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2. 下列命题中,真命题有 （
① 平行四边形是轴对称图形;② 若菱形的边长与其中一条对角线相等,那么此菱形有一个内角等于$120°$;③ 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④ 正方形的面积等于对角线长的平方的一半.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）① 平行四边形是轴对称图形;② 若菱形的边长与其中一条对角线相等,那么此菱形有一个内角等于$120°$;③ 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④ 正方形的面积等于对角线长的平方的一半.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
本题为特殊四边形相关的命题真假判断题，解题需逐个验证4个命题的正确性：首先回忆平行四边形、菱形、正方形的性质与判定定理，依次对每个命题结合定理分析判断，最后统计真命题的总个数即可匹配选项。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 分析命题①：普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，仅特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）是轴对称图形，因此①是假命题；
2. 分析命题②：菱形的四条边长度相等，若边长与一条对角线相等，则这条对角线和相邻的两条边构成等边三角形，可得菱形的一个内角为60°，其邻角为$180°-60°=120°$，因此②是真命题；
3. 分析命题③：对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，仅满足相等和垂直、不满足平分的四边形不是正方形，因此③是假命题；
4. 分析命题④：设正方形对角线长为$a$，正方形对角线互相垂直，其面积可按对角线乘积的一半计算，即$S=\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^2$，也就是面积等于对角线长平方的一半，因此④是真命题。
综上，真命题有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
特殊四边形的性质与判定；正方形面积计算；命题真假判断
【点评】
本题重点考查对各类特殊四边形性质、判定定理的掌握，解题时要注意判定定理的完整条件，不能遗漏关键要求（如正方形对角线判定需同时满足相等、垂直、平分三个条件），避免因概念记忆不全出错。
【难度系数】
0.7
本题为特殊四边形相关的命题真假判断题，解题需逐个验证4个命题的正确性：首先回忆平行四边形、菱形、正方形的性质与判定定理，依次对每个命题结合定理分析判断，最后统计真命题的总个数即可匹配选项。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 分析命题①：普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，仅特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）是轴对称图形，因此①是假命题；
2. 分析命题②：菱形的四条边长度相等，若边长与一条对角线相等，则这条对角线和相邻的两条边构成等边三角形，可得菱形的一个内角为60°，其邻角为$180°-60°=120°$，因此②是真命题；
3. 分析命题③：对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，仅满足相等和垂直、不满足平分的四边形不是正方形，因此③是假命题；
4. 分析命题④：设正方形对角线长为$a$，正方形对角线互相垂直，其面积可按对角线乘积的一半计算，即$S=\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^2$，也就是面积等于对角线长平方的一半，因此④是真命题。
综上，真命题有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
特殊四边形的性质与判定；正方形面积计算；命题真假判断
【点评】
本题重点考查对各类特殊四边形性质、判定定理的掌握，解题时要注意判定定理的完整条件，不能遗漏关键要求（如正方形对角线判定需同时满足相等、垂直、平分三个条件），避免因概念记忆不全出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图, 四边形 ABCD 是正方形, $△ ADE$ 绕着点 A 旋转 $90°$ 后到达 $△ ABF$ 的位置, 连接 EF, 则 $△ AEF$ 的形状是（
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
C
）A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
C
解析
【分析】
解题时先从旋转的性质入手分析：首先旋转前后的两个三角形全等，可得到对应边相等的关系；其次旋转角为90°，可得到对应边的夹角等于旋转角的度数，结合这两个特征就能判断△AEF的形状。
【解析】
∵△ADE绕点A旋转90°后到达△ABF的位置，
∴根据旋转的性质可得：△ADE≌△ABF，旋转角∠EAF=90°，
∴AE=AF，
又
∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特点，结合特殊三角形的判定条件即可求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时先从旋转的性质入手分析：首先旋转前后的两个三角形全等，可得到对应边相等的关系；其次旋转角为90°，可得到对应边的夹角等于旋转角的度数，结合这两个特征就能判断△AEF的形状。
【解析】
∵△ADE绕点A旋转90°后到达△ABF的位置，
∴根据旋转的性质可得：△ADE≌△ABF，旋转角∠EAF=90°，
∴AE=AF，
又
∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特点，结合特殊三角形的判定条件即可求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在网格中建立平面直角坐标系,已知$A(0,0)$,$B(-3,1)$,$C(3,4)$,若点$D$使得$∠ BCD=∠ DAB$,则点$D$的坐标可能是（
A.$(6,3)$
B.$(-3,4)$
C.$(-4,5)$
D.$(-1,3)$
A
）A.$(6,3)$
B.$(-3,4)$
C.$(-4,5)$
D.$(-1,3)$
答案
A
解析
【分析】
要找到满足∠BCD=∠DAB的点D，我们可以利用平行四边形对角相等的性质：若四边形ABCD是平行四边形，则其对角相等，刚好满足∠BCD=∠DAB。判断平行四边形的方法是两组对边分别平行，平面直角坐标系中两条直线平行的条件是：两点纵坐标的差与横坐标的差的比值（即倾斜程度）相等。我们先算出AB、BC的倾斜程度比值，再逐一验证选项中的点D对应的CD、AD的比值是否分别与AB、BC的比值相等即可。
【解析】
首先计算已知边的倾斜程度比值（$\Delta y/\Delta x$，$\Delta y$为两点纵坐标差，$\Delta x$为两点横坐标差）：
1. 边AB：已知$A(0,0)$，$B(-3,1)$
$\Delta y=1-0=1$，$\Delta x=-3-0=-3$，比值为$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
2. 边BC：已知$B(-3,1)$，$C(3,4)$
$\Delta y=4-1=3$，$\Delta x=3-(-3)=6$，比值为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
逐一验证选项：
A选项：$D(6,3)$
边CD：$C(3,4)$，$D(6,3)$
$\Delta y=3-4=-1$，$\Delta x=6-3=3$，比值为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$，与AB的比值相等，故$AB// CD$
边AD：$A(0,0)$，$D(6,3)$
$\Delta y=3-0=3$，$\Delta x=6-0=6$，比值为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，与BC的比值相等，故$BC// AD$
两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等可得$∠ BCD=∠ DAB$，符合要求。
其余选项中CD边的倾斜程度比值均与AB不相等，无法满足条件。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题将角相等的条件结合平面直角坐标系考查，解题关键是把角相等转化为平行四边形对角相等的性质，通过验证对边平行快速筛选符合要求的点，代入选项验证是这类选择题常用的高效解题方法。
【难度系数】
0.65
要找到满足∠BCD=∠DAB的点D，我们可以利用平行四边形对角相等的性质：若四边形ABCD是平行四边形，则其对角相等，刚好满足∠BCD=∠DAB。判断平行四边形的方法是两组对边分别平行，平面直角坐标系中两条直线平行的条件是：两点纵坐标的差与横坐标的差的比值（即倾斜程度）相等。我们先算出AB、BC的倾斜程度比值，再逐一验证选项中的点D对应的CD、AD的比值是否分别与AB、BC的比值相等即可。
【解析】
首先计算已知边的倾斜程度比值（$\Delta y/\Delta x$，$\Delta y$为两点纵坐标差，$\Delta x$为两点横坐标差）：
1. 边AB：已知$A(0,0)$，$B(-3,1)$
$\Delta y=1-0=1$，$\Delta x=-3-0=-3$，比值为$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
2. 边BC：已知$B(-3,1)$，$C(3,4)$
$\Delta y=4-1=3$，$\Delta x=3-(-3)=6$，比值为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
逐一验证选项：
A选项：$D(6,3)$
边CD：$C(3,4)$，$D(6,3)$
$\Delta y=3-4=-1$，$\Delta x=6-3=3$，比值为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$，与AB的比值相等，故$AB// CD$
边AD：$A(0,0)$，$D(6,3)$
$\Delta y=3-0=3$，$\Delta x=6-0=6$，比值为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，与BC的比值相等，故$BC// AD$
两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等可得$∠ BCD=∠ DAB$，符合要求。
其余选项中CD边的倾斜程度比值均与AB不相等，无法满足条件。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的判定；平面直角坐标系
【点评】
本题将角相等的条件结合平面直角坐标系考查，解题关键是把角相等转化为平行四边形对角相等的性质，通过验证对边平行快速筛选符合要求的点，代入选项验证是这类选择题常用的高效解题方法。
【难度系数】
0.65
5. 如图,边长为$\sqrt{2}$的正方形$ABCD$绕点$A$逆时针旋转$45°$后得到正方形$AB_1C_1D_1$,边$B_1C_1$与$CD$交于点$O$,则四边形$AB_1OD$的面积是 （
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
C
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质和正方形的性质分析图形特征：正方形旋转前后边长不变，旋转角为45°，可推出点B₁落在原正方形ABCD的对角线AC上。接下来可以通过面积差思路计算：先求出△ACD和△OB₁C的面积，再相减得到四边形面积；也可以连接AO，证明Rt△ADO与Rt△AB₁O全等，计算两个全等三角形的面积和得到结果。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的基本量：边长为$\sqrt{2}$，因此对角线$AC=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，$△ ACD$的面积为正方形面积的一半，即$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2=1$。
2. 由旋转性质可知：$AB_1=AB=\sqrt{2}$，旋转角$∠ B_1AB=45°$，而正方形对角线AC平分$∠ DAB$，$∠ CAB=45°$，因此点$B_1$在AC上，可得$CB_1=AC-AB_1=2-\sqrt{2}$。
3. 分析$△ OB_1C$：$∠ AB_1C_1=90°$，故$∠ OB_1C=90°$，又$∠ ACB=45°$，所以$△ OB_1C$是等腰直角三角形，$B_1O=CB_1=2-\sqrt{2}$。
4. 计算$△ OB_1C$的面积：$S_{△ OB_1C}=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×(2-\sqrt{2})=3-2\sqrt{2}$。
5. 四边形$AB_1OD$的面积：$S_{四边形AB_1OD}=S_{△ ACD} - S_{△ OB_1C}=1-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将旋转和正方形的性质结合考查，解题的突破口是判断出旋转后点B₁在原正方形的对角线上，再结合面积计算的相关方法即可求解，能够有效考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合旋转的性质和正方形的性质分析图形特征：正方形旋转前后边长不变，旋转角为45°，可推出点B₁落在原正方形ABCD的对角线AC上。接下来可以通过面积差思路计算：先求出△ACD和△OB₁C的面积，再相减得到四边形面积；也可以连接AO，证明Rt△ADO与Rt△AB₁O全等，计算两个全等三角形的面积和得到结果。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的基本量：边长为$\sqrt{2}$，因此对角线$AC=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，$△ ACD$的面积为正方形面积的一半，即$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2=1$。
2. 由旋转性质可知：$AB_1=AB=\sqrt{2}$，旋转角$∠ B_1AB=45°$，而正方形对角线AC平分$∠ DAB$，$∠ CAB=45°$，因此点$B_1$在AC上，可得$CB_1=AC-AB_1=2-\sqrt{2}$。
3. 分析$△ OB_1C$：$∠ AB_1C_1=90°$，故$∠ OB_1C=90°$，又$∠ ACB=45°$，所以$△ OB_1C$是等腰直角三角形，$B_1O=CB_1=2-\sqrt{2}$。
4. 计算$△ OB_1C$的面积：$S_{△ OB_1C}=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×(2-\sqrt{2})=3-2\sqrt{2}$。
5. 四边形$AB_1OD$的面积：$S_{四边形AB_1OD}=S_{△ ACD} - S_{△ OB_1C}=1-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将旋转和正方形的性质结合考查，解题的突破口是判断出旋转后点B₁在原正方形的对角线上，再结合面积计算的相关方法即可求解，能够有效考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}PQ$的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出CE是∠BCD的角平分线，得到∠BCE=∠DCE；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB//CD，AB=4，BC=5；由AB//CD可得内错角∠E=∠DCE，等量代换后得到∠E=∠BCE，根据等角对等边可知BE=BC；最后结合BE=AB+AE，代入数值即可求出AE的长度。
【解析】
由尺规作图的操作可知，CE平分∠BCD，因此$∠ BCE = ∠ DCE$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AB=4$，$BC=5$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ E = ∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ E = ∠ BCE$（等量代换），
∴$BE = BC = 5$（等角对等边）。
又
∵$BE = AB + AE$，
∴$AE = BE - AB = 5 - 4 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的尺规作图；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解题的核心是抓住“角平分线+平行线”的组合特征推导等腰三角形，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出CE是∠BCD的角平分线，得到∠BCE=∠DCE；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB//CD，AB=4，BC=5；由AB//CD可得内错角∠E=∠DCE，等量代换后得到∠E=∠BCE，根据等角对等边可知BE=BC；最后结合BE=AB+AE，代入数值即可求出AE的长度。
【解析】
由尺规作图的操作可知，CE平分∠BCD，因此$∠ BCE = ∠ DCE$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AB=4$，$BC=5$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ E = ∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ E = ∠ BCE$（等量代换），
∴$BE = BC = 5$（等角对等边）。
又
∵$BE = AB + AE$，
∴$AE = BE - AB = 5 - 4 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的尺规作图；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解题的核心是抓住“角平分线+平行线”的组合特征推导等腰三角形，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形AOBC绕点O逆时针旋转$45°$后得到正方形$A_1OB_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2 025次得到正方形$A_{2\,025}OB_{2\,025}C_{2\,025}$,如果点A的坐标为$(0,1)$,那么点$C_{2\,025}$的坐标为 （
A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-\sqrt{2},0)$
D.$(0,\sqrt{2})$
D
）A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-\sqrt{2},0)$
D.$(0,\sqrt{2})$
答案
D
解析
【分析】
首先确定初始时点C的坐标，再计算OC的长度，接着找到旋转的周期规律：每次旋转45°，旋转8次刚好回到初始位置，周期为8。再计算2025除以8的余数，根据余数判断旋转2025次后点C的对应位置，最后求出对应坐标即可。
【解析】
∵ 四边形AOBC是正方形，点A的坐标为$(0,1)$，
∴ $OA=OB=1$，初始时点C的坐标为$(1,1)$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵ 每次绕点O逆时针旋转$45°$，旋转一周为$360°$，
∴ 旋转周期为$360°÷45°=8$，即每旋转8次，点C回到初始位置。
计算$2025÷8=253······1$，余数为1，说明旋转2025次后点C的位置和旋转1次后的位置一致。
初始时OC与x轴正方向夹角为$45°$，逆时针旋转$45°$后，OC与x轴正方向夹角为$45°+45°=90°$，即OC落在y轴正半轴上，
因此点$C_{2025}$的坐标为$(0,\sqrt{2})$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，坐标与旋转，周期规律探究
【点评】
本题综合考查了旋转的性质和周期规律的应用，解题的关键是先找到旋转的循环周期，再结合余数判断对应位置，计算OC长度时要正确运用勾股定理。
【难度系数】
0.65
首先确定初始时点C的坐标，再计算OC的长度，接着找到旋转的周期规律：每次旋转45°，旋转8次刚好回到初始位置，周期为8。再计算2025除以8的余数，根据余数判断旋转2025次后点C的对应位置，最后求出对应坐标即可。
【解析】
∵ 四边形AOBC是正方形，点A的坐标为$(0,1)$，
∴ $OA=OB=1$，初始时点C的坐标为$(1,1)$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵ 每次绕点O逆时针旋转$45°$，旋转一周为$360°$，
∴ 旋转周期为$360°÷45°=8$，即每旋转8次，点C回到初始位置。
计算$2025÷8=253······1$，余数为1，说明旋转2025次后点C的位置和旋转1次后的位置一致。
初始时OC与x轴正方向夹角为$45°$，逆时针旋转$45°$后，OC与x轴正方向夹角为$45°+45°=90°$，即OC落在y轴正半轴上，
因此点$C_{2025}$的坐标为$(0,\sqrt{2})$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，坐标与旋转，周期规律探究
【点评】
本题综合考查了旋转的性质和周期规律的应用，解题的关键是先找到旋转的循环周期，再结合余数判断对应位置，计算OC长度时要正确运用勾股定理。
【难度系数】
0.65
