8. 如图,在长方形ABCD中,AB=10,点E在线段AD上,且AE=6,动点P在线段AB上,从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时点Q在线段BC上,以每秒v个单位的速度由点B向点C运动,当△EAP与△PBQ全等时,v的值为
（）

A.2
B.4
C.4或$\frac{6}{5}$
D.2或$\frac{12}{5}$

D

【分析】
本题是长方形背景下的动点与全等三角形结合的题目，已知长方形四个角均为直角，因此△EAP和△PBQ都是直角三角形，且∠A=∠B=90°。由于全等三角形的对应边未明确给出，因此需要分两种情况讨论对应边相等的关系，结合动点的运动速度和路程公式列方程求解即可。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意得：
$AP=2t$，$PB=AB-AP=10-2t$，$BQ=vt$，且$∠ A=∠ B=90°$。
△EAP与△PBQ全等分两种情况讨论：
情况1：当$△ EAP ≌ △ PBQ$时，对应边相等：
$EA=PB$，$AP=BQ$
代入$EA=6$，得方程组：
$\begin{cases}6=10-2t \\2t=vt \end{cases}$
解第一个方程得$2t=4$，$t=2$，
将$t=2$代入第二个方程得$2×2 = v×2$，解得$v=2$；
情况2：当$△ EAP ≌ △ QBP$时，对应边相等：
$EA=QB$，$AP=PB$
得方程组：
$\begin{cases}6=vt \\2t=10-2t \end{cases}$
解第二个方程得$4t=10$，$t=\frac{5}{2}$，
将$t=\frac{5}{2}$代入第一个方程得$6 = v×\frac{5}{2}$，解得$v=\frac{12}{5}$。
综上，v的值为2或$\frac{12}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，矩形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确全等三角形对应边不唯一，需分类讨论，结合动点的路程、速度、时间的关系列方程求解，易错点是漏考虑其中一种对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

9. 如图,裁剪出一正方形纸片ABCD,若AB=4,且E为BC的中点,将△ABE沿着AE所在直线折叠,使点B落在正方形内点F处,连接CF,△ECF的面积为（）


A.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{8\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

C

【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边长，结合E是BC中点得到BE=EC=2；再根据折叠的性质可知点F是点B关于折痕AE的对称点，此时可通过建立平面直角坐标系，求直线AE、BF的解析式，联立得到两直线交点（即BF的中点）的坐标，进而求出F点坐标；最后利用三角形面积公式，以EC为底，F到BC的距离为高计算△ECF的面积即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系，设B为坐标原点(0,0)，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴。
2. 正方形ABCD边长AB=4，因此A(0,4)，C(4,0)；E为BC中点，故E(2,0)，可得EC=2。
3. 设直线AE的解析式为$y=kx+b$，代入A(0,4)、E(2,0)，解得$k=-2$，$b=4$，即AE解析式为$y=-2x+4$。
4. 由折叠性质得BF与AE垂直，且BF的中点在AE上：直线AE斜率为-2，因此直线BF斜率为$\frac{1}{2}$，BF过原点，故BF解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
5. 联立AE、BF的解析式$\begin{cases}y=-2x+4\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，解得交点$G(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$，G为BF中点。
6. 由中点坐标公式得F点坐标为$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$，F到BC（x轴）的距离为$\frac{8}{5}$。
7. 计算△ECF的面积：$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}×EC×高=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合了折叠变换、正方形性质与面积计算，解题的关键是利用折叠的对称性找到点F的位置，通过坐标法可以直观简化求解过程，也可借助勾股定理、等面积法等其他方法求解，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6

1. 如图,在平行四边形$ABCD$中,直线$EF// BD$,与$CD$,$CB$的延长线分别相交于点$E$,$F$,交$AB$,$AD$于点$G$,$H$.
(1) 求证:四边形$FBDH$为平行四边形;
(2) 求证:$FG=EH$.

(1) 四边形$FBDH$为平行四边形得证；(2) $FG=EH$得证。

【分析】
（1）要证明四边形FBDH为平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先根据平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，即HD//FB，再结合已知条件EF//BD，即FH//BD，即可满足两组对边分别平行的判定条件。
（2）要证明FG=EH，可通过等线段代换推导：先由（1）的结论得到FH=BD，再同理证明四边形BDEG是平行四边形，得到EG=BD，因此FH=EG，最后给两条等长线段同时减去公共部分GH，即可得到FG=EH。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即$HD// FB$，
又
∵ $EF// BD$，即$FH// BD$，
∴ 四边形FBDH的两组对边分别平行，
∴ 四边形FBDH为平行四边形。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，即$GB// DE$，
又
∵ $EF// BD$，即$GE// BD$，
∴ 四边形BDEG是平行四边形，
∴ $GE=BD$，
由(1)知四边形FBDH为平行四边形，
∴ $FH=BD$，
∴ $FH=GE$，
∴ $FH - GH = GE - GH$，
即 $FG=EH$。
【答案】
(1) 四边形$FBDH$为平行四边形得证；(2) $FG=EH$得证。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；等量代换
【点评】
本题是平行四边形相关知识的典型基础习题，核心考查平行四边形判定与性质的综合应用，解题时需从已知平行四边形的性质入手推导平行关系，再通过判定新的平行四边形得到等长线段，最后利用线段和差关系完成证明，逻辑链条清晰，有助于巩固平行四边形的核心知识点。
【难度系数】
0.7

2. 如图在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB=CD$，过点$A$作$AE⊥ BC$，垂足为$E$，连接$DB$，$DB$平分$∠ ABC$。
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形；
（2）过点$D$作$DC$的垂线，分别交$AB$，$AE$于点$F$，$G$，若$AG=3$，$AD=4$，求菱形$ABCD$的面积。

(1) 证明略. (2) $\dfrac{64}{5}$

【分析】
（1）要证明四边形ABCD是菱形，首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定ABCD是平行四边形，再结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得到邻边CB=CD，即可证明平行四边形ABCD是菱形。
（2）要求菱形的面积，已知菱形边长为4，只需要求出BC边上的高AE即可。首先根据菱形对边平行的性质，结合已知的垂直关系，得到△DAG是直角三角形，用勾股定理算出DG的长度；再通过两角对应相等证明△ADF和△GDA相似，求出DF的长度；最后通过角度推导证明△ABE和△DAF全等，得到AE=DF，即可用底乘高算出菱形面积。
【解析】
（1）证明：
∵ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
∵ $DB$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ CBD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABD=∠ CDB$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$，
∴ $CB=CD$。
∴ 平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（2）解：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AD=4$，
∴ $AB=BC=AD=4$，$AD// BC$，$AB// CD$。
∵ $AE⊥ BC$，$AD// BC$，
∴ $AE⊥ AD$，即$∠ DAG=90°$。
∵ $DG⊥ CD$，$AB// CD$，
∴ $DG⊥ AB$，即$∠ AFD=90°$。
在$Rt△ ADG$中，$AG=3$，$AD=4$，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{AD^2+AG^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
在$△ ADF$和$△ GDA$中：
$\begin{cases}∠ AFD=∠ GAD=90° \\∠ ADF=∠ GDA\end{cases}$
∴ $△ ADF∽△ GDA$，
∴ $\dfrac{AD}{GD}=\dfrac{DF}{AD}$，代入得$\dfrac{4}{5}=\dfrac{DF}{4}$，解得$DF=\dfrac{16}{5}$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEB=90°=∠ DFA$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAB+∠ ABE=180°$。
∵ $DG⊥ AB$，
∴ $∠ ADF+∠ DAB=90°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE+∠ ABE=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ ADF$。
在$△ ABE$和$△ DAF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DFA=90° \\∠ BAE=∠ ADF \\AB=DA=4\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ DAF$（AAS），
∴ $AE=DF=\dfrac{16}{5}$。
∴ 菱形$ABCD$的面积$S=BC· AE=4×\dfrac{16}{5}=\dfrac{64}{5}$。
【答案】
（1）证明成立，四边形$ABCD$是菱形；
（2）$\boldsymbol{\dfrac{64}{5}}$
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题第一问属于基础证明题，核心是掌握平行四边形转化为菱形的判定条件；第二问综合了垂直的性质、相似三角形、全等三角形和勾股定理的应用，解题的关键是梳理清楚角之间的等量关系，通过全等将未知的高转化为可求的线段长度，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则称该四边形为“筝形”.连接对角线AC,BD,AC与BD相交于点O.
(1) 写出关于筝形对角线的一个性质:,并说明理由;
(2) 给出下列四个条件:
① $OA=OC$, ② $AC ⊥ BD$, ③ $∠ ABD = ∠ CBD$,
④ $AB // CD$.从中选择一个条件,使该筝形为菱形,并证明之.

(1) $AC$垂直平分$BD$,理由略. (2) ①;证明略(答案不唯一).

【分析】
(1) 推导筝形对角线性质时，先观察已知条件：AB=AD，CB=CD，AC为公共边，可先通过SSS证明△ABC与△ADC全等，得到角相等的结论，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，就能推出AC和BD的位置与数量关系。
(2) 要使筝形变为菱形，需结合菱形判定定理分析：已知筝形已经满足AC垂直平分BD，若补充条件①OA=OC，则对角线AC和BD互相垂直平分，符合菱形的判定条件；也可选择其他符合要求的条件，结合对应判定定理证明即可。
【解析】
(1) 性质：$AC$垂直平分$BD$。
理由如下：
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ CB=CD \\ AC=AC \end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \mathrm{(SSS)}$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$，
又$\because AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AC ⊥ BD$，$OB=OD$，
即$AC$垂直平分$BD$。
(2) 选择条件①$OA=OC$，证明如下：
由(1)可知$AC ⊥ BD$，$OB=OD$，
又$\because OA=OC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的对角线互相垂直平分，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形。
（注：选择其他合理条件也可，如选④$AB// CD$，可证四条边相等得到菱形）
【答案】
(1) $AC$垂直平分$BD$（答案不唯一，合理即可）
(2) 选择条件①（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、菱形的判定
【点评】
本题以新定义“筝形”为载体，考查了基础几何知识的综合应用，需要熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质以及菱形的判定方法，能有效考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7