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4. 先化简：$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ÷ \dfrac{x + 1}{x} · (x - \dfrac{1}{x})$，然后在$-1,0,1,2$四个数中选一个你认为合适的数代入$x$求值.
答案
$x+1,3.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分三步：第一步，按照分式混合运算顺序，先处理括号内的减法，同时将各分式的分子分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算；第二步，通过约分化简得到最简结果；第三步，先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的x取值，再选符合要求的x代入最简式计算结果。
【解析】
解：对原式逐步化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x} · ( \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} ) \\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 - 1}{x} \\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&\mathrm{约分后得：} \\&=x + 1\end{aligned}$
再确定x的可取范围：要使原式所有分式有意义，需满足：
$(x-1)^2 ≠ 0$即$x ≠ 1$；$x ≠ 0$；$x+1 ≠ 0$即$x ≠ -1$
因此在$-1,0,1,2$中仅可选$x=2$，代入化简结果得：$x+1=2+1=3$
【答案】
化简结果为$x+1$，代入$x=2$得值为$3$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，既考查了分式运算法则、因式分解的应用，也设置了易错点：代值前需先判断x的取值是否能让原式有意义，不可直接选给定的数代入，避免出现运算无意义的错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路可分三步：第一步，按照分式混合运算顺序，先处理括号内的减法，同时将各分式的分子分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算；第二步，通过约分化简得到最简结果；第三步，先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的x取值，再选符合要求的x代入最简式计算结果。
【解析】
解：对原式逐步化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x+1}{x} · ( \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} ) \\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x}{x+1} · \frac{x^2 - 1}{x} \\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&\mathrm{约分后得：} \\&=x + 1\end{aligned}$
再确定x的可取范围：要使原式所有分式有意义，需满足：
$(x-1)^2 ≠ 0$即$x ≠ 1$；$x ≠ 0$；$x+1 ≠ 0$即$x ≠ -1$
因此在$-1,0,1,2$中仅可选$x=2$，代入化简结果得：$x+1=2+1=3$
【答案】
化简结果为$x+1$，代入$x=2$得值为$3$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，既考查了分式运算法则、因式分解的应用，也设置了易错点：代值前需先判断x的取值是否能让原式有意义，不可直接选给定的数代入，避免出现运算无意义的错误。
【难度系数】
0.7
四、解答题。
1. (1) 已知 $ x+y=2, xy=1 $，求 $ \frac{y+1}{x+1} + \frac{x+1}{y+1} $ 的值；
(2) 已知 $ a^2 - 3a + 1 = 0 $，求 $ \frac{a^2}{a^4 + 1} $ 的值。
1. (1) 已知 $ x+y=2, xy=1 $，求 $ \frac{y+1}{x+1} + \frac{x+1}{y+1} $ 的值；
(2) 已知 $ a^2 - 3a + 1 = 0 $，求 $ \frac{a^2}{a^4 + 1} $ 的值。
答案
1. (1) 2.
(2) $\frac{1}{7}.$
(2) $\frac{1}{7}.$
解析
【分析】
(1) 要求分式和的值，先对分式通分，将分子分母展开后，利用完全平方公式把含$x^2+y^2$的部分转化为用$x+y$、$xy$表示的形式，再整体代入已知条件计算即可，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
(2) 首先由已知方程判断$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得到$a+\frac{1}{a}$的值，再将待求分式的分子分母同时除以$a^2$，把待求式转化为用$a^2+\frac{1}{a^2}$表示的形式，利用完全平方公式的变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值后代入计算即可。
【解析】
(1) 先对原式通分：
$\begin{aligned}\frac{y+1}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}&=\frac{(y+1)^2+(x+1)^2}{(x+1)(y+1)}\\&=\frac{y^2+2y+1+x^2+2x+1}{xy+x+y+1}\\&=\frac{(x^2+y^2)+2(x+y)+2}{xy+(x+y)+1}\end{aligned}$
由完全平方公式得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x+y=2,xy=1$代入：
分子$=(2^2-2×1)+2×2+2=(4-2)+4+2=8$
分母$=1+2+1=4$
所以原式$=\frac{8}{4}=2$
(2) 已知$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，则左边$=1≠0$，故$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得：
$a-3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$
将待求式分子分母同时除以$a^2$（$a≠0$，分式值不变）：
$\frac{a^2}{a^4+1}=\frac{1}{a^2+\frac{1}{a^2}}$
由完全平方公式变形得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2· a·\frac{1}{a}$，代入$a+\frac{1}{a}=3$：
$a^2+\frac{1}{a^2}=3^2-2=9-2=7$
所以原式$=\frac{1}{7}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{7}}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入思想
【点评】
这两道题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的解题思路，通过对已知条件和待求式的适当变形，避免求解未知数的具体值，能大幅简化计算过程，熟练掌握完全平方公式的常用变形是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要求分式和的值，先对分式通分，将分子分母展开后，利用完全平方公式把含$x^2+y^2$的部分转化为用$x+y$、$xy$表示的形式，再整体代入已知条件计算即可，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
(2) 首先由已知方程判断$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得到$a+\frac{1}{a}$的值，再将待求分式的分子分母同时除以$a^2$，把待求式转化为用$a^2+\frac{1}{a^2}$表示的形式，利用完全平方公式的变形求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值后代入计算即可。
【解析】
(1) 先对原式通分：
$\begin{aligned}\frac{y+1}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}&=\frac{(y+1)^2+(x+1)^2}{(x+1)(y+1)}\\&=\frac{y^2+2y+1+x^2+2x+1}{xy+x+y+1}\\&=\frac{(x^2+y^2)+2(x+y)+2}{xy+(x+y)+1}\end{aligned}$
由完全平方公式得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x+y=2,xy=1$代入：
分子$=(2^2-2×1)+2×2+2=(4-2)+4+2=8$
分母$=1+2+1=4$
所以原式$=\frac{8}{4}=2$
(2) 已知$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，则左边$=1≠0$，故$a≠0$，将方程两边同时除以$a$得：
$a-3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$
将待求式分子分母同时除以$a^2$（$a≠0$，分式值不变）：
$\frac{a^2}{a^4+1}=\frac{1}{a^2+\frac{1}{a^2}}$
由完全平方公式变形得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2· a·\frac{1}{a}$，代入$a+\frac{1}{a}=3$：
$a^2+\frac{1}{a^2}=3^2-2=9-2=7$
所以原式$=\frac{1}{7}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{7}}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入思想
【点评】
这两道题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的解题思路，通过对已知条件和待求式的适当变形，避免求解未知数的具体值，能大幅简化计算过程，熟练掌握完全平方公式的常用变形是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 先化简,再求值:$(\dfrac{a^2 + 9}{a} - 6) ÷ \dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 3a}$,其中$a$的值从$-3 ≤ a ≤ 3$的整数解中选取.
答案
$a-3,当a=-2时,原式=-5(答案不唯一).$
解析
【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先化简分式：先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第二步确定a的合法取值：要保证原式中所有分母、除式均不为0，从$-3 ≤ a ≤ 3$的整数解中排除使分式无意义的数值；第三步选取符合要求的a值代入最简式，计算得到最终结果。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&( \dfrac{a^2 + 9}{a} - 6 ) ÷ \dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 3a}\\=&\dfrac{a^2 + 9 - 6a}{a} ÷ \dfrac{(a-3)(a+3)}{a(a+3)}\\=&\dfrac{(a-3)^2}{a} × \dfrac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}\\=&a-3\end{aligned}$
2. 确定a的可取值：
要使分式有意义，则分母不为0，除式不为0，即：
$a≠0$，$a^2+3a=a(a+3)≠0$，$a^2-9=(a-3)(a+3)≠0$
解得$a≠0$且$a≠\pm3$
在$-3 ≤ a ≤ 3$的整数$-3,-2,-1,0,1,2,3$中，可选$a=-2,-1,1,2$
3. 代值计算：
取$a=-2$，代入得原式$=-2-3=-5$（选取其他合法值计算也可）
【答案】
$a-3,当a=-2时,原式=-5(答案不唯一).$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题的核心是先化简再代值求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接选取范围内的整数代入导致错误，解题时要先筛选合法的取值再代入计算。
【难度系数】
0.6
本题为分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先化简分式：先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，对分子、分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第二步确定a的合法取值：要保证原式中所有分母、除式均不为0，从$-3 ≤ a ≤ 3$的整数解中排除使分式无意义的数值；第三步选取符合要求的a值代入最简式，计算得到最终结果。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&( \dfrac{a^2 + 9}{a} - 6 ) ÷ \dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 3a}\\=&\dfrac{a^2 + 9 - 6a}{a} ÷ \dfrac{(a-3)(a+3)}{a(a+3)}\\=&\dfrac{(a-3)^2}{a} × \dfrac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}\\=&a-3\end{aligned}$
2. 确定a的可取值：
要使分式有意义，则分母不为0，除式不为0，即：
$a≠0$，$a^2+3a=a(a+3)≠0$，$a^2-9=(a-3)(a+3)≠0$
解得$a≠0$且$a≠\pm3$
在$-3 ≤ a ≤ 3$的整数$-3,-2,-1,0,1,2,3$中，可选$a=-2,-1,1,2$
3. 代值计算：
取$a=-2$，代入得原式$=-2-3=-5$（选取其他合法值计算也可）
【答案】
$a-3,当a=-2时,原式=-5(答案不唯一).$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题的核心是先化简再代值求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接选取范围内的整数代入导致错误，解题时要先筛选合法的取值再代入计算。
【难度系数】
0.6
3. 定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,$\frac{a^2-2a+3}{a-1}=\frac{(a-1)^2+2}{a-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,则$\frac{x+1}{x-1}$和$\frac{a^2-2a+3}{a-1}$都是“和谐分式”.
（1）将和谐分式$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（2）应用:求分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值；
（3）应用:先化简$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}$,并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
（1）将和谐分式$\frac{x^2+6x-3}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（2）应用:求分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值；
（3）应用:先化简$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}$,并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
答案
3. (1) $x+7+\frac{4}{x-1}.$
(2) 最大值是5.
(3) $2+\frac{2}{x+1},当x=-3时,分式运算的结果是整数.$
(2) 最大值是5.
(3) $2+\frac{2}{x+1},当x=-3时,分式运算的结果是整数.$
解析
【分析】
（1）和谐分式变形的核心是将分子凑成分母的整式倍加常数的形式，我们对分子$x^2+6x-3$变形，凑出含因式$(x-1)$的整式，再拆分分式即可。
（2）先将目标分式拆成整式加分子为常数的分式的形式，再结合$x^2$的非负性分析分式部分的最大值，即可得到整个分式的最大值。
（3）按照分式混合运算顺序，先算除法（转化为乘法后因式分解约分），再算同分母分式减法，将结果变形为和谐分式形式后，结合分式为整数的条件筛选可能的$x$取值，同时排除使原分式分母为0的取值，即可得到符合要求的整数$x$。
【解析】
（1）对分子变形：
$x^2+6x-3=(x^2+6x-7)+4=(x-1)(x+7)+4$
$\therefore \frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1}=\frac{(x-1)(x+7)}{x-1}+\frac{4}{x-1}=x+7+\frac{4}{x-1}$
（2）拆分分式：
$\frac{2x^2+5}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}=2+\frac{3}{x^2+1}$
$\because x^2≥0$，$\therefore x^2+1≥1$，可得$\frac{3}{x^2+1}≤3$
当$x=0$时，$\frac{3}{x^2+1}$取最大值3，此时分式的最大值为$2+3=5$
（3）计算分式混合运算：
$\begin{aligned}&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}\\=&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}×\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\=&\frac{3x+6-(x+2)}{x+1}\\=&\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}\end{aligned}$
要使原式为整数，则$\frac{2}{x+1}$为整数，即$x+1$是2的约数，$x+1$的可能取值为$\pm1,\pm2$
结合原分式分母不为0的要求：$x≠-1,0,1,-2$，逐一验证：
$x+1=1$时$x=0$（舍去），$x+1=-1$时$x=-2$（舍去），$x+1=2$时$x=1$（舍去），$x+1=-2$时$x=-3$（符合要求）
故$x=-3$时原式值为整数。
【答案】
(1) $x+7+\frac{4}{x-1}$
(2) 最大值是5
(3) 化简结果为$2+\frac{2}{x+1}$，当$x=-3$时，分式运算的结果是整数
【知识点】
分式的混合运算、分式的变形、分式有意义的条件
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分式的化简、最值求解及整数解确定，解题关键是熟练掌握分式的基本性质和运算规则，求解整数解时要注意检验分母不为0的限制条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
（1）和谐分式变形的核心是将分子凑成分母的整式倍加常数的形式，我们对分子$x^2+6x-3$变形，凑出含因式$(x-1)$的整式，再拆分分式即可。
（2）先将目标分式拆成整式加分子为常数的分式的形式，再结合$x^2$的非负性分析分式部分的最大值，即可得到整个分式的最大值。
（3）按照分式混合运算顺序，先算除法（转化为乘法后因式分解约分），再算同分母分式减法，将结果变形为和谐分式形式后，结合分式为整数的条件筛选可能的$x$取值，同时排除使原分式分母为0的取值，即可得到符合要求的整数$x$。
【解析】
（1）对分子变形：
$x^2+6x-3=(x^2+6x-7)+4=(x-1)(x+7)+4$
$\therefore \frac{x^2+6x-3}{x-1}=\frac{(x-1)(x+7)+4}{x-1}=\frac{(x-1)(x+7)}{x-1}+\frac{4}{x-1}=x+7+\frac{4}{x-1}$
（2）拆分分式：
$\frac{2x^2+5}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}=2+\frac{3}{x^2+1}$
$\because x^2≥0$，$\therefore x^2+1≥1$，可得$\frac{3}{x^2+1}≤3$
当$x=0$时，$\frac{3}{x^2+1}$取最大值3，此时分式的最大值为$2+3=5$
（3）计算分式混合运算：
$\begin{aligned}&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2+2x}\\=&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}×\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\=&\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\=&\frac{3x+6-(x+2)}{x+1}\\=&\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}\end{aligned}$
要使原式为整数，则$\frac{2}{x+1}$为整数，即$x+1$是2的约数，$x+1$的可能取值为$\pm1,\pm2$
结合原分式分母不为0的要求：$x≠-1,0,1,-2$，逐一验证：
$x+1=1$时$x=0$（舍去），$x+1=-1$时$x=-2$（舍去），$x+1=2$时$x=1$（舍去），$x+1=-2$时$x=-3$（符合要求）
故$x=-3$时原式值为整数。
【答案】
(1) $x+7+\frac{4}{x-1}$
(2) 最大值是5
(3) 化简结果为$2+\frac{2}{x+1}$，当$x=-3$时，分式运算的结果是整数
【知识点】
分式的混合运算、分式的变形、分式有意义的条件
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分式的化简、最值求解及整数解确定，解题关键是熟练掌握分式的基本性质和运算规则，求解整数解时要注意检验分母不为0的限制条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
