式通分、分式加减运算的核心基础，熟练掌握“先求系数最小公倍数，再取各字母最高次幂”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5. 要使分式$\dfrac{6}{x - 19}$有意义，则$x$需要满足的条件是________.
答案
$x≠19$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆分式有意义的判定规则：因为分式的分母对应除法运算中的除数，除数不能为0，因此分式有意义的核心条件是分母不等于0。接下来找到题中分式的分母为$x-19$，只需令分母不等于0，列出对应的不等式并求解，就能得到$x$需要满足的条件。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：
$x - 19 ≠ 0$
移项解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类常考题，重点考察对分式有意义条件的掌握，牢记分母不为0的规则即可快速求解，失分率很低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要回忆分式有意义的判定规则：因为分式的分母对应除法运算中的除数，除数不能为0，因此分式有意义的核心条件是分母不等于0。接下来找到题中分式的分母为$x-19$，只需令分母不等于0，列出对应的不等式并求解，就能得到$x$需要满足的条件。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：
$x - 19 ≠ 0$
移项解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类常考题，重点考察对分式有意义条件的掌握，牢记分母不为0的规则即可快速求解，失分率很低。
【难度系数】
0.9
6. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{3x+2}{x-1} = \frac{m}{x-1}$ 无解，则 $ m $ 的值是 ______。
答案
$5$
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。本题中分式方程的分母均为$x-1$，可知增根只能是$x=1$。我们先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件分析计算即可得到$m$的值。
【解析】
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），去分母得：
$3x + 2 = m$
整理得整式方程的解为：$x=\frac{m-2}{3}$
因为原分式方程无解，且该整式方程是一元一次方程，系数$3≠0$必然有解，因此只可能是解为原方程的增根$x=1$。
将$x=1$代入$x=\frac{m-2}{3}$得：
$1=\frac{m-2}{3}$
两边同时乘3得：$3=m-2$
解得$m=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型基础题，解题核心是理解增根的含义，先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再结合增根的条件代入参数求解即可，解题时要注意牢记分式方程分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。本题中分式方程的分母均为$x-1$，可知增根只能是$x=1$。我们先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件分析计算即可得到$m$的值。
【解析】
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（注意$x≠1$），去分母得：
$3x + 2 = m$
整理得整式方程的解为：$x=\frac{m-2}{3}$
因为原分式方程无解，且该整式方程是一元一次方程，系数$3≠0$必然有解，因此只可能是解为原方程的增根$x=1$。
将$x=1$代入$x=\frac{m-2}{3}$得：
$1=\frac{m-2}{3}$
两边同时乘3得：$3=m-2$
解得$m=5$
【答案】
$5$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型基础题，解题核心是理解增根的含义，先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再结合增根的条件代入参数求解即可，解题时要注意牢记分式方程分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a+b=5$，$ab=3$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
要计算$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的值，首先依据异分母分式的加法法则对其通分合并，观察合并后的式子可发现，分子为$a+b$、分母为$ab$，恰好是题目给出的已知条件，直接将已知值整体代入即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，计算更简便。
【解析】
根据异分母分式加法法则通分：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
$\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
分式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题是基础计算类题型，解题核心是通过通分将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐步骤，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的值，首先依据异分母分式的加法法则对其通分合并，观察合并后的式子可发现，分子为$a+b$、分母为$ab$，恰好是题目给出的已知条件，直接将已知值整体代入即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，计算更简便。
【解析】
根据异分母分式加法法则通分：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
$\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
分式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题是基础计算类题型，解题核心是通过通分将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想简化计算，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐步骤，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 当$x,y$满足关系$\underline{\hspace{5em}}$时，$\dfrac{3(x-y)}{5(x-y)}=\dfrac{3}{5}$。
答案
$x≠y$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。观察等式左右两边，左边的分子分母都含有因式$(x-y)$，约分后可得到右边的$\dfrac{3}{5}$，因此首先要保证被约掉的因式$(x-y)$不为0，同时该条件也能保证原分式的分母不为0，满足分式有意义的要求，由此就能推导出$x$和$y$的关系。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使$\dfrac{3(x-y)}{5(x-y)}=\dfrac{3}{5}$成立，需要满足分子分母同时除以的因式$(x-y)≠0$，
解不等式$x-y≠0$，可得$x≠ y$。
此时原分式的分母$5(x-y)≠0$，分式本身有意义，符合要求。
【答案】
$x≠y$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
这道题是分式部分的基础易错题，核心考查分式约分的前提条件，解题时很容易忽略“除以的整式不能为0”这一限制，需要牢记分式变形时必须满足除式不为0的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。观察等式左右两边，左边的分子分母都含有因式$(x-y)$，约分后可得到右边的$\dfrac{3}{5}$，因此首先要保证被约掉的因式$(x-y)$不为0，同时该条件也能保证原分式的分母不为0，满足分式有意义的要求，由此就能推导出$x$和$y$的关系。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
要使$\dfrac{3(x-y)}{5(x-y)}=\dfrac{3}{5}$成立，需要满足分子分母同时除以的因式$(x-y)≠0$，
解不等式$x-y≠0$，可得$x≠ y$。
此时原分式的分母$5(x-y)≠0$，分式本身有意义，符合要求。
【答案】
$x≠y$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
这道题是分式部分的基础易错题，核心考查分式约分的前提条件，解题时很容易忽略“除以的整式不能为0”这一限制，需要牢记分式变形时必须满足除式不为0的要求。
【难度系数】
0.7
