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1. 当$a - b = 3ab$时，$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$的值等于$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$-3$
解析
【分析】
本题要求代数式$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$的值，首先观察所求代数式的形式，属于异分母分式的减法，我们可以先通过通分将其化简为含有$a-b$和$ab$的形式，再结合题目给出的已知条件$a-b=3ab$，采用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体值。
【解析】
首先对所求代数式进行通分化简：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b}{ab} - \dfrac{a}{ab} = \dfrac{b - a}{ab}$
将分子变形可得$b - a = -(a - b)$，代入上式得：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{-(a - b)}{ab}$
已知$a - b = 3ab$，将其整体代入上式：
原式$= \dfrac{-3ab}{ab}$
由原式中$\dfrac{1}{a}$、$\dfrac{1}{b}$有意义，可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，约分后得：
原式$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式的加减运算；代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是先对所求分式通分化简，再利用整体代入思想代入已知条件计算，避免了单独求解$a$、$b$的繁琐过程，是代数式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}$的值，首先观察所求代数式的形式，属于异分母分式的减法，我们可以先通过通分将其化简为含有$a-b$和$ab$的形式，再结合题目给出的已知条件$a-b=3ab$，采用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体值。
【解析】
首先对所求代数式进行通分化简：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b}{ab} - \dfrac{a}{ab} = \dfrac{b - a}{ab}$
将分子变形可得$b - a = -(a - b)$，代入上式得：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{-(a - b)}{ab}$
已知$a - b = 3ab$，将其整体代入上式：
原式$= \dfrac{-3ab}{ab}$
由原式中$\dfrac{1}{a}$、$\dfrac{1}{b}$有意义，可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，约分后得：
原式$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式的加减运算；代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是先对所求分式通分化简，再利用整体代入思想代入已知条件计算，避免了单独求解$a$、$b$的繁琐过程，是代数式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
2. 如图,标号为①、②、③、④的长方形不重叠地围成长方形PQMN.已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个长方形的面积都是5.$AE=a,DE=b$,且$a＞b$.
(1) $PQ$的长是________;
(2) 若代数式$a^2 - 2ab - 3b^2 = 0$,则
$\dfrac{S_{\mathrm{长方形}ABCD}}{S_{\mathrm{长方形}PQMN}}$的值是________.
(1) $PQ$的长是________;
(2) 若代数式$a^2 - 2ab - 3b^2 = 0$,则
$\dfrac{S_{\mathrm{长方形}ABCD}}{S_{\mathrm{长方形}PQMN}}$的值是________.
答案
(1) $a-b$ (2) $4$
解析
【分析】
(1) 求PQ的长时，先观察图形各边的对应关系：长方形①的水平边长为a，长方形③的水平边长为b，结合①②全等、③④全等的条件，可知PQ的长为a与b的差，直接推导即可。
(2) 先对给出的二次三项式因式分解，结合边长为正的条件得到a和b的数量关系；再分别表示出长方形ABCD和长方形PQMN的面积，代入a、b的关系化简即可求出比值。
【解析】
(1) 由图形可知，AE=a是长方形①的水平边长，DE=b是长方形③的水平边长，PQ的长度为两者的差，因此$PQ=a-b$。
(2) ① 求a与b的关系：
对$a^2 - 2ab - 3b^2 = 0$因式分解，得$(a-3b)(a+b)=0$。
因为a、b都是正数，$a+b≠0$，所以$a-3b=0$，即$a=3b$。
② 计算长方形ABCD的面积：
长方形ABCD的长为$AD=a+b$，宽为长方形①的宽与长方形④的宽之和，即$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}$，因此：
$S_{ABCD}=(a+b)(\frac{5}{a}+\frac{5}{b})$
代入$a=3b$，得$a+b=4b$，$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=\frac{5}{3b}+\frac{5}{b}=\frac{20}{3b}$，
所以$S_{ABCD}=4b×\frac{20}{3b}=\frac{80}{3}$。
③ 计算长方形PQMN的面积：
长方形PQMN的一边长为$PQ=a-b=3b-b=2b$，另一边长为$\frac{5}{b}-\frac{5}{a}=\frac{5}{b}-\frac{5}{3b}=\frac{10}{3b}$，因此：
$S_{PQMN}=2b×\frac{10}{3b}=\frac{20}{3}$。
④ 求比值：
$\frac{S_{长方形ABCD}}{S_{长方形PQMN}}=\frac{\frac{80}{3}}{\frac{20}{3}}=4$。
【答案】
(1) $a-b$；(2) $4$
【知识点】
因式分解，分式化简，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形边长关系考查整式运算和面积计算，解题的核心是准确找到各长方形边长的对应关系，再通过代数运算化简求解，需要注意结合实际意义排除不符合条件的因式结果。
【难度系数】
0.65
(1) 求PQ的长时，先观察图形各边的对应关系：长方形①的水平边长为a，长方形③的水平边长为b，结合①②全等、③④全等的条件，可知PQ的长为a与b的差，直接推导即可。
(2) 先对给出的二次三项式因式分解，结合边长为正的条件得到a和b的数量关系；再分别表示出长方形ABCD和长方形PQMN的面积，代入a、b的关系化简即可求出比值。
【解析】
(1) 由图形可知，AE=a是长方形①的水平边长，DE=b是长方形③的水平边长，PQ的长度为两者的差，因此$PQ=a-b$。
(2) ① 求a与b的关系：
对$a^2 - 2ab - 3b^2 = 0$因式分解，得$(a-3b)(a+b)=0$。
因为a、b都是正数，$a+b≠0$，所以$a-3b=0$，即$a=3b$。
② 计算长方形ABCD的面积：
长方形ABCD的长为$AD=a+b$，宽为长方形①的宽与长方形④的宽之和，即$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}$，因此：
$S_{ABCD}=(a+b)(\frac{5}{a}+\frac{5}{b})$
代入$a=3b$，得$a+b=4b$，$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=\frac{5}{3b}+\frac{5}{b}=\frac{20}{3b}$，
所以$S_{ABCD}=4b×\frac{20}{3b}=\frac{80}{3}$。
③ 计算长方形PQMN的面积：
长方形PQMN的一边长为$PQ=a-b=3b-b=2b$，另一边长为$\frac{5}{b}-\frac{5}{a}=\frac{5}{b}-\frac{5}{3b}=\frac{10}{3b}$，因此：
$S_{PQMN}=2b×\frac{10}{3b}=\frac{20}{3}$。
④ 求比值：
$\frac{S_{长方形ABCD}}{S_{长方形PQMN}}=\frac{\frac{80}{3}}{\frac{20}{3}}=4$。
【答案】
(1) $a-b$；(2) $4$
【知识点】
因式分解，分式化简，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形边长关系考查整式运算和面积计算，解题的核心是准确找到各长方形边长的对应关系，再通过代数运算化简求解，需要注意结合实际意义排除不符合条件的因式结果。
【难度系数】
0.65
3. 解方程$\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{3x^2 - 3}{x} = 2$时，若设$y=\frac{x}{x^2 - 1}$，则方程可化为________.
答案
$2y-\dfrac{3}{y}=2$
解析
【分析】
这是一道用换元法简化分式方程的题目，解题思路如下：第一步先明确题目给出的换元关系$y=\frac{x}{x^2 - 1}$，再将原方程的两个分式分别往换元式的结构上转化：首先看第一个分式$\frac{2x}{x^2 - 1}$，可直接拆为2倍的换元式，就能用含y的式子表示；再看第二个分式$\frac{3x^2 - 3}{x}$，先对分子因式分解，就能发现它的结构是换元式的倒数的3倍，同样可以用含y的式子表示，最后把两个替换后的式子代入原方程即可得到结果。
【解析】
已知设$ y = \frac{x}{x^2 - 1} $：
1. 转化第一个分式：
$\frac{2x}{x^2 - 1} = 2 × \frac{x}{x^2 - 1} = 2y$
2. 转化第二个分式：
先对分子因式分解得$\frac{3x^2 - 3}{x} = \frac{3(x^2 - 1)}{x} = 3 × \frac{x^2 - 1}{x}$
由$y = \frac{x}{x^2 - 1}$可得$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{1}{y}$，因此$\frac{3x^2 - 3}{x} = \frac{3}{y}$
3. 代入原方程：
原方程为$\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{3x^2 - 3}{x} = 2$，替换后得$2y - \frac{3}{y} = 2$
【答案】
$2y-\dfrac{3}{y}=2$
【知识点】
换元法解分式方程；分式化简；倒数的性质
【点评】
本题考查换元法在分式方程中的应用，解题核心是观察到原方程中两个分式互为倒数的结构特征，通过设定新变量替换原式，可将复杂分式方程简化，避免直接去分母产生高次方程，是分式方程化简的常用技巧。
【难度系数】
0.8
这是一道用换元法简化分式方程的题目，解题思路如下：第一步先明确题目给出的换元关系$y=\frac{x}{x^2 - 1}$，再将原方程的两个分式分别往换元式的结构上转化：首先看第一个分式$\frac{2x}{x^2 - 1}$，可直接拆为2倍的换元式，就能用含y的式子表示；再看第二个分式$\frac{3x^2 - 3}{x}$，先对分子因式分解，就能发现它的结构是换元式的倒数的3倍，同样可以用含y的式子表示，最后把两个替换后的式子代入原方程即可得到结果。
【解析】
已知设$ y = \frac{x}{x^2 - 1} $：
1. 转化第一个分式：
$\frac{2x}{x^2 - 1} = 2 × \frac{x}{x^2 - 1} = 2y$
2. 转化第二个分式：
先对分子因式分解得$\frac{3x^2 - 3}{x} = \frac{3(x^2 - 1)}{x} = 3 × \frac{x^2 - 1}{x}$
由$y = \frac{x}{x^2 - 1}$可得$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{1}{y}$，因此$\frac{3x^2 - 3}{x} = \frac{3}{y}$
3. 代入原方程：
原方程为$\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{3x^2 - 3}{x} = 2$，替换后得$2y - \frac{3}{y} = 2$
【答案】
$2y-\dfrac{3}{y}=2$
【知识点】
换元法解分式方程；分式化简；倒数的性质
【点评】
本题考查换元法在分式方程中的应用，解题核心是观察到原方程中两个分式互为倒数的结构特征，通过设定新变量替换原式，可将复杂分式方程简化，避免直接去分母产生高次方程，是分式方程化简的常用技巧。
【难度系数】
0.8
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x+a}{x-3} + \frac{2a}{3-x} = \frac{1}{3}$ 的解是非负数，则 $ a $ 的取值范围为 ______。
答案
$a≥1$ 且 $a≠3$
解析
【分析】
解决这道题需要分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数a表示的方程的解；第二步，根据“解是非负数”的要求，令x≥0，列不等式求解a的范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，排除增根对应的a的取值，最终得到正确的取值范围。
【解析】
首先整理原分式方程，将$\frac{2a}{3-x}$变形为$-\frac{2a}{x-3}$，原方程变为：
$\frac{x+a}{x-3} - \frac{2a}{x-3} = \frac{1}{3}$
方程两边同时乘最简公分母$3(x-3)$（注意$x≠3$，否则原方程无意义），去分母得：
$3(x+a) - 6a = x - 3$
展开并整理整式方程：
$3x + 3a - 6a = x - 3$
$2x = 3a - 3$
解得：$x = \frac{3a-3}{2}$
根据题意，方程的解是非负数，因此：
$\frac{3a-3}{2} ≥ 0$，解得$a≥1$
又因为分母不能为0，即$x≠3$，因此：
$\frac{3a-3}{2} ≠ 3$，解得$a≠3$
综上，a的取值范围是$a≥1$且$a≠3$。
【答案】
$a≥1$ 且 $a≠3$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合常考题，解题的易错点是容易遗漏分式方程分母不为0的限制条件，导致漏掉$a≠3$的情况，解分式方程类题目时要始终注意检验增根。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数a表示的方程的解；第二步，根据“解是非负数”的要求，令x≥0，列不等式求解a的范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，排除增根对应的a的取值，最终得到正确的取值范围。
【解析】
首先整理原分式方程，将$\frac{2a}{3-x}$变形为$-\frac{2a}{x-3}$，原方程变为：
$\frac{x+a}{x-3} - \frac{2a}{x-3} = \frac{1}{3}$
方程两边同时乘最简公分母$3(x-3)$（注意$x≠3$，否则原方程无意义），去分母得：
$3(x+a) - 6a = x - 3$
展开并整理整式方程：
$3x + 3a - 6a = x - 3$
$2x = 3a - 3$
解得：$x = \frac{3a-3}{2}$
根据题意，方程的解是非负数，因此：
$\frac{3a-3}{2} ≥ 0$，解得$a≥1$
又因为分母不能为0，即$x≠3$，因此：
$\frac{3a-3}{2} ≠ 3$，解得$a≠3$
综上，a的取值范围是$a≥1$且$a≠3$。
【答案】
$a≥1$ 且 $a≠3$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于分式方程与不等式的综合常考题，解题的易错点是容易遗漏分式方程分母不为0的限制条件，导致漏掉$a≠3$的情况，解分式方程类题目时要始终注意检验增根。
【难度系数】
0.6
5. 若$x^2 - 3x + 1 = 0$，则$\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} =$
$\dfrac{1}{8}$
.答案
$\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
已知方程直接求解x再代入计算过程复杂，因此考虑整体变形求解：首先判断x≠0，将已知方程两边同时除以x，可得到$x+\frac{1}{x}=3$；再观察待求分式的分子分母均为x的偶次幂，将分式分子分母同时除以$x^2$，把分式转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，最后利用完全平方公式将$x^2+\frac{1}{x^2}$用$x+\frac{1}{x}$表示，整体代入即可算出结果。
【解析】
解：
∵ 当x=0时，代入$x^2-3x+1$得1≠0，
∴ x≠0。
将方程$x^2 - 3x + 1 = 0$两边同时除以x，得：
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
对分式$\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$（x≠0，符合分式基本性质），得：
原式$ = \dfrac{x^2 ÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1) ÷ x^2} = \dfrac{1}{x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}} $。
根据完全平方公式可得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x + \dfrac{1}{x})^2 - 2 · x · \dfrac{1}{x}$，将$x + \dfrac{1}{x}=3$代入得：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 7$。
将结果代入化简后的分式，得：
原式$ = \dfrac{1}{7 + 1} = \dfrac{1}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.完全平方公式 3.整体代入求值
【点评】
本题无需直接求解未知数的值，通过对已知方程和待求分式进行合理变形，结合完全平方公式采用整体代入的方法计算，有效简化了运算，是代数式求值中常见的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
已知方程直接求解x再代入计算过程复杂，因此考虑整体变形求解：首先判断x≠0，将已知方程两边同时除以x，可得到$x+\frac{1}{x}=3$；再观察待求分式的分子分母均为x的偶次幂，将分式分子分母同时除以$x^2$，把分式转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，最后利用完全平方公式将$x^2+\frac{1}{x^2}$用$x+\frac{1}{x}$表示，整体代入即可算出结果。
【解析】
解：
∵ 当x=0时，代入$x^2-3x+1$得1≠0，
∴ x≠0。
将方程$x^2 - 3x + 1 = 0$两边同时除以x，得：
$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
对分式$\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$（x≠0，符合分式基本性质），得：
原式$ = \dfrac{x^2 ÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1) ÷ x^2} = \dfrac{1}{x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}} $。
根据完全平方公式可得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x + \dfrac{1}{x})^2 - 2 · x · \dfrac{1}{x}$，将$x + \dfrac{1}{x}=3$代入得：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 7$。
将结果代入化简后的分式，得：
原式$ = \dfrac{1}{7 + 1} = \dfrac{1}{8}$。
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.完全平方公式 3.整体代入求值
【点评】
本题无需直接求解未知数的值，通过对已知方程和待求分式进行合理变形，结合完全平方公式采用整体代入的方法计算，有效简化了运算，是代数式求值中常见的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法正确的是 （
A.根据分式的基本性质，$\frac{b}{a}$可化为$\frac{bm}{am}$
B.分式$\frac{m^2 - 1}{m^2 + 1}$是最简分式
C.若分式$\frac{x^2}{x - 3}$有意义，则$x＞0$
D.若$\frac{x^2 - 9}{x + 3}=0$，则$x=\pm3$
B
）A.根据分式的基本性质，$\frac{b}{a}$可化为$\frac{bm}{am}$
B.分式$\frac{m^2 - 1}{m^2 + 1}$是最简分式
C.若分式$\frac{x^2}{x - 3}$有意义，则$x＞0$
D.若$\frac{x^2 - 9}{x + 3}=0$，则$x=\pm3$
答案
B
解析
【分析】
这是一道分式基础概念的判断题，解题时需结合分式相关的核心知识点逐个排查选项：首先回忆各知识点的限制条件，①分式基本性质的应用前提是同乘（或除）的整式不为0；②最简分式要求分子、分母没有公因式；③分式有意义仅需分母不为0，和分子取值无关；④分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，对应判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：分式的基本性质要求分子分母同乘的整式不能为0，该选项未说明$m ≠ 0$，当$m=0$时$am=bm=0$，分式无意义，因此A错误。
选项B：最简分式是分子、分母没有公因式的分式。分母$m^2+1$恒大于0且无法因式分解，和分子$m^2-1=(m+1)(m-1)$没有公因式，因此该分式是最简分式，B正确。
选项C：分式有意义的条件是分母不为0，即$x-3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$，对分子取值没有要求，因此C错误。
选项D：分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0。由分子$x^2-9=0$解得$x=\pm3$，结合分母$x+3 ≠ 0$得$x ≠ -3$，因此仅$x=3$符合要求，D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；最简分式判定；分式有意义及值为零的条件
【点评】
本题是分式概念的常考易错题，易错点为忽略分式相关性质的前提限制，比如同乘的整式不为0、分式值为0时分母不能为0，牢记概念的附加限制即可准确作答。
【难度系数】
0.7
这是一道分式基础概念的判断题，解题时需结合分式相关的核心知识点逐个排查选项：首先回忆各知识点的限制条件，①分式基本性质的应用前提是同乘（或除）的整式不为0；②最简分式要求分子、分母没有公因式；③分式有意义仅需分母不为0，和分子取值无关；④分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，对应判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：分式的基本性质要求分子分母同乘的整式不能为0，该选项未说明$m ≠ 0$，当$m=0$时$am=bm=0$，分式无意义，因此A错误。
选项B：最简分式是分子、分母没有公因式的分式。分母$m^2+1$恒大于0且无法因式分解，和分子$m^2-1=(m+1)(m-1)$没有公因式，因此该分式是最简分式，B正确。
选项C：分式有意义的条件是分母不为0，即$x-3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$，对分子取值没有要求，因此C错误。
选项D：分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0。由分子$x^2-9=0$解得$x=\pm3$，结合分母$x+3 ≠ 0$得$x ≠ -3$，因此仅$x=3$符合要求，D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；最简分式判定；分式有意义及值为零的条件
【点评】
本题是分式概念的常考易错题，易错点为忽略分式相关性质的前提限制，比如同乘的整式不为0、分式值为0时分母不能为0，牢记概念的附加限制即可准确作答。
【难度系数】
0.7
2. 下列分式变形正确的是 （
A.$\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{2}{x}$
B.$\dfrac{-x+1}{x+1}=-1$
C.$\dfrac{2x}{4x-6}=\dfrac{x}{2x-3}$
D.$1-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2-x+1}{x-2}$
C
）A.$\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{2}{x}$
B.$\dfrac{-x+1}{x+1}=-1$
C.$\dfrac{2x}{4x-6}=\dfrac{x}{2x-3}$
D.$1-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2-x+1}{x-2}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查分式变形的正误判断，解题思路是结合分式的基本性质、分式加减运算法则，逐一验证每个选项的变形是否符合规则：首先回忆分式基本性质是分子分母同乘或同除以同一个不为0的整式，分式的值不变；分式加减运算时，通分后去括号要注意符号变化，据此逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$\dfrac{4}{x^2}$的分子除以2、分母除以$x$，分子分母除以的不是同一个不为0的整式，变形不符合分式基本性质，因此A错误；
B选项：$\dfrac{-x+1}{x+1}=\dfrac{-(x-1)}{x+1}$，分子分母没有公因式，无法约分化简得到$-1$，因此B错误；
C选项：$\dfrac{2x}{4x-6}$的分子分母同时除以不为0的常数2，得到$\dfrac{2x÷2}{(4x-6)÷2}=\dfrac{x}{2x-3}$，符合分式的基本性质，因此C正确；
D选项：$1-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{x-2}=\dfrac{x-2-x-1}{x-2}$，选项中变形时去括号未改变$+1$的符号，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式约分，分式加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对分式变形规则的掌握，易错点是约分时分母同除的整式不为0的限制，以及分式加减运算去括号时的符号变化，熟练掌握相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.7
本题考查分式变形的正误判断，解题思路是结合分式的基本性质、分式加减运算法则，逐一验证每个选项的变形是否符合规则：首先回忆分式基本性质是分子分母同乘或同除以同一个不为0的整式，分式的值不变；分式加减运算时，通分后去括号要注意符号变化，据此逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$\dfrac{4}{x^2}$的分子除以2、分母除以$x$，分子分母除以的不是同一个不为0的整式，变形不符合分式基本性质，因此A错误；
B选项：$\dfrac{-x+1}{x+1}=\dfrac{-(x-1)}{x+1}$，分子分母没有公因式，无法约分化简得到$-1$，因此B错误；
C选项：$\dfrac{2x}{4x-6}$的分子分母同时除以不为0的常数2，得到$\dfrac{2x÷2}{(4x-6)÷2}=\dfrac{x}{2x-3}$，符合分式的基本性质，因此C正确；
D选项：$1-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}-\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{x-2}=\dfrac{x-2-x-1}{x-2}$，选项中变形时去括号未改变$+1$的符号，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式约分，分式加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对分式变形规则的掌握，易错点是约分时分母同除的整式不为0的限制，以及分式加减运算去括号时的符号变化，熟练掌握相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.7
3. 若实数 $ a, b $ 满足 $ a + b = 2025 $，$ b ≠ a + 1 $，则
$\frac{a^2 - (b^2 - 2b + 1)}{a^2 - b^2 + a + b}$
的值等于 （
A.$ 2025 $
B.$ \frac{2026}{2025} $
C.$ \frac{2024}{2025} $
D.$ \frac{2025}{2024} $
$\frac{a^2 - (b^2 - 2b + 1)}{a^2 - b^2 + a + b}$
的值等于 （
C
）A.$ 2025 $
B.$ \frac{2026}{2025} $
C.$ \frac{2024}{2025} $
D.$ \frac{2025}{2024} $
答案
C
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题时优先考虑先对分子、分母因式分解再约分简化，最后代入已知条件计算：①先观察分子，发现括号内的$b^2-2b+1$是完全平方式，可将分子转化为平方差的形式进行因式分解；②再观察分母，前两项$a^2-b^2$是平方差形式，分解后可和后两项提取公因式$(a+b)$完成因式分解；③结合题目给出的$b≠ a+1$的条件，确认公因式不为0后约分，最后代入$a+b=2025$即可算出结果。
【解析】
先对原式的分子、分母分别因式分解：
1. 分解分子：
$a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2$
由平方差公式得：
$=(a - (b - 1))(a + (b - 1)) = (a - b + 1)(a + b - 1)$
2. 分解分母：
$a^2 - b^2 + a + b = (a - b)(a + b) + (a + b)$
提取公因式$(a+b)$得：
$=(a + b)(a - b + 1)$
3. 约分化简：
$\because b ≠ a + 1$，$\therefore a - b + 1 ≠ 0$，可约去公因式$a - b + 1$，则：
原式$=\frac{a + b - 1}{a + b}$
4. 代入求值：
将$a + b = 2025$代入得：
原式$=\frac{2025 - 1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式化简；代数式求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式和提取公因式法对分子分母进行因式分解，约分时要注意结合题目的限制条件确认公因式不为0，保证分式有意义，化简后再代入数值计算能大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题时优先考虑先对分子、分母因式分解再约分简化，最后代入已知条件计算：①先观察分子，发现括号内的$b^2-2b+1$是完全平方式，可将分子转化为平方差的形式进行因式分解；②再观察分母，前两项$a^2-b^2$是平方差形式，分解后可和后两项提取公因式$(a+b)$完成因式分解；③结合题目给出的$b≠ a+1$的条件，确认公因式不为0后约分，最后代入$a+b=2025$即可算出结果。
【解析】
先对原式的分子、分母分别因式分解：
1. 分解分子：
$a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2$
由平方差公式得：
$=(a - (b - 1))(a + (b - 1)) = (a - b + 1)(a + b - 1)$
2. 分解分母：
$a^2 - b^2 + a + b = (a - b)(a + b) + (a + b)$
提取公因式$(a+b)$得：
$=(a + b)(a - b + 1)$
3. 约分化简：
$\because b ≠ a + 1$，$\therefore a - b + 1 ≠ 0$，可约去公因式$a - b + 1$，则：
原式$=\frac{a + b - 1}{a + b}$
4. 代入求值：
将$a + b = 2025$代入得：
原式$=\frac{2025 - 1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式化简；代数式求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式和提取公因式法对分子分母进行因式分解，约分时要注意结合题目的限制条件确认公因式不为0，保证分式有意义，化简后再代入数值计算能大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
4. 如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高$ a $厘米的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为$ h $厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 （
A.$\dfrac{b}{a+b}$
B.$\dfrac{a}{a+b}$
C.$\dfrac{h}{a+b}$
D.$\dfrac{h}{a+h}$
B
）A.$\dfrac{b}{a+b}$
B.$\dfrac{a}{a+b}$
C.$\dfrac{h}{a+b}$
D.$\dfrac{h}{a+h}$
答案
B
解析
【分析】
解题时要抓住“倒置前后墨水体积不变、瓶内空余部分体积也不变”这一核心。我们可以先设玻璃瓶的底面积为S，先根据正放的情况求出墨水的体积，再根据倒置的情况求出空余部分的体积，两者相加得到玻璃瓶的总容积，最后用墨水体积除以总容积即可得到占比，计算时底面积S会被约掉，不用求具体数值。
【解析】
设玻璃瓶圆柱瓶身的底面积为$S$：
1. 正放时，墨水为高$a$的圆柱体，墨水体积为：$V_{墨水}=S· a$；
2. 倒置后，空余部分为高$b$的圆柱体，空余部分体积为：$V_{空余}=S· b$；
3. 玻璃瓶的总容积等于墨水体积加空余体积，即$V_{总}=V_{墨水}+V_{空余}=Sa+Sb=S(a+b)$；
4. 墨水体积占玻璃瓶容积的比例为：$\frac{V_{墨水}}{V_{总}}=\frac{Sa}{S(a+b)}=\frac{a}{a+b}$。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，容积计算
【点评】
本题属于生活中的容积计算类问题，解题关键是将倒置后不规则的空余部分转化为规则的圆柱来计算体积，整体思路清晰，熟练掌握圆柱体积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住“倒置前后墨水体积不变、瓶内空余部分体积也不变”这一核心。我们可以先设玻璃瓶的底面积为S，先根据正放的情况求出墨水的体积，再根据倒置的情况求出空余部分的体积，两者相加得到玻璃瓶的总容积，最后用墨水体积除以总容积即可得到占比，计算时底面积S会被约掉，不用求具体数值。
【解析】
设玻璃瓶圆柱瓶身的底面积为$S$：
1. 正放时，墨水为高$a$的圆柱体，墨水体积为：$V_{墨水}=S· a$；
2. 倒置后，空余部分为高$b$的圆柱体，空余部分体积为：$V_{空余}=S· b$；
3. 玻璃瓶的总容积等于墨水体积加空余体积，即$V_{总}=V_{墨水}+V_{空余}=Sa+Sb=S(a+b)$；
4. 墨水体积占玻璃瓶容积的比例为：$\frac{V_{墨水}}{V_{总}}=\frac{Sa}{S(a+b)}=\frac{a}{a+b}$。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，容积计算
【点评】
本题属于生活中的容积计算类问题，解题关键是将倒置后不规则的空余部分转化为规则的圆柱来计算体积，整体思路清晰，熟练掌握圆柱体积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
